对主题探究课的教学实践与思考

一、问题背景

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）指出，“日常教学活动评价，要以教学目标的达成为依据.［1］” “用导数探究三次函数的图象与性质”是北师大版新教材（2019版）的新增内容，是继“正方体截面的探究”之后又一个数学探究活动.对于探究课的教学一直是一线教师的薄弱点，而李多猛老师的这节公开课教学，让听课老师眼睛一亮，达成了“教-学-评”一致性，具有良好的示范作用.

二、课时目标分析

教材通过用导数研究二次函数的图象和性质的过程，引导学生通过类比的得到三次函数的图象和性质，进而拓展到用导数探究其他类型的函数性质.让学生经历从具体到抽象、由特殊到一般的探究方式，体验建构数学知识的思维过程，让学生在探究的过程中积累基本活动经验，并能利用这一活动经验去探究一类数学问题，发展学生的逻辑思维能力和数学应用能力，旨在培养学生的数学思维、解决问题的能力、拓展数学视野和合作精神，激发学生的学习兴趣，促进学生全面发展.

三、学情学法分析

学生已经熟练掌握了二次函数的图象与性质，能利用导数工具探究一些函数的简单性质，因此具备一定的学习基础.在探究三次函数的过程中，需要学生具备一定的观察、归纳、推理能力，教师要在教学中的难点处、关键处进行适度点拨，采用问题引导、小组合作等方式进行探究和分析.

四、主要教学过程

1. 教学子目标1：会用导数研究二次函数的性质

问题1 对于二次函数fx=ax2+bx+ca≠0，能否利用导数得到二次函数的性质？

设计意图：类比用导数探究二次函数的性质，引出课题，不仅从方法上给了引导，让学生能够获得基本的活动探究思路，同时明确活动探究的主要工具——导数，突出了导数的作用.另外，先用导数研究二次函数的单调性，再由单调性确定二次函数的极值，也为接下来画出三次函数图象奠定知识基础.

目标达成分析、评价：问题的设置有利于学生顺利解决，大部分学生都能分析出二次函数fx=ax2+bx+ca>0图象与它的导数一次函数f′x=2ax+ba>0之间关系，获得满满的成就感，自信心溢于言表，这种积极地情感体验有助于解决三次函数的相关问题，达成了子目标1.

2. 教学子目标2：掌握三次函数图象的画法分类

问题2 三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0的导数f′x=3ax2+2bx+ca≠0是一个二次函数，那么，a与判别式Δ=4b2－3ac的正负对三次函数的图象有什么影响？

设计意图：三次函数的分类标准和依据是本节课的教学难点之一，根据函数单调性与导数符号的关系，引导学生将三次函数的分类等价转化对其导数的分类，顺利突破教学难点.分组开展活动探究，使学生积累基本的活动经验；鼓励、展示、点评学生的作图，及时肯定学生对三次函数图象的初步认知，同时为下面利用信息技术探究三次函数的系数a，b，c，d的变化对三次函数的图象和性质的影响建立认知基础.

目标达成分析、评价：利用问题1的解决思路，学生画出f′x=3ax2+2bx+ca≠0的图象，有较为清晰地逻辑推理，知道导数的正负会影响原函数的单调性，从而判断出导函数的分类情况，进而对三次函数的图象给与分类讨论.根据小组学生的汇报情况，表现良好，表明子目标2顺利达成.

3. 教学子目标3：理解三次函数的系数对图象的影响

问题3 我们知道二次函数的系数变化会影响二次函数的图象与性质，那么三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0的系数a，b，c，d的变化是如何影响三次函数的图象和性质呢？下面我们通过几何画板加以探究.

师生活动：利用几何画板画出三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0的图象，系数a，b，c，d的取值可以动态连续变化.

问题4 哪个系数不会对三次函数的形状（即单调性）有影响？当系数a变化时，三次函数图象有何特征？当系数a>0不变，系数b，c分别变化时，三次函数图象有何特征？

（让学生类比二次函数做出猜想之后，教师用几何画板演示验证.）

当系数a<0时，请同学们类比a>0猜想一下三次函数图象特征？

设计意图：在分组画图探究的基础上，指导学生操作几何画板动态演示三次函数的图象因系数的变化而变化，为学生分析、研究三次函数的图象和性质提供直观，借助信息技术尝试转变数学课堂教与学的传统方式，突出利用信息技术优化课堂教学.在引导学生经历观察发现、猜想求证、归纳总结的探究过程中，感悟三次函数的本质，形成基本活动经验，帮助学生提升直观想象、数学抽象等数学核心素养.

