一道与含参二次函数有关的线段比值问题的解法探究

摘 要：二次函数是初中阶段极为重要的一类函数.近年来，与含参二次函数有关的线段比值问题深受中考命题专家的青睐.基于此，笔者以一道含参二次函数的线段比值问题为例，探究含参二次函数中的不变量，形成有效的解决策略，提高学生分析问题和解决问题的能力，在潜移默化中发展学生的数学核心素养.

关键词：参数；二次函数；线段比值；转化；化斜为直

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）29-0059-03

收稿日期：2024-07-15

作者简介：张欐（1996.12—），女，江苏省武进人，本科，中学二级教师，从事初中数学教学研究.

以二次函数为背景的综合性问题，通常涉及函数与方程、不等式、几何图形等知识，主要考查学生能否综合运用数形结合、转化、分类讨论等数学思想分析问题和解决问题的能力，充分体现了中考试题的选拔功能.笔者以2024年苏州市九年级阳光指标学业水平调研卷第27题为例，探究与含参二次函数有关的线段比值问题的本质，帮助学生分析解决策略，提高学生分析问题和解决问题的能力 ［1］.

1 试题呈现

如图1，二次函数y=ax2-2ax-3a（a为常数，且a＜0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点D且平行于y轴的直线与x轴交于点E，与直线BC交于点F，连接AD，交直线BC于点G．

（1）填空：点A的坐标为_______，点B的坐标为_______；

（2）试探究DGAG是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由；

（3）若点P为二次函数y=ax2-2ax-3a（a为常数，且a＜0）位于第一象限图像上一点，连接AP，交直线BC于点Q，试求PQAQ的最大值，并求出此时点P的横坐标.

2 试题分析

此题共有三个问题，其由浅入深，层层递进.第（1）问涉及求二次函数的零点，主要考查方程思想.学生通过求解一元二次方程可得函数图象经过两个定点，从而明确此二次函数的对称轴是确定的，为后续的问题作铺垫.第（2）问与第（3）都是线段比值的问题，此类问题方法较多，最直接的方法是先利用待定系数法求出含参的一次函数的解析式，联立二元一次方程组求交点的横坐标，最后利用两点间距公式求线段长.另外一种常用的思路是添加辅助线，先设出含参的点坐标，再利用平行构造“A型”或“X型”相似三角形，结合相似三角形对应线段成比例的性质.或利用平行线分线段成比例，把点的坐标转化到线段，把斜线段的比值转化为铅垂线段或水平线段的比值，从而顺利得到定值［2］.

3 解法探究

第（1）问解法：令y=0，易得a（x+1）（x-3）=0，解得x1=-1，x2=3，则A-1，0，B（3，0）.

第（2）问解法：

方法1：构造“A型”和“X型”相似三角形

如图2，过点A作AM⊥x轴，交BC于点M.易知抛物线y=ax2-2ax-3a的顶点D（1，-4a），所以DE=-4a.因为EF∥OC，所以△BEF∽△BOC，所以EFCO=BEBO，即EF-3a=23，所以EF=-2a，所以DF=DE-EF=-2a.因为AM⊥x轴，DE⊥x轴，所以AM∥DE，所以△BEF∽△BAM，所以BEBA=EFAM，即24=-2aAM，所以AM=-4a.因为AM∥DE，所以△DGF∽△AGM，所以DGAG=DFAM=-2a-4a=12（定值）.

方法2：构造“X型”相似三角形

过点D作DM∥x轴，交BC于点M.设直线BC的表达式为y=kx+b（k≠0），把B3，0，C（0，-3a）代入得3k+b=0，b=-3a，解得k=a，b=-3a，所以直线BC的表达式为y=ax-3a.因为D（1，-4a），令y=-4a，则-4a=ax-3a，所以x=-1，从而可知M（-1，-4a），则DM=2.因为DM∥AB，所以△DGM∽△AGB，所以DGAG=DMAB=24=12（定值）.

方法3：构造“A型”相似三角形

过点G作GM∥DE，交DE于点M. 设直线AD的表达式为y=kx+b（k≠0），把A-1，0，D（1，-4a）代入得-k+b=0，k+b=-4a，所以k=-2a，b=-2a，故直线AD的表达式为y=-2ax-2a.结合方法2得y=ax-3a，y=-2ax-2a，解得x=13，y=-83a，故G（13，-83a），所以GM=-83a.因为GM∥DE，所以△AGM∽△ADE，所以AGAD=GMDE=23，所以DGAG=12（定值）.

