一道双重最值问题的赏析

九省联考数学填空压轴题是一道双重最值问题，题目涉及到三个变量，约束条件较多且复杂.笔者对该题予以深入研究，分别从代数角度和几何角度思考解法，给出两个思路六种解法，现与读者分享、交流，以期抛砖引玉.

1.试题的呈现与分析

题目 以maxM表示数集M中最大的数，设0<a<b<c<1，已知b≥2a，或a+b≤1，则max{b－a，c－b，1－c}的最小值为 .（2024年九省联考14题）

这是一道典型的双重最值问题（求若干个量的最大值的最小值或最小值的最大值），题目给了三个约束条件，一个是三个变量均在区间（0，1）内，且按照字母顺序依次排列大小，另外两个条件是变量a，b满足两个不同的线性约束关系，这里注意到“b≥2a”和“a+b≤1”是或的关系，所以解题时可以分别使用这两个条件求出max{b－a，c－b，1－c}的最小值，再取两个最小值的较小者即可.

2.试题的多角度思考与解答

思考1 记M=max{b－a，c－b，1－c}，有M≥b－a，M≥c－b，M≥1－c，注意到约束条件“b≥2a，或a+b≤1”中并没有变量c，自然思考对“M≥c－b”和“M≥1－c”采取同系数相加处理，设（x+2y）M≥x（b－a）+y（c－b）+y（1－c），其中x，y>0，得到M≥－xa+（x－y）b+yx+2y.根据条件b≥2a，令－xx－y=2－1，得x=2y.根据a+b≤1，令－x=x－y，得y=2x.

解法1：记M=max{b－a，c－b，1－c}，有M≥b－a，M≥c－b，M≥1－c，则2M≥c－b+1－c，即b≥1－2M.

若b≥2a，则1－2M≤b=2b－b≤2b－2a≤2M，则M≥14，当且仅当b－a=c－b=1－c=14时，即a=14，b=12，c=34时，等号成立.

若a+b≤1，则1≥（a－b）+2b≥－M+2（1－2M），则M≥15，当且仅当b－a=c－b=1－c=15时，即a=25，b=35，c=45时，等号成立.

综上，得Mmin=15，即max{b－a，c－b，1－c}的最小值为15.

解法2：记M=max{b－a，c－b，1－c}，有M≥b－a，M≥c－b，M≥1－c，则M≥12（b－a）+14（c－b）+14（1－c）≥14+14（b－2a）≥14（当且仅当a=14，b=12，c=34时，等号成立），或M≥15（b－a）+25（c－b）+25（1－c）≥25－14（a+b）≥15（当且仅当a=25，b=35，c=45时，等号成立），所以Mmin=15，即max{b－a，c－b，1－c}的最小值为15.

解法3：设b－a=p，c－b=q，1－c=r，由0<a<b<c<1，得p，q，r∈（0，1），a=1－（p+q+r），b=1－（q+r），c=1－r.由b≥2a，或a+b≤1，得2p+q+r≥1，或p+2q+2r≥1，问题转化为求max{p，q，r}的最小值.

记M=max{p，q，r}，则4M≥2p+q+r≥1（当且仅当p=q=r=14时，等号成立），或5M≥p+2q+2r≥1（当且仅当p=q=r=15时，等号成立），所以Mmin=15，即max{b－a，c－b，1－c}的最小值为15.

解法4：假设b－a，c－b，1－c均小于15，则a+b=2－（b－a）－2（c－b）－2（1－c）>1，由b≥2a，得b－a≥a+b3>13，与假设矛盾，所以b－a，c－b，1－c中至少有一个不小于15，即max{b－a，c－b，1－c}≥15，验证知a=25，b=35，c=45时，等号成立，所以max{b－a，c－b，1－c}的最小值为15.

思考2 根据数轴上的点与实数一一对应这一性质，如图1，数轴上的点O，A，B，C，D分别对应实数0，a，b，c，1，不难得到b－a=AB，c－b=BC，1－c=CD，记AB=p，BC=q，CD=r，问题转化为求三线段AB，BC，CD的长度的最大值的最小值，即求max{p，q，r}的最小值.设p+q+r=3k，若max{p，q，r}=p，则3p≥p+q+r，得p≥k；若max{p，q，r}=q，则3q≥p+q+r，得q≥k；若max{p，q，r}=r，则3r≥p+q+r，得r≥k.由此，不难发现max{p，q，r}的最小值为p=q=r=k，再根据条件“b≥2a，或a+b≤1”计算得k的最小值即可.另外，也可以分别从条件“b≥2a”，“a+b≤1”入手分析.由b≥2a，得b－a≥a，即AB≥OA，则max{AB，BC，CD}=max{OA，AB，BC，CD}≥14（OA+AB+BC+CD） =14OD=14；由a+b≤1，得2a+（b－a）≤1，即OA+OB≤OD，即OA≤BC+CD，则max{AB，BC，CD}≥15AB+25BC+25CD≥15（OA+AB+BC+CD）=15OD=15.由此，得到max{p，q，r}的最小值为15.

解法5：如图1所示，依次用数轴上的点O，A，B，C，D表示实数0，a，b，c，1，则b－a=AB，c－b=BC，1－c=CD.问题转化为求max{AB，BC，CD}的最小值.设AD=AB+BC+CD=3k，若max{AB，BC，CD}=AB，则3AB≥AB+BC+CD，得AB≥k；若max{AB，BC，CD}=BC，则3BC≥AB+BC+CD，得BC≥k；若max{AB，BC，CD}=CD，则3CD≥AB+BC+CD，得CD≥k.由此，不难发现max{AB，BC，CD}的最小值为AB=BC=CD=k，即b－a=c－b=1－c=k，解得a=1－3k，b=1－2k，c=1－k.

由b≥2a，得1－2k≥2（1－3k），即k≥14，当且仅当a=14，b=12，c=34时，等号成立.

由a+b≤1，得（1－3k）+（1－2k）≤1，即k≥15，当且仅当a=25，b=35，c=45时，等号成立.

综上，得max{b－a，c－b，1－c}的最小值为15.

解法6：如图1所示，依次用数轴上的点O，A，B，C，D表示实数0，a，b，c，1，则b－a=AB，c－b=BC，1－c=CD，问题转化为求max{AB，BC，CD}的最小值，记M=max{AB，BC，CD}.

由b≥2a，得b－a≥a，即AB≥OA，则1=OD=OA+AB+BC+CD ≤2AB+BC+CD≤4M，得M≥14，当且仅当a=14，b=12，c=34时，等号成立.

由a+b≤1，得2a+（b－a）≤1，即OA+OB≤OD，即OA≤BC+CD，则1=OD= OA+AB+BC+CD ≤AB+2BC+2CD≤5M，得M≥15，当且仅当a=25，b=35，c=45时，等号成立.

综上，得max{b－a，c－b，1－c}的最小值为15.

参考文献

［1］刘海涛.落实立德树人根本任务全面考查学科核心素养——2023年全国乙卷数学试题评析与备考建议［J］.数学通讯，2023，（23）：38-42.

［2］刘海涛，何浩成.例谈极坐标换元法在二元最值问题中的应用［J］.中学数学研究（华南师大），2021（15）：22-24.