探索问题解决思路 提升逻辑推理素养

逻辑推理是数学思维的基本方式之一，体现了建构和推演数学以及运用数学知识来解决问题的方法特征. ［1］《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》将逻辑推理作为六大核心素养之一．逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流.［2］ 可见逻辑推理不同于解题思路，逻辑推理素养不仅仅是掌握问题解决中的推理形式与规则，更要求学生运用一定的推理方法和手段，从多角度分析问题、提出命题，探索问题解决思路及准确表述答题过程.

面对数学问题，很多学生常因其思路新颖、运算繁杂等特点而表现平平. 表面上，学生是缺少解题方向，畏难心理严重，缺少克难毅力；实际上，学生是“算得多，想得少”，答题比较“莽撞”，缺少探索问题解决思路的理念与方法.本质上，学生是逻辑推理素养欠缺，在分析问题的过程中没有推理意识和方法，在比较复杂的条件中无法把握知识结构、不会合理地提出问题，在解决问题过程中缺少不断探索问题解决思路的高要求.

1 试题与分析

例1 （2022年北京市高中数学邀请赛）设a1，a2，…，a2022为2022个实数且a1+a2+…+a2022=π2，求|cosa1|+|cosa2|+…+|cosa2022|的最小值.

分析：本题为含有多个变量的最值问题，且表达式中有多个绝对值符号，高中学生平时较少接触，对学生的解题能力和学科素养要求较高. 面对这个问题，很多学生是茫然不知所措、无从下手，因此如何分析问题、探索问题解决思路将是逻辑推理素养提升的关键.

2.“降维”思考，提出问题

华罗庚教授曾说“要善于退，足够地退，退到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍.”对于这个难度较大的问题，为探索解题思路并获得简便解法，我们不妨“退一步”，将变量从2022个降到两个，进行“降维”处理，在获得解答之后再研究解法所用知识和过程性结论的可拓展性，通过“升维”来完成例1的解答.

问题1 已知α+β=π2，求|cosα|+|cosβ|的最小值.

解法1：（正余弦线）因为|cosα|+|cosβ|=|cosα|+cosπ2－α=|cosα|+|sinα|，结合角α的正余弦线（如图1），所以|cosα|+|cosβ|=|cosα|+|sinα|=|OM|+|MP|≥1，即|cosα|+|cosβ|的最小值为1，当α=π2，β=0可以取到最小值.

解法2：（构造函数）设α1=α+k1π，β1=β+k2π，其中k1，k2∈Z，α1，β1∈－π2，π2，则α1+β1=π2+（k1+k2）π. 所以|cosα|+|cosβ|=|cosα1|+|cosβ1|=|cosα1|+cosπ2－α1=cos|α1|+sin|α1|=2sin|α1|+π4.考察函数f（x）=2sinx+π4，其中x∈0，π2〗，知x=0或π2时，f（x）取到最小值1.所以当α=π2，β=0时，|cosα|+|cosβ|的可以取到最小值为1.

解法3：（放缩法）因为|sin（α+β）|=|sinαcosβ+cosαsinβ|≤|sinα||cosβ|+|cosα|.|sinβ|≤|cosα|+|cosβ|，所以|cosα|+|cosβ|≥|sin（α+β）|=1，且当α=π2，β=0时可以取到等号.即|cosα|+|cosβ|的最小值为1.

解法4：（卡拉玛特不等式）设α1=α+k1π，β1=β+k2π，其中k1，k2∈Z，α1，β1∈－π2，π2〗，则|cosα|=|cosα1|，|cosβ|=|cosβ1|，α1+β1=π2+kπ，其中k=0或－1.不妨设α1≥β1，令c1=（1+k）π2，c2=kπ2，则c1+c2=α1+β1，c1≥c2，c1≥α1.

令f（x）=|cosx|，其中x∈－π2，π2〗，则f（x）是一个凹函数（上凸函数，如图2），由卡拉玛特不等式，得f（c1）+f（c2）≤f（α1）+f（β1），即|cosα1|+|cosβ1|≥1，所以|cosα|+|cosβ|≥1，且当α=π2，β=0时可以取到等号，即|cosα|+|cosβ|的最小值为1.

3.以退为进，探索解法

由上述解答可以看出，含有两个变量的最值问题1可以通过“几何意义、构造函数、放缩法、卡拉玛特不等式”等手段来解决. 那么，增加变量的个数后，上述的解题方法还能适用吗？

问题2 已知a1+a2+a3=π2，求|cosa1|+|cosa2|+|cosa3|的最小值.

