关于Milosevic不等式的再探究

1.引言

设a，b，c，R，r，s，△ABC分别为△ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径、半周长与面积，∑表示循环求和.文［1］介绍了由D.M.Milosevic提出的如下不等式：

∑ab+csin2A2≥12（1－r2R）≥38①.

文［2］给出了不等式的①的加强：

∑ab+csin2A2≥（1－r2R2）②.

最近文［3］中对milosevic不等式做了进一步研究，给出了①的一个逆向不等式和②的一个加强.

1－3r2R+3r28R2+r34R3≤∑ab+csin2A2≤1－21r16R+r28R2③.

文［4］将不等式（3）改进为更简洁的形式：

1－3R2r+r22R2≤∑ab+csin2A2≤1－4r3R+r26R2④.

文［5］通过Gerrestsen不等式 ③的加强：

1－3r2R+r22R2≤∑ab+csin2A2≤1－4r3R+r26R2⑤.

本文利用Gerrestsen不等式的加强不等式，即杨雪枝不等式等到新的定理1以及运用引理4得到一个强于⑤式的定理2：

定理1 在△ABC中，有1－3r2R+3r24R2－r34R3－r42R4≤∑ab+csin2A2≤1－9r8R－r28R2－r34R3.

等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.

定理2 在△ABC中，有1－3r2R+3r28R2+r34R3≤∑ab+csin2A2≤1－5r22R2.

等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.

2.引理

引理1［5］ 在△ABC中，有∑ab + csin2A2 = 1-3r2R + r2R·6R r + 4r2s2 + 2Rr + r2.

引理2［6］ （Gerrestsen）在△ABC中，有16Rr－5r2≤s2≤4R2+4Rr+3r2.

引理3［6］ （杨学枝不等式）在△ABC中，有16Rr－5r2+（R－2r）r2R－r≤s2≤4R2+4Rr+3r2－（R－2r）r2R－r.

证明：引理3是引理2的加强式.只需证（R－2r）r2R－r≥0，由R≥2r，显然成立.

为了方便计算，我们引理3转化成：16R2r－20Rr2+3r3R－r≤s2≤4R3－2Rr2－r3R－r.

引理4［6］ 在△ABC中，有27r2≤s2≤27R24.

证明：由海伦公式，△2=116（a+b+c）（b+c－a）（c+a－b）（a+b－c）=116·2s（2s－2a）（2s－b）（2s－2c）=s（s－a）（s－b）（s－c），又由△=12（a+b+c）r=sr，结合三元不等式可得（sr）2=s（s－a）（s－b）（s－c）≤s·［（s－a）+（s－b）+（s－c）3］3=s427，整理得27r2≤s2，引理左端得证.又由s=a+b+c2=R（sinA+sinB+sinC），sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2·cosC2，cosA2cosB2cosC2≤332，则可得s2≤27R24.引理4得证.

3.结论的证明

由引理1和引理2右端可知，以及欧拉公式R≥2r，

6Rr+4r2s2+2Rr+r2≥6Rr+4r24R3－2Rr2－r3R－r+2Rr+r2=6R2r－2Rr2－4r34R3+2R2r－3Rr2－2r3≥6R2r－2Rr2－4r34R3=3r2R－r22R2－r3R3.

代入下式得

∑ab+csin2A2=1－3r2R+r2R·6Rr+4r2s2+2Rr+r2≥1－3r2R+r2R·（3r2R－r22R2－r3R3）

=1－3r2R+3r24R2－r34R3－r42R4.

则定理1的左边得证.现证右边.

6Rr+4r2s2+2Rr+r2≤6Rr+4r216R2r－20Rr2+3r3R－r+2Rr+r2=6R2－2Rr－4r218R2－21Rr+2r2，

由欧拉公式R≥2r，18R2－21Rr+2r2－8R3=10R2－21Rr+2r2=（R－2r）（10R－r）≥0，即18R－21Rr+2r2≥8R2，所以上式6R2－2Rr－4r218R2－21Rr+2r2≤6R2－2Rr－4r28R2=34－r4R－r22R2.代入下式得∑ab+csin2A2=1－3r2R+r2R·6Rr+4r2s2+2Rr+r2≤1－3r2R+r2R·（34－r4R－r32R3）

=1－9r8R－r28R2－r34R3.

由上，定理1得证.

现证明定理2，由引理1和引理4，以及欧拉公式R≥2r，可得：

6Rr+4r2s2+2Rr+r2≥6Rr+4r227R24+2Rr+r2=24Rr+16r227R2+8Rr+4r2≥24Rr+16r232R2=3r4R+r22R2，可得∑ab+csin2A2=1－3r2R+r2R·6Rr+4r2s2+2Rr+r2≥1－3r2R+r2R·（3r4R+r22R2）=1－3r2R+3r28R2+r34R3.

即定理2的左端得证.现证右边.

6Rr+4r2s2+2Rr+r2≤6Rr+4r227r2+2Rr+r2=6R+4r28r+2R=3－80r2R+28r≤3－80r16R=3－5rR，可得

∑ab+csin2A2=1－3r2R+r2R·6Rr+4r2s2+2Rr+r2≤1－3r2R+r2R（3－5rR）=1－5r22R2.

则定理2得证.

注：定理2是⑤式的加强.只需证分别证右端1－3r2R+r22R2与1－3r2R+3r28R2+r34R3，左端1－4r3R+r26R2与1－5r22R2的大小.

证明：由欧拉公式R≥2r，右端有

1－3r2R+r22R2－（1－3r2R+3r28R2+r34R3）=r28R2－r34R3=r2（R－2r）8R3≥0，即1－3r2R+r22R2≥1－3r2R+3r28R2+r34R3.

左端：1－4r3R+r26R2－（1－5r22R2）=8r（2r－R）6R2≤0，有1－4r3R+r26R2≥1－5r22R2.则证明了定理2强于⑤式.

现证明定理1式与定理2的强弱.只需证右端 1－3r2R+3r24R2－r34R3－r42R4与 1－3r2R+3r28R2+r34R3，左端1－9r8R－r28R2－r34R3与1－5r22R2的大小.

证明：由欧拉公式R≥2r，右端有1－3r2R+3r24R2－r34R3－r42R4－（1－3r2R+3r28R2+r34R3）=r2［R（3R－2r）－2r（R－2r）］8R4≥r2（3R－2r）8R3≥0，即1－3r2R+3r24R2－r34R3－r42R4≥1－3r2R+3r28R2+r34R3.

左端：1－9r8R－r28R2－r34R3－（1－5r22R2）=r（2r－R）（9R－r）8R3≤0，即1－9r8R－r28R2－r34R3≤1－5r22R2.则定理2的右端强于定理1的右端端，而定理2的左端弱于定理1的左端.

参考文献

［1］ Mitrinovic D S，Pecaric JE，Volenec V，陈计.专著《几何不等式新进展》的补遗（Ⅰ）（英文）［J］.宁波大学学报（理工版），1991（02）：79-145.

［2］姜卫东.关于Milosevic不等式的加强［J］.中学数学教学，2019（02）：71.

［3］郭要红.关于Milosevic不等式的再研讨［J］.数学通报，2020，59（02）：60-61.

［4］何灯，王少光.Milosevic不等式的再探讨［J］.中学数学研究，2021（04）：31-32.

［5］李建潮.关于Milosevic不等式的再研究［J］.数学通报，2022，61（03）：54-55+60.

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