方法4：平行线分线段成比例

过点G作GM∥x轴，交DE于点M.由解法3得G（13，-83a），所以DM=DE-ME=-4a--83a=-43a.因为GM∥x轴，所以DGAG=DMME=-4a3·-38a=12（定值）.

方法5：两点之间的距离公式

由方法3得G（13，-83a），由此易得DG=231+4a2，AG=431+4a2，故DGAG=12（定值）.

第（3）问解法：

方法1：构造“A型”和“X型”相似三角形

过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交BC于点K.设P（m，am2-2am-3a），则OH=m，BH=3-m.因为KH∥OC，所以△BHK∽△BOC，所以BHBO=HKOC，即3-m3=HK-3a，所以HK=-a（3-m），所以PK=PH-KH=am2-3am.因为PH∥AM，所以△BOC∽△AQM，所以PQAQ=PKAM，即am2-3am-4a=m2-3m-4，当m=32时，PQAQ有最大值，最大值为916，此时xP=32.

方法2：平行线分线段成比例

过点P作PF⊥x轴，垂足为点F.过点Q作QE⊥x轴，垂足为点E.设直线AP的表达式为y=kx+1，（k≠0），易知P（m，am2-2am-3a）.将点P代入km+1=am2-2am-3a，整理得km+1=a（m+1）（m-3）.因为m>0，所以k=a（m-3），所以直线AP的表达式为y=a（m-3）·x+1，结合解法2易得y=ax-3a，y=a（m-3）（x+1），解得xQ=m4-m.因为QE∥PF，所以PQAQ=EFAE=-14m-322+916.由二次函数的性质可知，当m=32时，PQAQ有最大值，最大值为916，此时xP=32.

方法3：构造同高三角形

如图3，连接AC、CP、BP，过点P作PK⊥x轴，交BC于点K.因为△ACP与△PCQ同高，所以PQAQ=S△PCQS△ACQ.易知PQAQ=S△PBQS△ABQ，PQAQ=S△PCQ+S△PBQS△ACQ+S△ABQ=S△BCPS△ABC.设P（m，am2-2am-3a），由上题得直线BC的表达式为y=ax-3a，则K（m，am-3a），得PK=am2-3am，所以S△BCP=12PK·OB=32（am2-3am）.因此PQAQ=-14m-322+916.当m=32时，PQAQ有最大值，最大值为916，此时xP=32.

4 解题反思

4.1 精准审题，提升学生理解问题的能力

在初中数学学习中，学生要养成认真读题的习惯，因没看清题目或没读懂题意就贸然作答易造成解题失误.有不少学生将题目中的参数a取特殊值代入运算，其实这是不良的审题习惯，把填空或选择题的“套路”用在解答题上，教师需要引导学生正确处理“特殊”与“一般”的关系.此外，在解答本题的过程中，学生在读题之后，能否得出二次函数的对称轴是固定的、函数图象经过某些定点，这些信息的解读，往往是后续解题的突破口.

4.2 精细演绎，提升学生把握问题核心的能力

不少含参二次函数问题都有多种解法，一类是以“形”助“数”，另一类是以“数”驭“形”. 以“形”助“数”是从几何的角度，添加辅助线，分析函数图象的几何特征，在变化中寻找不变的关系后代入计算求解，体现学生的直观想象和数学抽象的数学素养；以“数”驭“形”蕴含解析几何思想，基于题目给出的条件而设出点的坐标，按照题意列出代数式或等式求解，体现学生代数推理、数学运算的能力，思维分析过程较浅显.

4.3 精心反思，提升学生数学学科的核心素养

解后反思是数学解题活动的重要环节，学生通过对问题的归纳类比、抽象概括，对所蕴含的数学方法、数学思想的再认识，达到解题反思的目的.解题反思有助于学生对此类问题有一个整体的认识，发展学生串联知识、独立提炼模型、运用模型的能力.反思包括对问题所涉及的数学思想方法、总结解题策略、比较多种解决方法的优缺点、适度拓展，从而达到“做一题，会一类，通一片”的效果.

5 结束语

在初中数学教学中，教师要有意识地渗透含参二次函数问题，让学生熟悉此类问题的求解策略，不断提高学生分析问题和解决问题的能力，提升学生的数学核心素养.

参考文献：［1］ 张志锋.例谈含参二次函数教学的一点体会［J］.理科考试研究，2016，23（18）：3.

［2］ 陈纪韦华，周美兰.驻足含参二次函数指向核心素养评价：一道二次函数压轴题的命制与拓展［J］.初中数学教与学，2021（7）：7-9.

［责任编辑：李 璟］