一道教材课后习题的拓展探究与应用

题目 （2019年人教A版（数学必修第一册）第120页拓广探索第10题）已知f（x）=ax，g（x）=（1a）x（a>0，且a≠1）.

（1）讨论函数f（x）和g（x）的单调性；

（2）如果f（x）<g（x），那么x的取值范围是多少？

这道课本习题讨论了底数互为倒数的两个指数函数的单调性，获得底数互为倒数的两个指数函数的单调性相反，且它们的图象关于y轴对称，同时探究了两个指数函数在不同范围内的大小关系，较好地表达指数函数的性质. 由于本习题涉及到对称性和单调性，本文通过四则运算，获得了一些结论，并探究其应用，希望能对学习和研究提供一定帮助.

结论1 函数h（x）=ax+a－x（a>0且a≠1）在R上是偶函数，且h（x）在（－∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数.

证明：因为h（－x）=a－x+ax=ax+a－x=h（x），所以h（x）为偶函数. 不妨任取x1，x2∈（0，+∞）且x1<x2，h（x1）－h（x2）=ax1+a－x1－ax2－a－x2=（ax1－ax2）（1－1ax1+x2），当a>1时，有ax1<ax2，ax1+x2>1，则ax1－ax2>0，1－1ax1+x2>0，得h（x1）<h（x2）；当0<a<1时，有ax1>ax2，0<ax1+x2<1，则ax1－ax2>0，1－1ax1+x2<0，也得h（x1）<h（x2），则h（x）在（0，+∞）上是增函数，由对称性知h（x）在（－∞，0）上是减函数，故结论得证.

例1 （2021年新高考Ⅰ卷第13题改编）已知f（x）=x3·（a·2x+2－x）是奇函数，则a= .

解：由f（－x）=－f（x）对x∈R恒成立，即（－x）3（a·2－x+2x）=－x3（a·2x+2－x）对x∈R恒成立，整理得（a－1）·x3（2x－2－x）=0对x∈R恒成立，从而a=1. 故填1.

结论2 函数h（x）=ax－a－x（a>0且a≠1）在R上是奇函数，当a>1时，h（x）在R上是增函数，当0<a<1时，h（x）在R上是减函数.

证明：因为h（－x）=a－x－ax=－（ax－a－x）=－h（x），所以h（x）为奇函数. 根据前面研究可知，当a>1时，f（x）=ax是增函数，g（x）=a－x是减函数，则h（x）=f（x）－g（x）在R上是增函数，当0<a<1时，f（x）=ax是减函数，g（x）=a－x是增函数，则h（x）=f（x）－g（x）在R上是减函数.

例2 （2022年 全国甲卷第5题）函数y=（3x－3－x）cosx在区间［－π2，π2］的图象大致为（ ）.

A B C D

解：由f（－x）=（3－x－3x）cos（－x）=－（3x－3－x）cosx=－f（x），知f（x）是奇函数，则图象关于原点对称，令x=1，有f（1）=（3－3－1）cos1，显然f（1）>0.故选A.

结论3 函数h（x）=（ax－a－x）·（ax+a－x）（a>0且a≠1）在R上是奇函数，当a>1时，h（x）在R上是增函数，当0<a<1时，h（x）在R上是减函数.

证明：因为h（－x）=（a－x－ax）·（a－x+ax）=－（ax－a－x）·（ax+a－x）=－h（－x），所以h（x）为奇函数. 由于h（x）=（ax－a－x）·（ax+a－x）=a2x－a－2x，易知当a>1时，f（x）=a2x是增函数，g（x）=a－2x是减函数，所以h（x）=a2x－a－2x在R上是增函数，当0<a<1时，f（x）=a2x是减函数，g（x）=a－2x是增函数，则h（x）=a2x－a－2x在R上是减函数.

例3 （2019年人教A版（数学必修第一册）第160页综合运用第6题）设f（x）=ex－e－x2，g（x）=ex+e－x2.

求证：（1）［g（x）］2－［f（x）］2=1； （2）f（2x）=2f（x）g（x）；（3）g（2x）=［g（x）］2+［f（x）］2.

证明：（1）左式=（g（x）+f（x））（g（x）－f（x））=ex·e－x=1，左式等于右式，则原式成立.

（2）由于2f（x）·g（x）=2·ex－e－x2·ex+e－x2=（ex－e－x）·（ex+e－x）2=e2x－e－2x2=f（2x），所以等式成立.

（3）因为而［g（x）］2+［f（x）］2=（ex+e－x2）2+（ex－e－x2）2=e2x+e－2x+24+e2x+e－2x－24

=e2x+e－2x2=g（2x），所以等式成立.

结论4 函数h（x）=ax－a－xax+a－x（a>0且a≠1）在R上是奇函数，当a>1时，h（x）在R上是增函数，当0<a<1时，h（x）在R上是减函数.

证明：因为h（－x）=a－x－axa－x+ax=－ax－a－xax+a－x=－h（x），所以h（x）为奇函数. 因h（x）=ax－a－xax+a－x=a2x－1a2x+1=1－2a2x+1，易知当a>1时，h（x）在R上是增函数，当0<a<1时，h（x）在R上是减函数.

例4 （2019年人教A版（数学必修第一册）第161页拓广探索第12题）对于函数f（x）=a－22x+1（a∈R）.（1）探索函数f（x）的单调性；（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？

解 （1）任取x1，x2∈R且x1<x2，则f（x1）－f（x2）=－22x1+1+22x2+1=2（2x1－2x2）（2x1+1）（2x2+1）.

因为x1<x2，所以2x1<2x2，从而f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）<f（x2），故f（x）在R上是增函数.

（2）假设存在实数a使函数f（x）为奇函数，则对任意x∈R，均有f（－x）+f（x）=0成立，即a－22－x+1+a－22x+1=0，化简得2a=22－x+1+22x+1=2·2x1+2x+22x+1=2，从而得a=1. 故存在实数a=1，使函数f（x）为奇函数.

例5 （2022年 北京卷第4题）已知f（x）=11+2x，则对任意实数x，有（ ）.

A. f（－x）+f（x）=0 B.f（－x）－f（x）=0

C. f（－x）+f（x）=1 D. f（－x）+f（x）=13

解：因为f（－x）=11+2－x=2x2x+1，所以f（－x）+f（x）=2x2x+1+11+2x=1. 故选C.

由以上拓展可知，教材中的习题很具有一定的代表性，深入分析，并对其拓展研究，充分挖掘其丰富的价值，既可以摆脱题海的困扰，又能起到事半功倍的效果. 借助教材课后习题恰当变式探究，联系高考试题与课本习题，发掘最基本的思想方法，归纳知识体系，形成对此类试题的思考方向，把知识的内涵和外延完全暴露出来，使学生思维得以提升.