一道东南地区数学竞赛题的证明与推广

1.赛题呈现

问题1 设a，b为正数，证明：

（a3+b3+a3b3）（1a3+1b3+1a3b3）+27≥6（a+b+1a+1b+ba+ab）.（1）

分析：该题是2023年第二十届中国东南地区数学奥林匹克第1题不等式（1）虽然是二元不等式，但是两边的结构比较复杂，如果盲目地展开实施转化，那么容易出现组合或者搭配不当等问题，导致解题思路受阻.不妨实施减元策略，把二元不等式（1）化为一元不等式，得到：

问题2 设a为正数，证明：

（2a3+1）（2a3+1）+27≥12（a+1a+1）.（2）

证明：把（2）式两边展开等价于a3+1a3+10≥6（a+1a），

利用两数的立方和公式等价于（a+1a）（a2－1+1a2）+10≥6（a+1a），

等价于（a+1a）［（a+1a）2－3］+10≥6（a+1a），

等价于（a+1a）3－9（a+1a）+10≥0，分解因式等价于（a+1a－2）［（a+1a）2+2（a+1a）－5］≥0，由a+1a≥2知此式成立，

所以不等式（2）成立.

2.赛题证明

不等式（2）的证法给我们指明了，把不等式（1）展开后如何进行合理搭配的目标和方向，从而使转化做到有的放矢.

问题1的证明：把（1）式两边展开，等价于

a3b3+b3a3+a3+1a3+b3+1b3+30≥6（ab+ba）+6（a+1a）+6（b+1b），

利用两数的立方和公式，等价于

（ab+ba）［a2b2－1+b2a2］+（a+1a）（a2－1+1a2）+（b+1b）（b2－1+1b2）+30≥6（ab+ba）+6（a+1a）+6（b+1b），等价于

（ab+ba）［（ab+ba）2－3］+（a+1a）［（a+1a）2－3］+（b+1b）［（b+1b）2－3］+30

≥6（ab+ba）+6（a+1a）+6（b+1b），等价于

（ab+ba）3－9（ab+ba）+10+（a+1a）3－9（a+1a）+10+（b+1b）3－9（b+1b）+10≥0，分解因式等价于（ab+ba－2）［（ab+ba）2+2（ab+ba）－5］+（a+1a－2）［（a+1a）2+2（a+1a）－5］

+（b+1b－2）［（b+1b）2+2（b+1b）－5］≥0，

由ab+ba≥2，a+1a≥2，b+1b≥2知，此式成立.

所以不等式（1）成立.

3.赛题推广

按照问题1的证法，容易得到：

推广1 设a，b为正数，n为整数，证明：

（an+2+an－1b3+an+2b3）（1an+2+1an－1b3+1an+2b3）+27≥6（a+b+1a+1b+ba+ab）.（3）

证明：把（3）式两边展开等价于

a3b3+b3a3+a3+1a3+b3+1b3+30≥6（ab+ba）+6（a+1a）+6（b+1b），

由问题1的证法知，此式成立.所以不等式（3）成立.

对问题2的证法进行逆向分析得到，当0≤m≤16时，有下列不等式成立：

（a+1a－2）［（a+1a）2+2（a+1a）－m2］≥0，等价于

（a+1a）3－3（a+1a）+m≥（m2+1）（a+1a），等价于

（a+1a）［（a+1a）2－3］+m≥（m2+1）（a+1a），等价于

（a+1a）（a2－1+1a2）+m≥（m2+1）（a+1a），等价于

a3+1a3+m≥（m2+1）（a+1a），由此对问题1的证法加以改进，得到：

推广2 设a，b为正数，0≤m≤16，证明：

（a3+b3+a3b3）（1a3+1b3+1a3b3）+3（m－1）≥（m2+1）（a+b+1a+1b+ba+ab）.（4）

证明：把（4）式两边展开等价于

a3b3+b3a3+a3+1a3+b3+1b3+3m≥（m2+1）（ab+ba）+（m2+1）（a+1a）+（m2+1）（b+1b），

利用两数的立方和公式等价于

（ab+ba）［a2b2－1+b2a2］+（a+1a）（a2－1+1a2）+（b+1b）（b2－1+1b2）+3m≥（m2+1）（ab+ba）+（m2+1）（a+1a）+（m2+1）（b+1b），等价于

（ab+ba）［（ab+ba）2－3］+（a+1a）［（a+1a）2－3］+（b+1b）［（b+1b）2－3］+3m

≥（m2+1）（ab+ba）+（m2+1）（a+1a）+（m2+1）（b+1b），等价于

（ab+ba）3－（m2+4）（ab+ba）+m+（a+1a）3－（m2+4）（a+1a）+m +（b+1b）3－（m2+4）（b+1b）+m≥0，分解因式等价于

（ab+ba－2）［（ab+ba）2+2（ab+ba）－m2］+（a+1a－2）［（a+1a）2+2（a+1a）－m2］+（b+1b－2）［（b+1b）2+2（b+1b）－m2］≥0，

由ab+ba≥2，a+1a≥2，b+1b≥2，0≤m≤16知，此式成立.

所以不等式（4）成立.

由推广1、推广2立得：

推广3 设a，b为正数，n为整数，0≤m≤16，证明：

（an+2+an－1b3+an+2b3）（1an+2+1an－1b3+1an+2b3）+3（m－1）

≥（m2+1）（a+b+1a+1b+ba+ab）.（5）