专题复习作载体 素养提升为目标

高三复习不是对已学知识的简单重复与强化，而是一个再学习、再总结、再反思，进而提高综合运用能力的过程.有的放矢、精心设计的专题复习课无疑是实现这一教学目标的有效手段.本文以解决高三学生在高考复习中出现的困惑为出发点，设计了一堂专题复习课，并提出了对专题复习课的一些感悟.

1.问题显现

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》在课程内容专题中指出：函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥重要作用.函数是贯穿高中数学课程的主线.函数思想在高中数学解题中有着广泛的应用，我们可以根据函数思想建立模型、揭示规律、描述关系……，最终实现解决问题的目标.近期我校高三学生参加的联考中，多次出现应用函数思想解决有关最值问题的考题.

这类考题主要考查函数思想的具体应用，对学生的数学建模能力与知识迁移应用能力要求较高.若考生能够根据题意建立函数视角下的解题模型，则此类试题就可以快速解答.但从考生的解答情况来看，并不理想.究其原因，主要在于大部分考生并不具备建立求距离最值解题模型的能力或者建立了解题模型但并没有意识到应从函数视角下去思考与解答.针对以上情形，笔者按照本校高三备课组的要求，开设了一节专题复习课.现将教学设计与个人思考整理成文，与大家共享.

2.教学设计

2.1 引入——构建解题模型

例1 已知实数a，b满足2a2－5lna－b=0，c∈R，则（a－c）2+（b+c）2的最小值为（ ）.

A.12 B.22 C.322 D.92

解析：用x代换a，用y代换b，则有y=2x2－5lnx（x>0）；再用x代换c，可得点（x，－x）满足y=－x.求（a－c）2+（b+c）2的最小值可以看成函数y=2x2－5lnx（x>0）图像上的点到直线y=－x的距离的最小值，即建立了求曲线上的点到直线距离最小值模型.本题中我们可以使用切线平移法求出最小值为322.

例2 设x，a，b均为任意实数，且a+22+b－32=1，则x－a2+lnx－b2的最小值为（ ）.

A.32 B.18 C.32－1 D.19－62

解析：由点a，b满足a+22+b－32=1，则x－a2+lnx－b2最小值可以看作圆（x+2）2+（y－3）2=1上点与对数函数y=lnx上点的距离平方的最小值，

即建立了求两曲线上点之间的距离的最小值模型.我们可以通过考虑动圆（x+2）2+（y－3）2=r2与曲线y=lnx在相切的状态下求出最小值，设动圆与曲线对数y=lnrBBJLy3f5KzKcoPBaNYEMA==x相切，切点为Q（x，lnx），则公切线与半径CQ垂直，所以lnx－3x+2·1x=－1，即lnx=－（x－1）（x+3），得出切点Q（1，0），所以PQ≥CQ－PC=CQ－1≥32－1，即x－a2+lnx－b2的最小值为32－12=19－62.

例3 已知实数x，y满足条件3x2+4y2=48，则x2+y2－4x+4+x2+y2+2x－4y+5的最大值为（ ）.

A.8+13 B.16+13 C.8+5 D.8+25

解析：因为x2+y2－4x+4+x2+y2+2x－4y+5=x－22+y2+x+12+y－22，故问题转化为椭圆x216+y212=1上的点Px，y到点A2，0和点B（－1，2）的距离之和的最大值，即建立了求曲线上一点到两定点距离之和最大值的解题模型.如图baHyk8qKX27+BtimPFCLHA==1所示，A2，0为椭圆的右焦点，设左焦点为A ′（－2，0），则PA+PB=2a－PA ′+PB=2a+PB－PA ′，又因为PB－PA′ ≤BA′=5，所以PB－PA ′∈－5，5〗，进而可得所求最大值为8+5.

设计意图：在平面几何中，最常用的距离公式有三种：（1）平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离公式P1P2=x1－x22+y1－y22；（2） 点Px0，y0到直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距离公式d=Ax0+By0+CA2+B2；（3）两平行直线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0（A2+B2≠0）之间的距离公式d=C1－C2A2+B2.单独考查距离公式应用的考题难度并不大，但若将函数思想贯穿在有关距离最值问题的命制中，那么解题模型的建立在问题的解决中就起到了关键的作用.通过总结，我们不难发现求距离最小值的解题模型主要有三种类型：（1）求曲线上的点到直线的距离最大（小）值；（2）求两曲线上点之间的距离的最大（小）值；（3）求曲线上的点到两定点距离之和的最大（小）值.通过对以上三道例题的引入，初步带领学生分析得出三种常见解题模型的建立过程与解题思路.

2.2 提升——拓展解题思路

例4 设D=x－a2+ex－2a2+a+2，其中e≈2.71828，则D的最小值为（ ）.

