一道椭圆试题中的定值问题及推广

在一道高三联考椭圆面积题目进行解答过程中，笔者发现其定值结论，对定值结论进行更一般化的推广，并把结论进行推广到双曲线中.

1.题目呈现及求解

题目（2023年12月重庆巴蜀中学高三联考）已知点P（x0，y0）是椭圆E：y2a2+x2b2=1（a>b>0）上的动点，离心率e=32，设椭圆的左右焦点为F1，F2，且|PF1|+|PF2|=4.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线PF1、PF2与椭圆E的另一个交点分别为A、B，问ΔPAB的面积是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说出理由.

第（1）问考查椭圆方程，属于基础知识，其答案为x24+y2=1.第（2）问涉及三角形面积的表示及其转化为函数最值问题，得分率较低，属于难题.

解：因SΔPABSΔPF1F2=12|PA||PB|sin∠APB12|PF1||PF2|sin∠APB=|PA||PB||PF1||PF2|，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则有SΔPAB=|PA||PB||PF1||PF2|SΔPF1F2=y0－y1y0y0－y2y0c|y0|，因此SΔPAB=（1－y1y0）（1－y2y0）c|y0|.下面把y1y0，y2y0用P的坐标表示.设PA： x=my－3，联立PA与椭圆有（m2+4）y2－23my－1=0.则y0+y1=23mm2+4，，y0y1=－1m2+4.又因为x0=my0－3，所以y0+y1y0y1=－23m=－23x0+3y0，所以y0+y1y1=－23x0－6，即有y0y1=－23x0－7 .同理有y0y2=23x0－7.由椭圆的对称性，设y0>0，则y0∈（0，1］. 所以SΔPAB=（1－y1y0）（1－y2y0）cy0=（1+123x0+7）（1－123x0－7）×3y0=3y0x20－163x20－4912=3y04－4y20－1634－4x20－4912=3y0（y20+13）y20+148.

令f（x）=3x（x2+13）x2+148（x∈（0，1］）.猜想f（x）≤f（1），即3x（x2+13）x2+148≤64349成立，即证明3x3+x48x2+1≤449，即证明147x3－192x2+49x－4≤0，即证明（x－1）（147x2－45x+4）≤0，又147x2－45x+4<0恒成立，所以在x∈（0，1］时（x－1）（147x2－45x+4）≤0恒成立，且在x=1时取等，即P在上顶点时， ΔPAB面积存在最大值为64349.

此题第1步是把ΔPAB的面积转化ΔPF1F2.第2步把y1y0，y2y0转化为x0，y0的形式.第3步是求f（x）的最值问题，直接求导难度大，不易计算，此处数形结合，判断最大值在顶点取到，并可证明.

2.提出问题及探究

此题解答过程中，不难发现有y0y1+y0y2=－23x0－7+23x0－7=－14.又PF1F1A=|y0y1|，PF2F2B=|y0y2|，所以PF1F1A+PF2F2B=14.

在任意椭圆中，当直线AP，BP过焦点，长度比值和PF1F1A+PF2F2B为定值吗？

在任意椭圆中，当直线AP，BP过x轴上对称的两点T1，T2，此刻PT1T1A+PT2T2B为定值吗？

在双曲线中也有此类定值吗？

定值问题是命题和研究的热点，文献［1-3］等有诸多相关研究.基于此，带着这些问题，本文作了思考，并有下文结论.

结论1 点P是椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的动点，T1（－t，0），T2（t，0）（t>0，t≠a）是x轴两点，若PT1、PT2与椭圆的另一个交点分别为A，B，则有PT1T1A+PT2T2B=2a2+t2|a2－t2|.

证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），由椭圆的对称性，设y0>0，则PT1T1A+PT2T2B=y0|y1|+y0|y2|.

由P、F1、A共线有x0y1－x1y0=t（y0－y1） ⑴，又x0y1+x1y0=x20y21－x21y20x0y1－x1y0，由⑻式和P、A在椭圆上有x0y1+x1y0=x20y21－x21y20x0y1－x1y0=（a2－a2b2y20）y21－（a2－a2b2y21）y20t（y0－y1）=－a2t（y1+y0） ，即有x0y1+x1y0=－a2t（y1+y0）⑵.

式子⑴⑵相加有2x0y1=（－t－a2t）y1+（t－a2t）y0，所以y0y1=2tx0+a2+t2t2－a2.同理y0y2=－2tx0+a2+t2t2－a2. 所以PT1T1A+PT2T2B=y0|y1|+y0|y2|=2tx0+a2+t2|t2－a2|+－2tx0+a2+t2|t2－a2|=2（a2+t2）|t2－a2|.

本文例题背景即t=c，有如下推论.

结论2 点P是椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的动点，F1，F2是其左右焦点，若PF1、PF2与椭圆的另一个交点分别为A，B，则有PF1F1A+PF2F2B=2（a2+c2）a2－c2.

3.横向类比

类比到双曲线中有以下结论.

结论3 点P是双曲线E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）一支上的动点，T1（－t，0），T2（t，0）（t>0，t≠a）是x轴两点，若PF1、PF2与双曲线的另一支交点为A，B，则有PF1F1A+PF2F2B=2a2+t2|a2－t2|.

结论4 点P是双曲线E：x2a2－y2b2=1（a>b>0）一支上的动点，F1，F2是其左右焦点，若PF1、PF2与双曲线的另一支交点为A，B，则有PF1F1A+PF2F2B=2（a2+c2）c2－a2.

参考文献

［1］王寅，李兆庆，陶闺秀.新旧课标下高考圆锥曲线定点定值问题探究——以近5年全国卷试题为例［J］.数学教学研究，2022，41（06）：60-64.

［2］高继浩.探究圆锥曲线中一类坐标和为定值性质［J］.中学数学研究（华南师大），2023（11）：6-7.

［3］胡芳举.椭圆内接三角形的几个斜率定值［J］.中学数学研究（江西师大），2023（11）：40-41.