一道三元九次对称不等式引发的研究

原题 已知a，b，c都是正实数，求证：

a+b+c1a+1b+1c≥2a2+b2+c2ab+ac+bc+2a2b2+b2c2+c2a2abca+b+c+5.

易知原题a，b，c是对称的，如果作一下代数变换，可得如下等价命题：

已知a，b，c都是正实数，p=a+b+c，q=ab+ac+bc，r=abc，求证：

p2q2－2p3r－2q3+3pqr≥0*.

为了证明（*），需如下结论.

引理 已知a，b，c都是正数，令p=a+b+c，q=ab+ac+bc，r=abc，则

1 p2－3q≥0； 2 pq－9r≥0；3 q2－3pr≥0.

引理的证明是显然的，本文略.

利用上述结论，我们对（*）的证明过程进行分析.

证法一： 由引理有q2－3prp2－3q≥0. 化简后得p2q2－3p3r－3q3+9pqr≥0（1）.易知p3r－3pqr=prp2－3q≥0（2），q3－3pqr=qq2－3pr≥0（3）.（1）+（2）+（3）即可证*式.

详注：结果是九次的，不妨设p=1，可得到关于r的一次函数或者关于q的三次函数，我们自然从更简单的一次函数入手，于是有了证法二.

证法二：不妨设p=1，*式3q－2r+q2－2q3≥0.由引理，知q≤ 13p2=13，r≤q23p=13q2，3q－2<0.记fr=3q－2r+q2－2q3，易知fr在0，13q2上单调递减，故fr≥f13q2=13－qq2≥0.

详注：结果是九次的，不妨设q=1，可得到关于r的一次函数或者关于p的三次函数，我们自然从更简单的一次函数入手，于是有了证法三.

证法三：不妨设q=1，*式p2－2p3r－2+3pr≥0.由引理，知p2≥3q=3，r≤q23p=13p，于是3－2p2<0.记fr=p3－2p2r+p2－2，易知fr在0，13p〗上单调递减，故fr≥f13p=13p2－3≥0.

问题推广 已知a，b，c都是正实数，x，y∈0，+∞，求证a+b+c1a+1b+1c≥3－xa2+b2+c2ab+ac+bc+3－ya2b2+b2c2+c2a2abca+b+c+3+x+y.

注记：当x=y=1时推广即为原问题.

证明：令p=a+b+c，q=ab+ac+bc，r=abc，原问题等价于p2q2+x－3p3r+y－3q3+33－x－ypqr≥0.

由于x，y∈0，+∞，由证法一的1+x×2+y×3，即可证.