目标达成分析、评价：学生能根据几何画板的变化规律，直观领略出三次函数的主要特征，如系数d不影响三次函数的形状即不影响三次函数的单调性；当a>0时，三次函数图象从左下弯到右上；当a<0时，三次函数图象从左上弯到右下.特别地，一同学总结出：当系数a>0，判别式Δ>0时，函数存在一个单调递减区间和两个单调递增区间、一个极大值点和一个极小值点，且当Δ增大时，两个极值点之间的距离增大，当Δ减小时，两个极值点之间的距离减小；当系数a>0，判别式Δ≤0时，函数不存在递减区间，在定义域上是增函数.这说明在教师的引导下，学生已准确地汇报出结果，表明已经达成了教学子目标3.

4教学子目标4：理解三次函数图象的对称中心

问题5 我们知道二次函数的图象有对称轴，那三次函数的图象有没有对称性呢？函数y=ax3+cxa≠0的对称中心什么？把它在坐标平面内进行左右、上下平移，会得到什么形式的函数？三次函数图象的对称中心的横坐标与导函数f′x=3ax2+2bx+ca≠0的极值点（也是最值点）有什么关系？你能否利用导数加以解释？

设计意图：知其然，更要知其所以然.根据导数几何意义，结合导函数的图象关于直线x=－b3a对称，揭示三次函数图象的对称中心的本质，促进学生对三次函数对称性的深入理解.

目标达成分析、评价：在学生尝试用待定系数法将任意一个三次函数转化成y=ax－m3+cx－m+na≠0时，学生遇到了的困难，各小组没能得出三次函数y=ax3+bx2+cx+d的图象的对称中心是－b3a，f－b3a的结论.最后，李老师用PPT展示了这一结论的推导过程，表明这一目标达成度不够，问题的设置上仍有改进的空间.

五、教学启示

《标准》指出：通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验［1］（简称“四基”）. 在探究的过程中，利用问题导向学习，始终以教学目标为靶向，在课堂上把每一个小目标都逐步达成后，自然也就达成了本节课的课时目标.教学的每个环节，都要把教师的“教”、学生的“学”以及“评”紧密结合，衡量达成“教-学-评”一致性的标志就是看是否实现教学目标.鉴于此，对探究课的教学还需要做好以下工作：

1.处理好数学的科学形态与教育形态之间的关系

科学形态是指科学知识的本质和特点，而教育形态是指利用教育的目的、方法和手段来获取知识.本节教学中，三次函数的图象和性质是科学形态，利用问题引导、小组合作等手段是教育形态，目的是让学生理解、掌握三次函数的性质.在教学中，我们需要将科学形态与教育形态结合起来，使学生在学习科学知识的同时，也能够掌握科学的思维方式和方法.这种结合不仅可以更好地促进学生对科学知识的掌握，还可以提高学生的创新能力和解决问题的能力，从而为未来的科技发展做出更大的贡献.

2.处理好过程与结果之间的关系

数学教育不仅仅是为了让学生掌握科学知识，更重要的是培养学生的科学思维和创新能力.三次函数的探究是过程，性质是结果，过程是获取结果的必要条件，这个过程不仅可以使学生更深入地理解三次函数的概念和特点，更重要的是可以培养他们的科Ux5VPDlCfq1xa85W37QtUA==学思维和创新能力.因此，只有通过实践探索，学生才能深入理解科学知识，并且从中获得创新思维和解决问题的能力.

3.处理好直接经验与间接经验之间的关系

直接经验是指学生亲身体验和感受到的事物，而间接经验则是通过教材、图片、计算机等途径获取的知识.在教学中，学生通过绘制三次函数图象来获得直接经验，并通过观察图象的形状和变化规律来理解三次函数的性质.教师引导学生利用几何画板软件模拟三次函数图象，通过手动调整参数来观察三次函数图象的变化，加深对其特征的理解，从而增加学生的间接经验.因此，直接经验和间接经验都是科学教育中不可或缺的部分，需要注重两者的结合，既注重直接经验的积累和应用，又不忽视间接经验的作用，让学生通过多种途径获得科学知识，提高其科学素养.

综上，无论是教师的教、学生的学以及对学生学习的评价，需要协调一致，教学有效的唯一证据在于目标的达成，在于学生学习结果的质量，在于何以证明学生学会了什么［2］.利用《标准》中的“三个处理好”，实施数学探究活动能够激发学生利用原有的知识和经验解决新问题的兴趣，能够帮助学生生成基本活动经验，并能够利用这一活动经验去探讨一类数学问题，实现“教-学-评”一致性，达到培养学生数学核心素养的目标.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020：35，94，8.

［2］崔允漷，夏雪梅. “教-学-评”一致性”：意义与含义［J］.中小学管理，2013（1）：5.