圆锥曲线中与角度有关问题的求解策略

圆锥曲线与角度有关的问题一直是高考和模拟考试命题的热点.此类问题常常与解三角形、平面向量、斜率等知识结合在一起考查，主要考查学生的逻辑推理能力和数学运算素养，本文通过最近的几道模拟试题为着手点，重点分析解决此类题型的一般思路.

例1 已知F为抛物线T：x2=4y的焦点，直线l：y=kx+2与T相交于A、B两点.

（1）若k=1，求FA+FB的值；

（2）点C－3，－2，若∠CFA=∠CFB，求直线l的方程.

解： （1）；略

（2）法一：（向量视角）设Ax1 ，x1 24，Bx2 ，x2 24，

联立y=kx+2，

x2=4y 消去y得x2－4kx－8=0，则x1+x2=4k，x1x2=－8.

由题意知，FA = x1 ，x1 24-1，FB = x2 ，x2 24-1，FC=－3，－3.

因为∠CFA=∠CFB，所以cos∠CFA=cos∠CFB，即FA·FCFAFC=FB·FCFBFC.又FA = x1 24 + 1，FB = x2 24 + 1，FC=32，整理得4+2x1+x2－x1x2=0，即4+8k+8=0，解得k=－32，所以l：3x+2y－4=0.

法二：（角平分线定理）

由法一可知y1+y2=4k2+4，y1y2=4.

延长CF交AB于点E，联立CF：y=x+1，

AB：y=kx+2 得E11－k，2k1－k.

由角平分线定理可知FAFB=AMBM，即y1+1y2+1=y1－2－k1－k2－k1－k－y2，

所以11－ky1+y2－2y1y2+4－2k1－k=0，故2k2+3k=0，解得k=－32，k=0（舍）.

法三：（斜率视角）由法一知x1+x2=4k，x1x2=－8.

因为∠CFA=∠CFB，所以tan∠CFA=tan∠CFB，

即tan∠CFA=kAF－kCF1+kAFkCF=tan∠CFB=kCF－kBF1+kCFkBF，因为kCF=－1，kAF=y1－1x1，kBF=y2－1x2，代入后化简可得y1－1y2－1=x1x2，即kx1+1kx2+1=x1x2，所以k2=94，解得k=±32.

困惑：为什么会有两个解，另外一个解如何舍掉呢？

笔者通过作图发现，当k=32时，∠CFA=∠CFB－π，故而导致错误，所以k=－32.

评注： 通过三种解法，发现利用向量去解决最为方便，到角公式尽管运算也比较简洁，但会出现增根，对学生来说不容易取舍，必修要通过作图检验，有效避错.

例2 （2023·泰州模拟）在平面直角坐标系Oxy中，点A1，0，B9，6，动点C在线段OB上，BD⊥y轴，CE⊥y轴，CF⊥BD，垂足分别是D，E，F，OF与CE相交于点P.已知点Q在点P的轨迹上，且∠OAQ=1200，则AQ等于（ ）.

A．4 B．2 C.43 D.23

解： 先求点P的轨迹方程，先设Px，y，则yC=y，直线lOP：y=23x，所以C32y，y，E0，y，F32y，6.因为FC//y轴，所以ΔOPE～ΔFPC，则EPCP=OEFC，可得x32y－x=y6－y，化简得y2=4x0≤x≤9.下面我们利用∠OAQ=1200来求AQ.

法一：（向量视角）设点Qx0，y0，所以AQ=x0－1，y0，AO=－1，0，所以cos∠OAQ=AO·AQAOAQ=1－x0x0－12+y30=1－x01+x0=－12.所以x0=3，则AQ=4.故选A.

法二：（斜率视角）因为∠OAQ=1200，所以直线AQ的斜率k=3，从而直线AQ方程为x=33y+1代入y2=4x0≤x≤9得3y2－43y－12=0，解得y1=－233，y2=23，结合图像知点P在第一象限，故Q3，23，所以AQ=4.

法三：（解三角形视角）设Qx0，y0，则AQ=x0+1，AO=1，OQ = x0 2 + y0 2，在ΔOQA中，根据余弦定理可得x0 2 + y0 2 = x0 + 12 + 1 + x0 + 1，又y0 2 = 4x0 ，解得x0=3，所以AQ=4.

评注： 本题分别从向量、解三角形、斜率三种不同的视角进行解题，法二的时候需要结合题意画出草图，通过判断点Q位置去掉增根.

例3 （2023安庆一模）在平面直角坐标系中，ΔABC的两个顶点的坐标分别为A－77a，0，B77a，0a>0，两动点M，N满足MA+MB+MC=0，NC=7NA=7NB，向量MN与向量AB共线.

（1）求ΔABC的顶点C的轨迹方程；

（2）若过点P0，a的直线与（1）的轨迹相交于E、F两点，求PE·PF的取值范围；

（3）若G－a，0，H2a，0，Q为C点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数λλ>0，使得∠QHG=λ∠QGH恒成立，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.

解： （1）顶点C的轨迹方程为x2－y23=a2.

（2）易得PE·PF的取值范围是（－∞，4a2）∪20a2，+∞.

（3）设点Qx0，y0x0>0，y0>0当直线QH与x轴垂直时，解得Q2a，3a，则QH=HG，故∠QGH=π4，所以λ=2.如果λ存在，则λ=2.当直线QH不与x轴垂直时，tan∠QGH=y0x0+a，tan∠QHG=－y0x0－2a，

则tan∠QHG=tan2∠QGH=2tan∠QGH1－tan2∠QGH=－y0x0－2a=tan∠QHG.综上所述，λ=2.

评注： 本题是一道存在性问题，给出的两个角都与坐标轴有关，且三个点的位置明确，故将角度问题转化为斜率来说运算比较简单，其类似于2022年全国甲卷的高考题.

通过上面的例题，在解决圆锥曲线中遇到与角度的问题时，尽管可以使用多种方法，但笔者认为还是要选择优解，如果是角度与坐标轴的夹角，优先考虑转化为斜率；如果是以点坐标形式呈现，优先考虑利用向量的数量积运算；如果是以线段的长度问题呈现，优先考虑解三角形解决问题.