众所周知,如果P是圆C上的一个定点,A,B是圆C上的两个动点,且直线PA与PB的夹角θ=90°,则直线AB恒过定点,即圆心C.我们自然会问:如果θ为定值但不等于90°,那么直线AB会有怎样的性质呢?本文运用“齐次化”方法求得直线AB的方程,进而得到圆C有关此直线的一个非常优美的性质.
定理 设圆O:x2+y2=r2(r>0)上有一定点P(x0,y0),A,B是圆O上的两个动点,如果直线PA与PB的夹角为定值θ(0°<θ<90°),则直线AB恒与圆:x2+y2=r2cos2θ ( )相切.
证明:将坐标系xOy平移至x′Py′,即按公式x=x′+x0,
y=y′+y0 平移,则圆O的方程可化为x′2+y′2+2x0x′+2y0y′=0.再设直线AB的方程为mx′+ny′=1.下面对圆O的方程进行“齐次化”处理:x′2+y′2+(2x0x′+2y0y′)(mx′+ny′)=0(1+2mx0)x′2+(1+2ny0)y′2+(2nx0+2my0)x′y′=0,两边同除以x′2得
(1+2ny0)y′x′2+(2nx0+2my0)y′x′+(1+2mx0)=0.
设直线PA与PB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=-2nx0+2my01+2ny0,
k1k2=1+2mx01+2ny0, 由此有(k1-k2)2=(k1+k2)2-4k1k2=4y20m2+4x20n2-8x0y0mn-8x0m-8y0n-4(1+2ny0)2,(1+k1k2)2=4x20m2+4y20n2+8x0y0mn+8x0m+8y0n+4(1+2ny0)2.
根据两条直线的夹角公式tanθ=k1-k21+k1k2,两边平方得lYQFnfsg1PVdKP+YrofIuCa63OhJmDWVIPOJ4KvUN/c=(k1-k2)2=tan2θ(1+k1k2)2,再将以上两式代入,经化简整理得
(x20sin2θ-y20cos2θ)m2+(y20sin2θ-x20cos2θ)n2+2x0y0mn+2x0m+2y0n+1=0①.
将上式前三项进行因式分解可得[(x0sinθ+y0cosθ)m+(y0sinθ-x0cosθ)n]·[(x0sinθ-y0cosθ)m+(y0sinθ+x0cosθ)n]②.
再利用恒等式MN=14[(M+N)2-(M-N)2],②式即可化为(x0msinθ+y0nsinθ)2-(y0mcosθ-x0ncosθ)2
这样①式就可化为(x0msinθ+y0nsinθ)2-(y0mcosθ-x0ncosθ)2+2x0m+2y0n+1=0③.
令u=x0msinθ+y0nsinθ,
v=y0mcosθ-x0ncosθ, ④可得m=1r2(x0sinθu+y0cosθv),
n=1r2(y0sinθu-x0cosθv), ⑤.
最后将④⑤两式同时代入③得u2-v2+2sinθu+1=0(u+1sinθ)2-v2=cot2θ.利用双曲线的参数方程,可设u=cotθsecα-1sinθ ,
v=cotθtanα (其中α为参数),将u,v的参数式代入⑤得m=1r2(x0cosθsin2θsecα+y0sinθtanα-x0sin2θ),
n=1r2(y0cosθsin2θsecα-x0sinθtanα-y0sin2θ).
在坐标系x′Py′中,圆x′2+y′2+2x0x′+2y0y′=0的圆心为O(-x0,-y0),直线AB的方程为mx′+ny′-1=0.故点O到直线AB的距离为d=m(-x0)+n(-y0)-1m2+n2=mx0+ny0+1m2+n2( ).
其中mx0+ny0+1=1r2x20cosθsin2θsecα+x0y0sinθtanα-x20sin2θ〗
+1r2y20cosθsin2θsecα+x0y0sinθtanα-y20sin2θ〗+1
=1r2r2cosθsin2θsecα-r2sin2θ〗+1=cosθ(secα-cosθ)sin2θ.m2+n2=1r4r2cos2θsin4θsec2α+r2sin2θtan2α+r2sin4θ-2r2cosθsin4θsecα〗=1r2cos2θsin4θsec2α+1sin2θtan2α+1sin4θ-2cosθsin4θsecα〗
=1r2sin4θcos2θsec2α+sin2θtan2α-2cosθsecα+1〗
=1r2sin4θ[cos2θsec2α+(1-cos2θ)(sec2α-1)-2cosθsecα+1]=1r2sin4θ(sec2α+cos2θ-2secαcosθ)=1r2sin4θ(secα-cosθ)2.
故由( )式有d=cosθsecα-cosθsin2θ·rsin2θsecα-cosθ=rcosθ.
这表明直线AB恒与圆( )相切.
易知圆心不在原点的圆也具有类似的性质,这里不再赘述.