分析问题2，会发现当a1=a2=π2，a3=－π2时，|cosa1|+|cosa2|+|cosa3|=0，显然0为其最小值.因此研究问题2毫无意义.

注意到，例1中变量的个数是偶数（2022个），故将变量的个数增加到4个，提出问题3. 并思考对于问题3，问题1的解决方法还能适用吗？

问题3 已知a1+a2+a3+a4=π2，求|cosa1|+|cosa2|+|cosa3|+|cosa4|的最小值.

3.1 解法1和解法2的局限性

问题1的解法1是利用题设等式代入消参，然后运用正余弦线来解决问题；而解法2则是利用题设等式代入消参，然后构造函数来求解. 两者均是通过消参，将问题1转化为含有一个变量的最值问题，显然，这两种方法是无法拓展迁移到“题设只有一个等式，且含有4个参变量”的问题3中.

3.2 解法3的迁移与拓展

在问题1的解法3中，得到一个结论：|cosα|+|cosβ|≥|sin（α+β）|.对于问题3，利用此结论可得|cosa1|+|cosa2|+|cosa3|+|cosa4|≥|sin（a1+a2）|+|cosa3|+|cosa4|.之后有两种思路：其一是继续使用此结论，得到|cosa1|+|cosa2|+|cosa3|+|cosa4|≥|sin（a1+a2）|+|sin（a3+a4）|，继而类似解法3中的放缩可得到问题3的解答过程（记为*，略）；其二是想到结论的右侧如果是余弦形式，那么便可反复使用这个结论来解决问题. 于是想到利用诱导公式来实现“正弦化余弦”，将解法3的结论转化为|cosα|+|cosβ|≥cosπ2+α+β，从而得到利用放缩法解决例1和问题3的过程（两者类似，问题3的解答略）.

例1的解法1：（放缩法） 首先，证明结论：|cosα|+|cosβ|≥cosπ2+α+β.因为|sin（α+β）|=|sinαcosβ+cosαsinβ|≤|sinα||cosβ|+|cosα||sinβ|≤|cosα|+|cosβ|，所以|cosα|+|cosβ|≥|sin（α+β）|=cosπ2+α+β.其次，反复使用上述结论，得|cosa1|+|cosa2|+…+|cosa2022|≥cos（π2+a1+a2）+|cosa3|+…+|cosa2022|≥cos（2π2+a1+a2+a3）+|cosa4|+…+|cosa2022|≥…≥cos（2021π2+a1+a2+…+a2022）≥cos2022π2=1.故|cosa1|+|cosa2|+…+|cosa2022|的最小值为1，且当a1=a3=…=a2021=π2，a2=a4=…=a2020=－π2，a2022=0时取到最小值.

众所周知，“降维”处理后的问题常常是数学归纳法的基础，其解答过程、方法或所得结论常常是归纳递推突破的关键，由此便想到运用数学归纳法来解决例1. 在此之中，问题1的解法3是归纳的基础，而上述问题3的解答过程（*）是归纳递推突破的关键.

例1的解法2：（数学归纳法） 首先，证明结论：|cosx1|+|cosx2|+…+|cosx2n|≥|sin（x1+x2+…+x2n）|.

① 当n=1时，由|sin（x1+x2）|=|sinx1cosx2+cosx1sinx2|≤|sinx1||cosx2|+|cosx1||sinx2|≤|cosx1|+|cosx2|，得n=1时结论成立.

② 假设n=k时结论成立，即|cosx1|+|cosx2|+…+|cosx2k|≥|sin（x1+x2+…+x2k）|.

当n=k+1时，由|cosx1|+|cosx2|+…+|cosx2k+2|≥|sin（x1+x2+…+x2k）|+|sin（x2k+1+x2k+2）|≥|sin（x1+x2+…+x2k）||cos（x2k+1+x2k+2）|+|cos（x1+x2+…+x2k）||sin（x2k+1+x2k+2）|≥|sin（x1+x2+…+x2k+1+x2k+2）|，得n=k+1时结论成立.

综上，n∈N，不等式|cosx1|+|cosx2|+…+|cosx2n|≥|sin（x1+x2+…+x2n）|成立.

其次，利用上述结论，得|cosa1|+|cosa2|+…+|cosa2022|≥|sin（a1+a2+…+a2022）|=1，因为当a1=a3=…=a2021=π2，a2=a4=…=a2020=－π2，a2022=0时上述等号成立，所以|cosa1|+|cosa2|+…+|cosa2022|的最小值为1.

