线上线下混合式教学在初中数学教学中的应用

摘 要：信息技术背景下，线上线下混合式教学是一种教学方法，其融合了线下教学和在线教学的优势.以“圆的对称性”为例，探讨线上线下混合式教学在初中数学教学中的应用.线上时，学生可以访问多媒体教学资源和互动练习，以便更好地理解圆的对称性概念；线下时，教师可以引导学生动手操作，并运用“圆的对称性”分析问题和解决问题，强化学生的数学解题能力.

关键词：混合式教学；初中数学；数学教学；圆的对称性

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）29-0020-03

收稿日期：2024-07-15

作者简介：季叶红（1983.1—），女，江苏省常熟人，本科，中学高级教师，从事初中数学教学研究.

随着信息技术的发展和教学方式的不断改进，线上线下混合式教学成为现代教育的重要趋势.笔者以“圆的对称性”为例，深入探讨如何利用线上线下混合式教学，使学生深度理解所学知识，从而提高学生的学习效果，提升其数学核心素养.

1 线上线下混合式教学设计

1.1 线上预习环节教学设计

课前预习是混合式教学的关键环节之一.首先，教师在线上教学平台提供教材和资源，这些资源可以随时随地访问，学生能够按需学习.其次，设计互动性强的在线学习任务，如在线测验、讨论板等，帮助学生巩固知识，促使其主动参与学习过程.教师可以利用线上互动交流功能解答疑问、讲解难点、实际演示等，引导学生更好地理解和应用他们在课前预习中学到的知识.最后，为评估学生的学习成果，教师可以利用在线测验、作业和小组项目等方式进行定期评估，这有助于教师了解学生的学习进展，并及时调整线下教学策略，具体设计如下：

学习目标：理解圆的对称性.

内容设计：①学习导入：借助移动设备为学生展示摩天轮围绕轴心旋转的动画，提出问题：“摩天轮绕轴心旋转180°后是否与初始位置重合？”以此导入新知识，激发学生对“圆的对称性”有关知识的学习兴趣.②概念理解：理解中心对称和圆的对称性，并给出与其有关的图形，演示中心对称的概念.③互动合作：学生参与在线讨论，并回答问题.学生可以在论坛上互相回复，分享观点和想法.④自我评估：学生完成在线自测，包括选择题和简答题，以测试对知识的理解程度.教师可以查看成绩和正确答案，为接下来的课堂教学设计提供理论依据.

1.2 课中教学环节设计

在混合式教学中，线下课堂应侧重于教学内容的重点和难点.基于此，在学习“圆的对称性”时，设计以下教学内容，以此突破学习重点和难点.

1.2.1 利用问题探索圆的对称性

问题1 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间存在怎样的关系？

设计意图：设计此问题，旨在引导学生探索同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系，培养学生的数学思维和问题解决能力.

问题2 在圆心角、弧、弦这三个量中，圆心角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么弧的大小如何刻画？

设计意图：在认识圆的对称性的基础上，进行扩展性学习，培养学生的数学思维能力.首先，引导学生思考：可以用“度数”刻画圆心角的大小，用“长度”刻画弦的长短，如何刻画弧的大小？以此引导学生感受引入“弧度”的必要性.为此，教师引导学生理解同圆中圆心角与其对应的弧之间的关系，让学生从中理解“弧度”的概念.在教学过程中，教师可借助信息技术将整个圆等分成360份，1度的圆心角对应1度的弧.由此让学生认识到，一条弧的大小可以利用“度数”刻画.需要强调的是，圆心角与其对应弧的“度数”虽然相等，但它们属于不同的图形，不能直接视为相等.另外，度数相等的弧不一定是等弧.通过此问题，学生不但能够认识刻画弧的大小的方法，而且能够理解圆心角和弧之间的关系.

1.2.2 利用易错问题突破重点和难点

问题3 如图1，⊙O的直径为10，AB=8，P是弦AB上的一点，若OP的长度为整数，则满足条件的点P有（ ）个.

A.2 B.3 C.4 D.5

学生思考：如图1，过点O作OM⊥AB，垂足为M，连接OA，OB.根据垂径定理可得AM=BM=4.在Rt△AOM中，根据勾股定理可得OM=OA2-AM2=52-42=3.从而3≤OP≤5，由此可知长度为整数的线段OP有3个，即OP=3或4或5，故选B.

教师点评：解题过程正确，但答案错误，因为遗漏了圆的轴对称性，正确答案应为5个，故选D.

问题4 如图3所示，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP=3，过点P的弦中长度为整数的有（ ）条.

A.2 B.3 C.4 D.5

学生思考：设过点P的弦长为x.如图2，过点P的最长弦为AB，最短弦为MN，且垂直于OP.连接OM，在Rt△MOP中，因为OP=3，MP=4，所以OM=OP2+PM2=32+42=5，所以AB=10.由垂径定理可得MN=8.因此8≤x≤10，所以x=8或9或10，从而得出答案为3条，故选B.

