圆锥曲线与三角形的“五心”问题分类导析

圆锥曲线与三角形的“五心”（重心、内心、外心、垂心、旁心）问题是一类极富思考性和挑战性，具有相当深度和难度的重要题型，频频出现在各级各类考试卷中，凸显出较好的区分和选拔功能，是考查学生学科素养和关键能力的极好素材.本文分类并配例加以剖析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.

一、圆锥曲线与三角形的“重心”问题

例1 （2024·武汉市模拟题）过点P作抛物线C：x2=2y的切线l1，l2，切点分别为M，N，若ΔPMN的重心坐标为（1，1），且P在抛物线T：y2=mx上，则T的焦点坐标为（ ）.

A.14，0B.12，0C.24，0D.22，0

导析：设Mx1，x212，Nx2，x222，x1≠x2，P（xP，yP），由x2=2y，得y=x22，则y′=x，故直线l1的方程为y－x212=x1x－x1，即y=x1x－x212，同理直线l2的方程为y=x2x－x222，联立直线l1，l2的方程可得xP=x1+x22，yP=x1x22.设ΔPMN的重心坐标为（x0，y0），则x0=x1+x2+x1+x223=1，y0=x212+x222+x1x223=1，即x1+x2=2，

x21+x22+x1x2=6，

所以x1+x2=2，

x1x2=－2， 则P1，－1，

将P点坐标代入y2=mx，得－12=m×1，解得m=1，故T的焦点坐标为14，0，故选A.

点评：本题考查抛物线的方程及几何性质，考查导数的几何意义及三角形的重心坐标公式，考查考生的运算求解能力.

类题1 （2024·襄阳市模拟题）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的上顶点为B，斜率为334的直线l交椭圆于M，N两点，若ΔBMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（ ）.

A.22 B.32 C.12 D.63

类题2 （2023·青岛市模拟题）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，P1（x1，y1），P2x2，y2，P3（x3，y3）为抛物线C上的三个动点，其中x1<x2<x3且y2<0，若F为ΔP1P2P3的重心，ΔP1P2P3的三边P1P2，P1P3，P2P3的中点到抛物线C的准线的距离分别为d1，d2，d3，且满足d1+d3=2d2，则直线P1P3的斜率为（ ）.

A.1 B.32 C.2 D.3

提示：类题1，2答案均为C.

二、圆锥曲线与三角形的“内心”问题

例2 （2024·广州市模拟题）已知双曲线x2a2－y2b2=1a>0，b>0的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且交双曲线的右交于A，B两点，其中点A在第一象限，记ΔAF1F2的内心为M，内切圆半径为r1，ΔBF1F2的内心为N，内切圆半径为r2，若r1：r2=3：1，则直线l的斜率为 .

导析：如图1，连接MN，MF2，NF2，MN与x轴交于点H，根据双曲线的焦点三角形的内心性质可得MN⊥x轴，且点H的坐标为a，0，由于r1：r2=3：1，于是MH=3NH，因此F2Htan∠MF2H=3F2Htan∠NF2H，即tan∠MF2H=3tan∠NF2H.设直线l的倾斜角为θ，则∠MF2H=π2－θ2，∠NF2H=θ2，于是有tanπ2－θ2=1tanθ2=3tanθ2，进而得到tanθ2=33，从而θ2=π6，于是θ=π3，因此直线l的斜率为tanθ=tanπ3=3.

点评：本题考查双曲线的焦点三角形的内心性质，引入直线l的倾斜角并借助三角知识可顺利得解.

类题（2024·郑州市模拟题）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上异于左、右顶点的一点，M为ΔPF1F2的内心，若5MF1+3MF2+3MP=0，则该椭圆的离心率为 .

答案：38.

三、圆锥曲线与三角形的“外心”问题

例3 （2024·长沙市模拟题）已知在平面直角坐标系xOy中，点F1，F2分别为双曲线C：x2a2－y2=1a>0的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，MF2与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为MF2的中点，I为ΔOMF2（O为坐标原点）的外心，若O，I，D三点共线，则双曲线C的离心率为（ ）.

A.2 B.3C.5 D.5

导析：如图2，不妨设点M在第二象限，设Mm，n，F2c，0，由D为MF2的中点，I为ΔOMF2的外心，O，I，D三点共线知直线OD垂直平分线段MF2，直线OD的方程为y=xa，故nm－c=－a，且12·n=1a·m+c2，解得m=a2－1c，n=2ac.将Ma2－1c，2ac，即M2a2－c2c，2ac，代入双曲线的方程可得2a2－c22a2c2－4a2c2=1，化简可得c2=5a2，即e=5，当点M在第三象限时，同理可得e=5.故选C.

点评：本题考查三角形外心的定义及性质，将点M的坐标a2－1c，2ac换成2a2－c2c，2ac代入双曲线方程是求解的关键.考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力.

类题（2024·重庆市模拟题）已知椭圆C：x24+y23=1，过其左焦点F1作直线l交椭圆C于P，A两点，取P点关于x轴的对称点B.若G点为ΔPAB的外心，则PAGF1=（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.以上都不对

答案：C.

四、圆锥曲线与三角形的“垂心”问题

例4 （2023·荆州市模拟题）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2－y2b2=1a>0，b>0的渐近线与抛物线C2：x2=2pyp>0交于点O，A，B，若ΔOAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为 .

导析：双曲线C1：x2a2－y2b2=1a>0，b>0的渐近线方程为y=±bax，由对称性不妨取A2pba，2pb2a2，B－2pba，2pb2a2，C2：x2=2py（p>0）的焦点F0，p2，则kAF=2pb2a2－p22pba=ab，即b2a2=54，∴C1的离心率e=1+b2a2=1+54=32.