3.3 解法4的适用性

问题1的解法4利用了卡拉玛特不等式，此不等式又称优超不等式、控制不等式.

卡拉玛特不等式 定义两个数组A=（a1，a2，…，an），其中a1≥a2≥…≥an，B=（b1，b2，…，bn），其中b1≥b2≥…≥bn. 若a1+a2+…+an=b1+b2+…+bn且a1≥b1，a1+a2≥b1+b2，…，a1+a2+…+an－1≥b1+b2+…+bn－1，则称数组A优于数组B. 若数组A优于数组B，f（x）为一个凸函数（下凸函数），则∑ni=1f（ai）≥∑ni=1f（bi）；若f（x）为一个凹函数（上凸函数），则∑ni=1f（ai）≤∑ni=1f（bi）.

根据卡拉玛特不等式的内容，可以看出其适用条件里数组中元的个数并无限制，故问题1的解法4对于问题3（解答略）和例1均适用.

例1的解法3：（卡拉玛特不等式）设bi=ai+kiπ，其中ki∈Z，bi∈－π2，π2〗，i=1，2，…，2022.（若ki不唯一，则任取一个）.则|cosai|=|cosbi|，且存在整数k∈［－1011，1010］，使得b1+b2+…+b2022=（2k+1）π2.不妨设b1≥b2≥…≥b2022.令c1=c2=…=c1011+k=π2，c1012+k=0，c1013+k=c1014+k=…=c2022=－π2，则有c1≥c2≥…≥c2022，c1+c2+…+c2022=b1+b2+…+b2022.结合bi∈－π2，π2〗，可得c1≥b1，c1+c2≥b1+b2，…，c1+c2+…+cn－1≥b1+b2+…+bn－1，因为函数f（x）=|cosx|在－π2，π2〗为凹函数（上凸函数）.所以由卡拉玛特不等式，得f（c1）+f（c2）+…+f（cn）≤f（b1）+f（b2）+…+f（bn），即|cosb1|+|cosb2|+…+|cosbn|≥1， 所以|cosa1|+|cosa2|+…+|cosa2022|≥1.又因当a1=a2=…=a1011=π2，a1012=a1013=…=a2021=－π2，a2022=0时上述等号成立，所以|cosa1|+|cosa2|+…+|cosa2022|的最小值为1.

4.问题延伸，加深认识

通过对数学问题进行变式或延伸，引导学生对问题进行抽象与概括，学会从理论的高度来分析问题、深化问题，使问题本身的意义得到拓展，有助于结构性思维的形成. （注：结构性思维是一种整体性、关联性的思维.）

例1拓展 设a1，a2，…，an为n（n≥2）个实数，若a1+a2+…+an=3π4+（－1）n+1π4，求|cosa1|+|cosa2|+…+|cosan|的最小值.

拓展的解答过程与例1类似，在此略. 值得注意的是，解答过程中需要讨论n的奇偶性，其中n为奇数时，类似于例1解法2的数学归纳法在此不适用.

例1变式 设a1，a2，…，an为n（n≥2）个实数，若a1+a2+…+an=π2，求|sina1|+|sina2|+…+|sinan|的最小值.

变式的解答过程与例1类似，此略.

5.结语

很多试题貌似很难，令人无从下手，实际上却是蕴涵着丰富的探索问题思路的理念和方法.如果能运用“降维”思考、以退为进等逻辑推理手段，逐步探索得到解决思路，那么这些试题便可迎刃而解.此过程有助于学生灵活使用数学知识，理解思想方法的本质，构建结构化的知识和思维体系，从而促使逻辑推理等学科核心素养的稳步提升.正如《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：“数学教师必须提升自身的‘四基’水平、提升数学专业能力，自觉养成用数学的眼光发现和提出问题、用数学的思维分析和解决问题、用数学的语言表达和交流问题的习惯.”在实际教学中，多从探索问题解决思路的角度展开教学活动，通过不断的积累和应用，内化知识经验，形成探索问题解决思路的自觉意识，应对千变万化的数学问题，必将提高学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，使逻辑推理等核心素养在平时的学习中落地生根.

参考文献

［1］ 宁锐. 数学学科核心素养的结构及其教学意义［J］.数学教育学报，2019，28（2）：24-29.

［2］ 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017 年版）［M］．北京：人民教育出版社，2018，4-5.