A.2 B.3 C.2+1 D.3+1

解析：题中的x－a2+ex－2a2可以看成点Px，ex

与点Q（a，2a）之间的距离，点P（x，ex）的轨迹是曲线y=ex，点Q（a，2a）的轨迹是曲线y2=4x（x≥0，y≥0），如图2所示，点Q（a，2a）到抛物线准线的距离为a+1，由抛物线定义可得D=x－a2+ex－2a2+a+2=PQ+QH+1=PQ+QF+1≥PF+1，当且仅当P，Q，F三点共线时取等号.再以点F为圆心作半径为r的圆与曲线y=ex相切，切点为Px，ex，此时的公切线与圆的半径垂直，所以exx－1·ex=－1，求得x=0，故切点为P0，1，所以PFmin=2，故Dmin=2+1，故选C.

例5 已知函数f（x）=x2+ln3x2－2ax+3lnx+10a2，若存在x0使得f（x0）≤110成立，则实数a= .

解析：由f（x）=x2+ln3x2－2ax+3ln3x+10a2=ln3x－3a2+x－a2，知f（x）表示点M（x，ln3x）与点N（a，3a）之间距离的平方，则M（x，ln3x）为曲线y=ln3x上的动点，N（a，3a）为直线y=3x上的动点，将直线平移与曲线相切求得切点为M（13，0），则曲线上M点到直线的距离最小，最小距离为1010，所以f（x）min=110，又由题意可知f（x）min≤110，所以f（x）min只能等于110，进而MN=a－132+3a－02=1010，所以a=130.

设计意图：通过第一层面的引入，学生已经基本上掌握了构建模型求距离最值的基本方法和解题思想，但对于解决一类需要进行灵活变化后才能转化为距离模型试题的能力还需进一步提升.故笔者设计了以上两道题，旨在进一步拓展学生的解题思路.在例5中，所求D=x－a2+ex－2a2+a+2中的根式部分可以看成是两条曲线上两点之间的距离，对于a+2则需要我们根据曲线的特点进行转化：看成是抛物线上点Qa，2a到准线的距离加1，这样我们就实现了点到直线（准线）的距离与点到点（焦点）的等价转化，从而由三点共线求距离最小值的原则，将问题顺利解决.在例6中，首先需要将所求表达式进行变化，转化为求曲线上点到直线距离最小值的模型， 其次需要对“存在x0使得f（x0）≤110成立”进行等价转化，即f（x）min≤110，这样就建立了求参数a的等式，进而得出a的值.

2.3 内化——感知核心素养

例6 （2024届“耀正优 +”12月高三名校阶段检测联考 数学 第7题）已知函数f（x）=mcosx+sinx+n在区间π3，π2〗上存在零点，则m2+n2的最小值为（ ）.

A.1 B.22 C.35 D.12

解析：题中，不妨设零点为x0∈π3，π2〗，则有cosx0m+n+sinx0=0，点P（m，n）就可以看作直线l：cosx0·x+y+sinx0=0上一点，m2+n2可以看成坐标原点与直线l上一点P（m，n）距离的平方，故有m2+n2≥d2=sinx01+cos2x02=sin2x01+cos2x0，由正、余弦函数在区间π3，π2〗的单调性可得d2min=sin2π31+cos2π3=35，所以m2+n2的最小值为35.

例7 （多选）已知函数f（x）=aex－1－x+b，若f（x）在区间1，2〗上有零点，则a2+b2的值可以为（ ）.

A.1e B.1e C.2e D.1

解析：题中，不妨设零点为x0∈1，2〗，则有ex0－1·a+b－x0=0，则点P（a，b）就可以看成直线l：ex0－1·x+y－x0=0上一点，a2+b2就可以看成坐标原点与直线l上一点P（a，b）的距离，故有a2+b2≥d=－x0ex0=x0ex02，令g（x）=xex2，x∈1，2〗，则g'（x）=ex21－x2ex≥0，进而可得g（x）min=1e，所以a2+b2≥1e，则B，C，D选支均满足.

设计意图：以上二题都可以转化为求定点与直线上一点距离的最小值问题.解决这一类型试题有两个关键点，一是要能够根据题意构造直线l，将函数存在零点这一条件转化为动点P（m，n）或P（a，b）在直线l上；二是要能够借助函数思想，将求距离的最值问题转化为求函数的最值问题.通过两道例题的设置，不仅进一步提升了学生的数学建模能力和知识迁移应用能力，而且让学生深刻感悟了函数视角下去思考和解决有关距离最值问题的数学思想.

3.反思

高三数学复习课的主要任务就是在逐个知识点复习推进的同时，还要能够将所学的数学知识系统化、结构化，从而帮助学生从整体上掌握所学的数学知识和方法.尤其在学生普遍感觉较难的知识点上，老师要能够总结出针对这一知识点的常考题型，在课堂上与学生一起探究其常用的解题方法，使这一部分知识逐步系统化、结构化，从而达成难点各个击破的目的.本文就是以解决学生在平时学习中遇到的问题为教学设计的出发点，采取了专题复习形式展开教学，通过这节课的教学让学生深刻体会到函数视角下求距离最值问题的解题关键是要能够根据问题的结构特征挖掘出动点的轨迹方程，找出动点的“隐藏地”，然后利用曲线的性质转化为求函数的最值问题.通过以上三个层次的教学设计，依次达成了强化基础、发散思维、提升素养的教学目标.