数理结合思想下对一道物理竞赛题的解法拓展

摘要：对第39届物理竞赛复赛第5题进行分析，从拓展学生思维的角度出发，采用数理结合的思想，给出有别于标准答案的另两种解题方法.在解题过程中，采用微分方程对物理问题求解，帮助学生巧妙避免复杂的思维过程，实现对问题求解的简化，让学生在比较不同科学方法的过程中体会“一题多解”的魅力，旨在提高学生的科学思维水平，发展学生的综合能力.同时对解决这一类型的问题提供了一定的帮助与思考.

关键词：一题多解；物理竞赛；数理结合；思维能力

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）28-0111-03

物理学科核心素养要求学生具有批判性思维的意识，能基于证据大胆质疑，从不同角度思考问题[1].

物理竞赛重点考查参赛学生应用知识的能力和创造性地解决实际问题的能力[2]，这要求学生从多个视角剖析问题，带着创新思想解决竞赛中遇到的问题[3].本文对第39届全国中学生物理竞赛复赛第5题进行多角度研究，给出了新的解题思路.

1原题呈现

（第39届全国中学生物理竞赛复赛第5题）两根相同的理想轻弹簧，劲度系数均为k、自然长度均为0.两弹簧之间以一质量为m的小球相连.将弹簧1空着的一端悬挂于天花板上，整个系统自然下垂，初始时静止.已知两弹簧中任意一个一旦被拉伸至临界长度（该临界长度大于mgk，这里g表示重力加速度的大小）便会被拉断.

实验发现，如果缓慢地拉动下面的弹簧2的下端，上面的弹簧1将被拉断.如果快速地拉动，则很有可能拉断下面的弹簧2.

（1）设加载于弹簧2下端的作用力随时间变化的关系为F（t），写出弹簧1的长度x1（t）及小球加速度x··1（t）所满足的运动方程.

（2）在一个简单模型中，假设F（t）与时间t的关系为

F（t）=0αt t<0t≥0

其中α为大于零的常量，它的大小对应力加载的快慢.求在该力的作用下弹簧1、2在t（t>0）时刻的长度x1（t）、x2（t）.

（3）略.

（4）略.

2解答分析

本文重点分析第二问，第二问求运动学表达式x1（t）、x2（t）.x2（t）较易求得，根据胡克定律F（t）=kx2（t）可得.而x1（t）的解法，除了官方给出的两种标准答案之外，为了拓宽学生的解题思路，提高学生科学思维能力，本文运用数理结合的思想来审视问题，给出了两种更为简单方便的新解法.

2.1解法一、二（评分标准中的解析）思路点评——模型简化

解法一和解法二为评分标准中的解析，这两种方法的标准答案侧重于将本题模型进行简化，具体简化过程如下：

由第一问知弹簧1的长度x1（t）及小球加速度x··1（t）满足运动方程为

mx··=-kx1+mg+F（t）①

由第二问的条件得在t≥0时有

mx··1=-kx1+mg+at②

要求x1（t）的表达式，可先对原有模型进行简化：根据方程①可将模型中弹簧2作用在小球上的拉力直接当成变力F（t），此时模型可视为受到变力F（t）及重力的一维弹簧振子.

受到变力F（t）及重力的一维弹簧振子，在每一瞬间都可看成简谐振动，设弹簧振子在某时刻t相对平衡位置的位移为y1，则y1=x1-mgk-amt，代入②得

y··1+kmy1=0.根据数学知识可算出y1通解，进而计算出x1通解，此为解法一的思路.

已知只受重力的一维弹簧振子做简谐运动，所以此时可将弹簧振子的运动看成简谐振动和变速运动的叠加.设只受重力的弹簧振子相对平衡位置的位移为y2，则y2=x1-mgk

，代入②，得

y··2=kmy2=αmt

.根据数学知识可算出y2通解，进而计算出x1通解，此为解法二的思路.

