一道“非对称”二元最值题的解法探究

在强基或竞赛中，二元条件最值试题是热点题型，这类问题结构形式情形复杂，题型多样，综合性强，是对学生能力要求较高的一类试题.

本文对一道“非对称”结构的二元条件最值题的解法的进行探究.

1.试题呈现

（中学生标准学术能力诊断性测试2024年1月测试第8题） 已知x，y>0，x3+y3-14x-14y=3，则13x+y的最大值是（ ）.

A.15 B.18 C.20 D.24

2.解法探析

分析1：将已知条件中的方程变形化为关于x，y的同构式，构造函数结合导数求解.

解法1：由x3+y3-14x-14y=3，得x3-14x-32=-（y3-14y-32）.

令φ（x）=x3-14x-32（x>0），则有φ（x）=-φ（y）.又φ′（x）=3x2-14，所以令φ′（x）=0，得x=112=36.当0<x<36时，φ（x）<0；当x>36时，φ（x）>0，所以φ（x）在（0，36）上单调递减，在（36，+∞）上单调递增.由于φ（x）+32=x3-14x，又φ（0）=φ（12）=φ（32）=-32，因此φ（x）=-φ（y）的解为x=12，y=32，或x=32，y=12.易知当x=32，y=12时，13x+y取得最大值20.故选C.

分析2：将已知条件中的方程移项、分解因式，从使得方程成立的一组特殊值入手，利用三元均值不等式和不等式性质进行放缩、配凑转化求解.

解析2：因为x3+y3-14x-14y=3，所以x3-14x-3=-y3+14y，即4x3-x-12=-4y3+y，所以（2x-3）（2x2+3x+4）=y（1-2y）（1+2y）.由于当x=32时，y=12，因此由三元均值不等式得x3+（32）3+（32）3≥33x3·（32）3·（323=274x，所以4x3+27≥3y①. 同理y3+（12）3+（12）3≥33y3·（12）3·（123=34y，所以4y3+1≥3y②.

由①+②，得4（x3+y3）+28≥27x+3y，所以4（x3+y3）-x-y=28≥26x+2y，所以4×（14x+14y+3）-x-y+28≥26x+2y，即（x+y）+12-x-y+28≥26x+2y，所以40≥26x+2y，即13x+y≥20，当且仅当x=32，y=12时取等号.所以13x+y取得最大值20.故选C.

分析3： 已知条件给出的是关于x，y的三次对称方程，而待求式子是关于x，y的非对称一次式，根据这一“差异”，需要把x3向x“靠拢”变形、且把y3向y“靠拢”变形，且变形整理后达到待求式子的系数要求，于是考虑运用三元均值不等式“待定”求解.

解析3：设m，n>0，则x3+m3+m3≥33x3·m3·m3=3m2x，y3+n3+n3≥y3·n3·n3=3n2y，当且仅当x=m，y=n时上述等号成立.所以3=x3+y3-14x-14y≥（3m2x-m3-m3）+（3n2y-n3-n3）-14-14y=（3m2-14）x+（3n2-14）y-2m3-2n3.与待求式子的系数对比，且保证不等式等号成立，则令3m2-1413=3n2-141，m3+n3-14m-14n=3，解得m=32，n=12.所以代入3≥（3m2-14y-2m3-2n3中，得3≥13x+y2-7，所以13x+y≥20，当且仅当x=32，y=12时取等号.所以13x+y取得最大值20.故选C.

分析4：寻求当x，y分别为什么值时，13x+y可能取得最大值是求解的难点和关键.因此将立方和公式的变形x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）=（x+y）［（x+y）2-3xy］及极化配方公式xy=（x+y）2-（x-y）24代入已知条件方程的左边，转化为只含有x+y与x-y的一个等式，这样易于观察求解.然后进行配方，先把x3+y3配方成x（x-32）2与y（y-12）2的形式，再将前面出现的3x2与y2项，配方成3（x-12）2与（y-12）2的形式，最后整理出现13x+y的形式从求解.

解析4：因为x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）=（x+y）［（x+y）2-3xy］及配方公式xy=（x+y）2-（x-y）24，所以代入x3+y3-14x-14y=3，得（x+y）［（x+y）2-3×（x+y）2-（x-y）24］-14（x+y）=3，所以（x+y）3+3（x+y）（x-y）2-（x+y）=12.

观察、分析得当x-y=1，x+y=2时，23+3×2×1-2=12成立，此时x=32，y=12.所以x（x-32）2+y（y-12）2=x3+y3+94x-3x2+14y-y2.又3（x-32）2=3x2-9x+274，（y-12）2=y2-y+14，上述三式相加，得（x+3）（x-32）2+（y+1）（y-12）2=x3+y3-274x-34y+7，所以x3+y3-14x-14y=（x+3）（x-32）2+（y+1）（y-12）2-14+274x-14y-34y-7=（x+3）（x-32）2+（y+1）（y-12）2+13x+y2-7=3.

故已知条件方程可化为（x+3）（x-32）2+（y+1）（y-12）2+13x+y2=10.

因为（x+3）（x-32）2+（y+1）（y-12）2≥0，所以13x+y2≤0，所以13x+y≤20，当且仅当x=32，y=12时取等号.所以13x+y取得最大值20.故选C.

3.结语

以上对一道“非对称”结构的二元条件最值题的解法从四个不同角度进行了探究，从中可得到两点启示：一是注重知识的纵向探索，对某个知识块在形式上不断变化，探究其一般处理方法；二是注重知识的横向联系，对多个知识块探究其交汇联结，培养学生的观察能力和发散思维.