点评：本题以双曲线和抛物线为载体考查三角形重心的定义及性质，考查考生的运算求解能力和逻辑推理能力.

类题 （2023·太原市模拟题）已知椭圆x28+y24=1的右焦点为F，M为上顶点，O为坐标原点，直线l交椭圆于P，Q两点，当F为ΔPQM的垂心时，则ΔPQM的面积为 .

答案：282227.

五、圆锥曲线与三角形的“旁心”问题

例5 （2024·茂名市模拟题）与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心.如图3所示，已知F1，F2是双曲线x29－y216=1的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，Q是ΔPF1F2的一个旁心，直线PQ与x轴交于点M，则MQPQ=（ ）.

A.34 B.43 C.32 D.53

导析：在双曲线x29－y216=1中，a2=9，b2=16，所以a=3，b=4，则c=a2+b2=5.如图4，连接F1Q、F2Q，由三角形旁心的定义可知F1Q，F2Q分别平分∠PFM，∠PF2M，在ΔPF1Q中，PF1sin∠MQF1=MQsin∠PF1Q，在ΔMF1Q中，MF1sin∠MQF1=MQsin∠MF1Q，因为∠PQF1+∠MQF1=π，∠PF1Q=∠MF1Q，所以sin∠PQF1=sin∠MQF1，sin∠PF1Q=sin∠MF1Q，所以MQPQ=MF1PF1，同理可得MQPQ=MF2PF2，所以MQPQ=MF2PF2=MF1PF1=MF1－MF2PF1－PF2=2c2a=e，又e=ca=53，故MQPQ=53.故选D.

点评：本题结合旁切圆及旁心的定义和性质考查正弦定理、等比定理及双曲线离心率的求解方法，是一道很好的创新题.

类题 （2024·随州市模拟题）已知点P为椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上异于左、右顶点的任意一点，F1，F2是左、右焦点，连接PF1，PF2作ΔPF1F2的旁切圆（与线段PF2、F1P延长线及F1F2延长线均相切），其圆心为O′（也称为ΔPF1F2的旁心），则动圆圆心O′的轨迹所在曲线是（ ）.

A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线

答案：A.

六、圆锥曲线与三角形的“多个心”问题

例6 （2024·石家庄市模拟题）已知双曲线C：x2a2－y2b2=1a>0，b>0的左、右焦点分别是F1，F2，P是双曲线右支上一点，且PF2⊥F1F2，I和G分别是ΔPF1F2的内心和重心，若IG与x轴平行，则双曲线的离心率为（ ）.

A.3 B. C.3 D.4

导析：如图5，不妨设Px，y在第一象限，因为PF2⊥F1F2，所以x=c，所以Pc，b2a.连接OP，则点G在OP上，且OG=13OP，所以Gc3，b23a.因为IG与x轴平行，所以点I的纵坐标等于b23a.设Im，b23a，ΔPF1F2的内切圆与F1F2相切于双曲线的右顶点Aa，0，所以m=a，所以Ia，b23a.因为ΔPF1F2为直角三角形，所以其内切圆半径r=b23a=c－a，即c2－a23a=c－a，

即c2－3ac+2a2=0，得ca=2或ca=1（舍去）.故选B.

点评：本题结合三角形的内心、重心的定义和性质，考查双曲线离心率的求解方法，其中用到双曲线的焦点三角形的内切圆的性质，考查的学科素养是理性思维、数学探索.

例7 （2024·福建省十校联考题）斜率为1的直线与双曲线E：x2a2－y2b2=1a>0，b>0交于A，B两点，点C是双曲线E上的一点，满足AC⊥BC，ΔOAC和ΔOBC的重心分别为P，Q，ΔABC的外心为R，记直线OP，OQ，OR的斜率分别为k1，k2，k3，若k1k2k3=－8，则双曲线E的离心率为 .

导析：如图6，取AC，BC的中点分别为M，N.

因为ΔOAC的重心P在中线OM上，ΔOBC的重心Q在中线ON上，所以k1=kOP=kOM，k2=kOQ=kON，可得kOM·kAC=kON·kBC=b2a2，即k1·kAC=k2·kBC=b2a2（用到双曲线中的一个二级结论）.由AC⊥BC，得kAC·kBC=－1，所以k1·k2=－b2a22.因为AC⊥BC，且ΔABC的外心为R，则R为线段AB的中点，所以kOR·kAB=b2a2.又kAB=1，所以kOR=b2a2，所以k1k2k3=－b2a23=－8，解得ba=2，所以双曲线E的离心率e=ca=1+ba2=3.

点评：本题结合三角形的重心、外心的定义和性质，考查双曲线离心率的求解方法，其中用到双曲线中的一个二级结论kOM·kAC=kON·kBC=b2a2.考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力.

类题1 （2024·福州市模拟题）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上不与左、右顶点重合的任意一点，I，G分别为ΔPF1F2的内心和重心，当IG⊥x轴时，椭圆的离心率为（ ）.

A.13 B. 12 C. 32 D. 63

答案：A

类题2 （2024·湖南省八校联考题）（多选题） 瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线l与y轴及双曲线x2a2－y2b2=1a>0，b>0的两条渐近线的三个不同交点构成集合M，且M恰为某三角形的外心、重心、垂心所构成的集合，若l的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（ ）.

A.265 B.52 C.2 D.10

提示：类题1，2答案分别为A；ABD.