分赌注问题的历史、求解与应用

1.分赌注问题的历史背景

分赌注问题又称为分点问题或点问题. 在概率论中它是个极其著名的问题. 在历史上它对概率论这门学科的形成和发展曾起过非常重要的作用.1654年法国有个叫德·梅耳的赌徒向法国数学家帕斯卡提出了分赌注问题. 帕斯卡为了解决这一问题，就与法国数学家费马频繁通信，交流这个问题［1］.

2.分赌注问题的内容

分赌注问题：甲、乙两个赌徒下了赌注，按某种规则赌博起来，规定：甲、乙谁胜一局就得一分，且谁先得到某个确定的分数谁就赢得所有赌注. 但是在谁也没有得到确定的分数之前，赌注因故中止了. 如果甲需再得n分才赢得所有赌注，乙需再得m分才赢得所有赌注，那么，甲、乙两人该如何分配这些赌注？

3.分赌注问题的转化

那么如何解决这一问题呢？即如何合理地分配这些赌注呢？帕斯卡提出了一个重要思想：赌徒分得赌注的比例应该等于从这以后继续赌下去它们能获胜的概率之比［2］.

甲、乙两人获胜的概率又应如何求呢？（实际上只需求他们中一人获胜的概率）

首先，要作必要的假设，假设：①甲胜一局的概率为一常数p，乙胜一局的概率为1-p；②各局赌博（无论谁胜）均互不影响. 显然这两个假设是合理的.

其次，根据帕斯卡的思想和上述的两个假设，可把分赌注问题归纳成如下的一般问题：

进行某种独立重复试验，设每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p. 问在m次失败之前取得n次成功的概率（即甲获胜的概率）是多少？

这问题也等价于有放回摸球问题：从装有a个白球和b个黑球的袋中有放回摸球，求在摸到m次黑球之前摸到n次白球的概率.这里把摸到白球（概率为p=aa+b）理解为成功，摸到黑球理解为失败（概率为1-p）.

4.分赌注问题的解

方法1：（帕斯卡的解法）为了使n次成功发生在m次失败之前，必须且只需在前n+m-1次试验中至少成功n次. 因为如果在前n+m-1次试验中至少成功n次，那么，在前n+m-1次试验中至多失败m-1次，于是n次成功发生在m次失败之前；另一方面，如果在前n+m-1次试验中成功次数少于n，则在前n+m-1次试验中失败次数至少为m次，这样在m次失败之前就得不到n次成功. 由二项分布的概率公式，在前n+m-1次试验中有k次成功的概率为Ckn+m－1pk（1－p）n+m－1－k.，故在前n+m-1次试验中至少成功n次的概率［记为P（n，m）］为P（n，m）=∑n+m－1k=nCkn+m－1pk（1－p）n+m－1－k. （1）

方法2：（惠更斯的解法）无论n次成功发生在m次失败之前，还是m次失败发生在n次成功之前，试验最多进行n+m-1次. 又n次成功发生在m次失败之前（即甲获胜）进行试验的次数可能是n，n+1，n+2，…，n＋m－1. 如果n次成功发生在m次失败之前是在第k（n≤k≤n+m-1）次试验实现，则第k次试验一定是成功的，且在k-1次试验中应有n-1次成功，k-n次失败，由二项分布的概率公式，得只需进行k次试验的概率为

Cn-1k-1pn-1（1-p）k-np=pnCN-1K-1（1-P）k-n，k=n，n+1，…，n＋m－1.

从而n次成功发生在m次失败之前的概率为P（n，m）=pn∑n+m－1k=nCn－1k－1（1－p）k－n. （2）

注：费马也给出了问题的解法，有兴趣的老师可参看文［2］.

5.分赌注问题的应用

例1 甲、乙进行某项比赛，甲得失一分的概率分别为0.8与0.2，且每得失1分互相独立. 由于甲的实力比乙强得多，乙提出了如下不公平的比赛规则（否则乙将不与甲比赛）：甲在乙得2分之前得5分甲胜，乙在甲得5分之前得2分乙胜. 求甲获胜的概率.

解：此规则的一般情形是：甲在乙得m分之前得n（n>m）分甲胜，乙在甲得n分之前得m分乙胜，此即是分赌注问题. 由（1）式知甲获胜的概率为P（5，2）=∑6k=5Ck60.8k0.26-k=0.589824+0.262144=0.851968.

例2 甲、乙进行某项比赛，设甲得失1分的概率分别为p与q（q=1-p），且每得失1分互相独立. 比赛规则规定：甲比乙多得n分甲胜，乙比甲多得m分乙胜. 求甲获胜的概率.

解：设p（j）表示甲比乙多得n-j分情况下甲获胜的概率，j=0，1，…，n+m，则显然有p（0）=1，p（n+m）=0，且所求概率为p（n）. 由全概率公式得p（j）=pP（j-1）+qP（j+1）.（3）

下面用待定系数法解此差分方程.令P（j）=xj，由（3）式得代数方程qx2-x+p=0解之得x1=1，x2=p/q，（p≠q），故其通解为P（j）=C1+C2（p/q）j.由边界条件p（0）=1，p（n+m）=0，可确定常数C1，C2，它们分别是C1=1-11-（p/q）n+m，C1=11-（p/q）n+m

，于是P（j）=（p/q）j－（p/q）n+m1－（p/q）n+m.当p=q时，x1=1，x2=1，通解为P（j）=A1+A2j. 由P（0）=1，P（n+m）=0得A1=1，A2=-1n+m.于是得P（j）=1－jn+m，从而，所求概率为P（n）=pn（qm-pm）qn+m-pn+m，p≠q，mn+m，p=q.

例3 甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为p（p≥12）.问：对甲而言，采用3局2胜制有利，还是采用5局3胜制有利. 设各局胜负相互独立.

评析：例3的解析可参看文［2］.我们来看一个特例，即当p=0.6时，根据（1）式或（2）式知，采取3局2胜制甲获胜的概率为P（2，2）二0.648；采取5局3胜制甲获胜的概率为P（3，3）二0.68256. 由此可见，采用5局3胜制对甲有利. 这还表明：如果甲每局胜的概率p>12，则多比赛几局对甲更有利. 易知P（n+1，n+1）（n≥0）是2n+1局n+1胜制下甲赢乙的概率.

参考文献

［1］刘新求，张垚.探寻“赌金分配问题”的历史解答［J］.数学通报，2008，47（10）：45-47.

［2］李鸿昌. 高考题的高数探源与初等解法［M］.合肥：中国科学技术大学出版社，2022.4.