一道高三联考题解法的探讨

高考数学作为考查学生数学知识综合运用能力的重要途径，一直以来备受广大考生和教师的高度关注.特别是新高考以来，高考数学命题趋势变化明显，推陈立新，难度和灵活性有较大提升，解题能力也提出了更高的要求.因此在高考复习的过程中，教师在模考题的解法上应加强必要的探讨，这有利于高三学生扩大知识面、提高应试能力、提高解题的思维能力和解题速度.本文以一道联考题予以研究.

一.题目

（2024巴蜀中学联考题）已知函数f（x）=12x2－ax+a－1lnx （a>1）.

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）求证：若a<5，则对于任意x1，x2∈0，+∞，x1≠x2，有fx1－f（x2）x1－x2>－1.

二.解法

解析：（1）因为f（x）的定义域为0，+∞， f'（x）=x－a+a－1x=x2－ax+a－1x

=（x－1）（x+1－a）x，所以（i）若a－1=1即a=2时，f'（x）=（x－1）2x≥0，

所以f（x）在0，+∞上单调递增.（ii）若a－1<1即1<a<2时，当x∈a－1，1时f'（x）<0，当x∈0，a－1 及x∈1，+∞时f'（x）>0，所以f（x）在a－1，1上单调递减，f（x）在0，a－1和1，+∞上单调递增.

（iii）若a－1>1即a>2时，同理可得f（x）在1，a－1上单调递减，f（x）在0，1和a－1，+∞上单调递增.

（2）（证法一）：构造函数g（x）=f（x）+x， 因为g（x）=f（x）+x，

=12x2+1－ax+a－1lnx，∴g′（x）=x+a－1x+1－a≥2x·a－xx+1－a=2a－1－a－1=1－a－1－12.∵1<a<5，∴0<a－1<2 a－1－12<1，1－a－1－12>0，即g′（x）>0.∴g（x）在0，+∞上单调递增.∵x1，x2∈0，+∞且x1≠x2，不妨设x1>x2，

则gx1>gx2，有fx1+x1>fx2+x2.∴fx1－f（x2）x1－x2>－1.

（证法二）：运用对数均值不等式.∵x1－x2lnx1－lnx2<x1+x22 ，∴lnx1－lnx2x1－x2>2x1+x2，

则fx1－f（x2）x1－x2=12x21－ax1+（a－1）lnx1－［12x22－ax2+（a－1）lnx2］x1－x2

=12（x21－x22）－a（x1－x2）+（a－1）（lnx1－lnx2）x1－x2=12（x1+x2）+（a－1）·lnx1－lnx2x1－x2－a>12（x1+x2）+（a－1）·2x1+x2－a≥212（x1+x2）·（a－1）·2x1+x2－a=2a－1－a=－a－1－12>－1.∴fx1－f（x2）x1－x2>－1.

（证法三）：运用拉格朗日中值定理.∵x1，x2∈0，+∞且x1≠x2，不妨设x1<x2，

对任意x0∈［x1，x2］，若x1，x2取遍所有的正实数，则x0∈0，+∞，

则要证fx1－f（x2）x1－x2=fx2－f（x1）x2－x1>－1，由拉格朗日中值定理得f′（x0）>－1，又∵f′（x0）=x0－a+a－1x0=x0+a－1x0－a≥2a－1－a=－a－1－12>－1.∴fx1－f（x2）x1－x2>－1.