“线性组合”模型在解题中的应用

在许多数学问题中，常用到两个基本量α，β的“线性组合”模型，即λα+μβ（λ、μ为实常数）的形式.应用“线性组合”模型，可以将目标量与已知量相关联，用联系地观点看待问题，从而将所求结论转化到已知条件上来求解.本文举例说明“线性组合”模型在解题中的应用.

1.求解函数问题

例1 若二次函数y=f（x）的图象过原点，且3≤f（1）≤4，1≤f（-1）≤2，则f（-2）的取值范围为 .

解析：设f（x）=ax2+bx（a≠0），由已知得3≤f（1）=a+b≤4，1≤f（-1）=a-b≤2.

又f（-2），=4a-2b，设存在实数λ、μ，使得f（-2）=λf（1）+μf（-1），即4a-2b=λ（a+b）+μ（a+b）=（λ+μ）a+（λ-μ）b，所以λ+μ=4，λ-μ=-2，解得λ=1，μ=3.所以f（-2）=4a-2b=（a+b）+3（a-b）.因为1≤a-b≤2，所以3≤3（a-b）≤6.又3≤a+b≤4，所以6≤（a+b）+3（a-b）≤10，即6≤f（-2）≤10.故f（-2）的取值范围为6，10.

点评：在本题中，f（-2）的范围与f（-1），f（1）的范围是相互联系和制约的，这里利用f（1）和f（-1）的线性组合表示f（-2），可以避免 “在多次运用不等式的性质时，其等号成立的条件不同，造成积累误差，结果使取值范围扩大”的错误，使问题得以正确求解.

例2 已知3π4<α-β2<π，π4<α2-β<π2，且cos（α-β2）=-513，sin（α2-β）=45，求cos3β2的值.

解析：设3β2=λ（α-β2）+μ（α2-β）=（λ+μ2）α+（-λ2-μ）β，则对应系数等λ=1，μ=-2.所以cos3β2=cos（a-β2）-2（a2-β）=cos（α-β2）cos2（α2-β）+sin（a-β2）·sin2（α2-β）.因为cos（α-β2）=-513，3π4<a-β2<π，所以sin（α-β2）=1213.因为sin（α2-β）=45，π4<α2-β<π2，所以cos（α2-β）=35，所以cos2（α2-β）=1-2sin2（α2-β）=-725，sin2（α2-β）=2sin（α2-β）cos（α2-β）=2425，所以cos3β2=cos（α-β2）-2（α-β2）=323325.

点评：变角是重要的三角恒等变换，这里将结论中的角表示为条件中的角的线性组合来求解，方法明确，可操作性强，是沟通已知与结论的重要手段.

例3 （2021届T8第一次联考5）已知△ABC中，AB=1，AC=3，cosA=14，点EE在直线BC上，且满足BE=2AB+λAC（λ∈R），则AE （ ）.

A．34 B．36 C．3 D．6

解析：由BE=2AB+λAC，可得AE－AB=2AB+λAC，即AE=3AB+λAC.

由点E在直线BC上，所以BE=xBC，所以AE－AB=xAC－AB.

所以AE=xAC+1－xAB.又AE=3AB+λAC，所以λ=x，

1－x=3， 则λ=－2. 所以AE=3AB－2AC，则AE2=3AB－2AC2=9AB2+4AC2－12AB·AC=36，所以AE=6.故选D.

点评：根据平面向量的基本定理，可以将平面内的任一向量表示为平面向量的一组基底的线性组合，这是求解向量问题常运用的解题意识.本题就是以AB，AC为基底进行转化求解的.

例4 （2021届八省新高考联考17）已知各项都为正数的数列an满足an+2=2an+1+3an.（1）证明：数列an+an+1为等比数列；（2）若a1=12，a2=32，求an的通项公式.

解析：将an+2=2an+1+3an的两边同时减去λan+1，得an+2-λan+1=（2-λ）an+1+3an，即an+2-λan+1=（2-λ）（an+1+32-λan）.令-λ=32-λ，得λ2-2λ-3=0，解得λ=-1，或λ=3.

（1）当λ=-1，有an+2+an+1=3（an+1+an），所以数列an+an+1是以a1+a2为首项，3为公比的等比数列.

（2）因为a1=12，a2=32，所以a1+a2=2.由（1）可知若λ=-1，则an+an+1=（a1+a 2）·3n-1=2·3n-1①.又若λ=3，则an+2-3an+1=-（an+1-3an），所以数列an+1-3an是以a2-3a1为首项，-1为公比的等比数列.所以an+1-3an=（a2-3a1）·（-1）n-1.而由a1=12，a2=32，得a2-3a1=0，所以an+1-3an=0②.故由①②，得4an=2·3n-1，所以an=12·3n-1.

点评：数列“项”之间的线性组合，即数列的递推关系式，往往利用待定系数法求出待定系数后，转化为等差数列或等比数列来求解.

例5 已知a、b、c是实数，函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b，当-1≤x≤1时，f（x）≤1，证明：当-1≤x≤1时，g（x）≤2.

证明：由f（1）=a+b+c，f（-1）=a-bx+c，f（0）=c，得a=f（1）+f（-1）-2f（0）2，b=f（1）-f（-1）2，c=f（0），代入g（x）的表达式中，得g（x）=x+12f（1）+x-12f（-1）-xf（0）.因为当-1≤x≤1时，f（x）≤1，所以有g（x）=x+12f（1）+x-12f（-1）-xf（0）≤x+12f（1）+x-12f（-1）+xf（0）≤x+22+x-12+x=x+12+1-x2+x=1+x≤2.故当-1≤x≤1时，g（x）≤2.

点评：本题求解的关键是把a、b、c分别表示为f（1）、f（-1）、f（0）的线性组合，然后利用绝对值不等式的知识进行“放缩”证明的.