教师点评：由圆的轴对称性可知，过点P且长度为9的弦有两条，故正确答案为4条，选C.

设计意图：这两个问题为学生提供了练习的机会，帮助其巩固解题圆的对称性.通过漏解不但能够强调圆的对称性在几何计算中的重要性，而且还能加深学生对圆的对称性的理解.错题反思可帮助学生提高运用所学知识分析问题和解决问题的能力，降低解题的错误率，提升其数学核心素养［1］.

问题5 如图3所示，AM为⊙O直径，过点B作BN⊥AM，垂足为N，延长线交⊙O于C，弦CD交AM于点E.如果弦CD交AB于点F，且CD=AB.求证：CE2=EF·ED.

解析 如图3，连接AC，BD，BE.因为AM为⊙O直径，BN⊥AM，所以点B与点C点关于AM对称，从而BE=CE.只需证明△BEF∽△DEB，即可得出CE2=EF·ED.因为∠EBF与∠ECA关于AM对称，所以∠EBF=∠ECA.又∠ECA=∠DBF，所以∠DBF=∠EBF.由CD=AB易知AD=BC，所以∠BDE=∠DBF，所以∠EBF=∠BDE.又因为∠BEF=∠DEB，所以△BEF∽△DEB，从而可得EFBE=BEED，所以BE2=EF·ED，所以CE2=EF·ED.

变式 如果弦CD、AB的延长线交于点F，且CD=AB，那么问题5中的结论是否仍然成立？

解析 如图4所示，连接AC，BD， BE.因为点B与点C关于AM对称，所以BE=CE.令∠ACB=α，∠BCF=β，则∠ABC=α，∠CBE=β.由CD=AB易知AB=CD，所以∠CBD=∠ACB=α，所以∠DBE=α-β.又因为∠ABC=∠F+∠BCF，所以∠F=∠ABC-∠BCF=α-β，所以∠DBE=∠F，又因为∠BEF=∠DEB，所以△BEF∽△DEB，从而可知问题5中的结论仍成立.

设计意图：对典型问题进行分析，能够帮助学生更加清晰地理解相关问题的求解思路，并通过问题变式，引导学生灵活运用所学知识解决复杂问题，从而提高学生分析问题和解决问题的能力.

1.3 线上复习教学设计

相比传统线下复习教学，线上课后复习更具有针对性.教师可依托线上教学平台，构建智慧化复习体系，让不同学生都能获取自身需要的复习内容，从而提高复习效果［2］.以“圆的对称性”为例，教师可将课堂知识进行模块化分解，设计为层次化习题，让学生能根据自身学习情况挑选复习内容.

问题6 在两张透明纸上，分别作两个半径相等的圆⊙O和⊙O′，沿着圆周，将两个圆剪下来，在圆⊙O和⊙O′上分别作圆心角∠AOB和∠A′O′B′，使∠AOB=∠A′O′B′，并固定圆心不动.

（1）在作∠AOB和∠A′O′B′时，为什么要确保OA与O′A′的方向一致，OB与O′B′的方向一致？

（2）验证圆心角定理时，为什么需要旋转其中一个圆，使OA与O′A′重合？

（3）当OA与O′A′重合时，你能得到什么结论？

2 线上线下混合式教学反思

2.1 设计问题串，引导学生深度学习

在初中数学教学中，创设问题串是一种重要的教学策略.在设计问题串时，教师需根据教学内容和学生实际情况进行设计，以确保实现教学目标.首先，问题串应从相对简单的问题开始，逐渐增加难度，以适应不同学生的学习需求.在“圆的对称性”教学中，教师可从最简单的问题入手设计问题.例如，寻找圆上的对称点，然后，教师可利用问题串引导学生思考更复杂的问题.其次，问题串应涵盖多个知识点.在学习“圆的对称性”时，问题串可以包括对称图形的性质、对称轴的特征、对称点的特征等，使学生全面理解有关概念，提高教学效果.

2.2 强化教学设计，实现线上线下教学有效联动

为提升初中数学教学效果，教师需强化教学设计整体布局，实现线上线下教学的有效联动，提高学生的学习效果.一是教学内容衔接方面，教师要确保线上和线下教学环节紧密衔接；二是学习目标设计方面，教师确保线上和线下教学目标的一致性.这有助于学生明确学习目标，并增强教学活动的针对性.

3 结束语

在初中数学教学中，线上线下混合式教学有助于学生更好地理解和应用数学知识.为进一步提升混合式教学效果，教师需精心设计教学过程，及时反思教学效果.通过持续探索和改进，为学生提供更丰富、更灵活、更有深度的数学学习体验.

参考文献：［1］ 张闽.以圆的对称性贯穿平面三角运算教学［J］.数学教学，2022（5）：7-11，6.

［2］ 孙凯.递进式问题链的教学设计与思考：以苏科版“圆的对称性（1）”为例［J］.数学通讯，2022（5）：10-12.

［责任编辑：李 璟］