例析特殊函数法在求解高中数学客观题中的妙用

1.引言

著名数学家希尔伯特认为：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用.特殊化是克服数学难题最重要的杠杆之一.”此观点深刻地揭示了特殊与一般数学思想的重要性，尤其是特殊化思想的重要作用.

何为特殊化思想？简言之，对于一般情况下成立的命题，在特殊情况下一定成立.在特殊情况下不成立的命题，在一般情况下必定不成立.本文例析特殊函数法在求解高中数学客观题中的妙用.

2.实例分析

例1 （2014年高考广东卷·文13）等比数列{an}的各项均为正数且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=.

析解：从常规思路求解，由题意可得a1a5=a23=4，则a3=2，所以原式=log2（a1a2a3a4a5）=log2a53=5log2a3=5.若本题选取特殊的正项常数列（即常函数），令an=2，符合a1a5=2×2=4，则可求得原式=5log22=5.

变式 （人教版教材必修5第68页，复习参考题，B组第1题（1））等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（ ）.

A.12 B.10 C.8 D.2+log35

提示：借助符合题意的特殊常数列an=3易知，选B.

例2 （2021年全国新高考Ⅱ卷·8）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为奇函数，则（ ）.

A.f（－12）=0 B.f（－1）=0

C.f（2）=0 D.f（4）=0

析解：利用二级结论，由f（x+2）为偶函数可得函数f（x）的图象关于直线x=2对称，由f（2x+1）为奇函数可得函数f（x）的图象关于（1，0）中心对称，由此得到周期T=4|2－1|=4，与周期、对称性有关，从而想到构造三角函数模型，得到函数f（x）的图象关于直线x=0对称，可构造函数f（x）=cosπ2x，排除A、C、D，选B.

变式1 （2024年九省联考卷·11，多选题）已知函数f（x）的定义域为R，且f（12）≠0，若f（x+y）+f（x）f（y）=4xy，则（ ）.

A.f（－12）=0 B.f（12）=－2

C.f（x－12）是偶函数 D.f（x+12）是减函数

析解：若f（x）为常函数，则不符合关系式，不妨设f（x）=kx+b，则k（x+y）+b+（kx+b）（ky+b）=4xy，左式展开，根据等式性质可得k=±2，b=－1，又由于f（12）≠0，可取一次函数f（x）=－2x－1，代入选项，可选出ACD.

变式2 （2022年全国新高考Ⅱ卷·8）若函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x－y）=f（x）f（y），且f（1）=1，则∑22k=1f（k）=（ ）.

A.－3 B.－2 C.0 D.1

析解：本题通法是利用赋值法和函数性质推导得到周期，再运算求解，有一定难度.事实上，根据求解表达式不难猜测f（x）是周期函数，由f（x+y）+f（x－y）=f（x）f（y）与f（1）=1联想到积化和差公式，选取三角函数f（x）=2cosπ3x，其周期T=6，计算得f（2）=－1，f（3）=－2，f（4）=－1，f（5）=1，f（6）=2，所以∑22k=1f（k）=3［f（1）+f（2）+…+f（6）］+f（19）+f（20）+

f（21）+f（22）=0+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=－3，故选A.

例3 （2023年洛阳期末考试题）设f′（x）是定义在R上的函数f（x）的导函数，且f（x）>f′（x）.若e2a－1f（a+1）>f（3a），则实数a的取值范围为（ ）.

A.（12，+∞） B.（－∞，12）

C.（－12，+∞） D.（－∞，－12）

析解：本题通过构造新函数g（x）=f（x）ex，利用新函数的单调性即可求出a的取值范围.但，由题目而联想构造新函数g（x）=f（x）ex是一难点，再由e2a－1f（a+1）>f（3a）变形得到f（a+1）ea+1>f（3a）e3a，即g（a+1）>g（3a），更不易想到. 若采用特殊函数法，本题选取常函数f（x）=1符合题意，原不等式转化为求解e2a－1>1，即2a－1>0，则a>12，选A.

变式 （2023年泉州模拟题）定义在R上的函数y=f（x+2）的图象关于直线x=－2对称，f（x）的导函数为f′（x），当x>0时，恒有x2f′（x）+f（－x）<0.若f（a）b2<f（b）a2，则下列不等式一定成立的是（ ）.

A.a>b B.a<b

C.|a|<|b|&9bS7wkNjas6Jx+UO4YTSJg==nbsp; D. |a|>|b|

析解：由于y=f（x+2）的图象关于直线x=－2对称，则y=f（x）的图象关于直线x=0对称，即y=f（x）是偶函数，故f（－x）=f（x）.将x2f′（x）+f（－x）<0变形得到x2f′（x）+2xf（x）<0（x>0），则可构造新函数g（x）=x2f（x），进而求导，得到新函数的单调性即可求解.若选取符合条件的特殊常函数f（x）=－1，当x>0时，恒有x2f′（x）+f（－x）<0成立，则f（a）b2<f（b）a2等价于求解－1b2<－1a2，变形得到a2>b2，故选D.

注：本题也可以选择二次函数模型f（x）=－x2，也能快速求解.

例4 若定义在R上的奇函数f（x）在（－∞，0］上单调递减，则不等式f（x）+f（x－2）≥0的解集为（ ）.

A.［1，+∞） B.［2，+∞）

C.（－∞，2］ D.（－∞，1］

析解：本题利用通法，根据函数的奇偶性和单调性性质，不难得出结论.本题也可以依据题意，选取符合条件的一次函数f（x）=－x，则原不等式等价于－x－（x－2）≥0，从而解得x≤1，故选D.

变式 已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（－x），且在（0，+∞）上是增函数，不等式f（ax+2）≤f（－1）对于x∈［1，2］恒成立，则a的取值范围是（ ）.

A.（－∞，－32］ B.（－∞，－12］

C.［－3，－12］ D.［－32，－1］

析解：依题意可知f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，可选取特殊函数f（x）=x或f（x）=x2，原不等式等价于ax+2≤－1，则－1≤ax+2≤1，即－3≤ax≤－1恒成立，又x∈［1，2］，解得－32≤a≤－1，故选D.

3.结语

在解题课的教学中，通性通法固然很重要，但针对一些运用通性通法求解比较繁琐的试题，若能从特殊值法、特殊图形法、特殊位置法、特殊函数法等角度入手，可极大地简化解题过程，节省解题时间，防止小题大做，激发学生学数学的热情，从而提高学好数学的积极性，并且能体验解题成功的喜悦感和成就感.