2.2解法三

依题知

mx··1=-kx1+mg+αt ②

对②式的两侧分别求时间的一阶导数有

mx···1=-kx·1+α③

令y=x·1，则

y··+kmy=αm④

该方程所对应的奇次方程的通解可为

y通=Acos（ωt+φ）

式中A和φ为待定常量.此非齐次项显然有下列形式的特解：

y特=B

式中B是待定常量.代入方程④可定出

B=αmω2=αk⑤

于是

x·1=y=Acos（ωt+φ）+αk⑥

故x··1=-Aωsin（ωt+φ），x1=Aωsin（ωt+φ）+αkt+C⑦

式中C是待定常量.将⑦两式代入②可定出

C=mgk

于是

x1=Aωsin（ωt+φ）+αkt+mgk.⑧

2.3解法四

依题知

mx··1=-kx1+mg+αt⑨

对⑨式的两侧分别求时间的二阶导数有

mx····1=-kx··1⑩

可得

x··1=Acos（ωt+φ）

式中A和φ为待定常量.将代入⑨得

x1=-mAkcos（ωt+φ）+mgk+αkt

以上为求x1（t）通解的多种方法.以第三种解法为例，根据已知的初始条件求出其定解：

初始条件为

x1（0）=mgk，x·1（0）=0

由⑧得

x1（0）=Aωsinφ+mgk=mgk

即

φ=0，π

由⑥有

x·1（0）=Acosφ+αk=0

即

A=-αkcosφ=±αk15

A为振幅，取为非负值，且α、k均为正，因此

cosφ=-αAk=-1

可以定出

A=αk，φ=π16

因此有

x1（t）=-αωksinωt+αkt+mgk17

最后由胡克定律求出x2（t），具体如下

F（t）=kx2（t）

有

x2（t）=αkt.18

3数理结合思维过程

解法三、解法四均利用数理结合的思想，采用微分方程对物理问题求解.在解决问题的过程中合理利用数学工具，可避免复杂的思维过程，也可简化解题程序.

运用数理结合思维方法解决问题时，通常可采用以下过程：

3.1逻辑思维为基础

竞赛的问题解决过程中，清晰的逻辑思维非常重要.与常规物理问题相比，竞赛题目通常更加复杂化、抽象化.因此，构建清晰的逻辑思维框架是解决问题所必备的条件.这要求参赛学生不仅要能够准确理解题目要求，还要能够运用物理定律和原理去构建解决问题的路径.

3.2物理模型精构建

对于物理竞赛，构建合适、精巧的物理模型是解决问题的必备步骤.这要求参赛学生具备丰富的物理知识和敏锐的洞察力，能够从复杂的题目条件中抽象出物理问题的本质，进而构建出有效的物理模型.

3.3方程建立详求解

构建了物理模型之后，参赛学生需要运用数理结合的思想建立方程，并求解.在这个过程中，不仅要考虑方程的准确性，还要考虑解题的效率.对于复杂的方程，需要学生在有限的时间内，熟练运用物理知识、数学方法、解题技巧进行求解.这对学生灵活应用物理及数学知识提出了更高的要求.

3.4数学工具巧应用

物理竞赛在解决问题的过程中往往涉及高等数学工具的应用，如微分方程、积分方程、线性代数等（解法三和解法四就是建立在微分方程的巧妙运用上）.熟练掌握这些数学工具，不仅能够帮助参赛学生建立复杂的数学模型，还能够使解题过程更加高效、准确.

3.5变量关系细分析

对变量关系的深入分析是物理竞赛中重要的一环.参赛学生需要综合不同物理量之间的关系，了解它们如何相互影响；同时，在运用逻辑思维的基础上，将物理量按照符合逻辑的方式整理；通过对变量关系的仔细分析，找出物理量之间的内在联系，进而揭示复杂问题的本质.这需要参赛学生对物理定律有深刻的理解.不仅要求变量关系本身符合物理原理，还要求对结果有深入的分析和合理的解释.因此，扎实的物理基础、清晰的逻辑思维再次展现了重要性.

4结束语

参与物理竞赛不仅是对参赛学生知识和技能的挑战，也是对他们逻辑思维、创新能力、问题解决能力的全面锻炼.在训练和参与竞赛的过程中，参赛学生可以接触到更广阔的物理领域，拓宽视野，增强对物理学的热爱和兴趣.同时，奥赛也为参赛学生提供了一个展示自己物理逻辑思维和数学运用水平的平台，为未来的学术和职业发展打下了坚实的基础.竞赛是对参赛学生物理知识和综合技能的高水平检验，要求参赛学生具备清晰的逻辑思维和熟练的数学知识.通过灵活运用数学工具、构建有效的物理模型、深入分析变量关系等过程，参赛学生可以更好地应对挑战，展现自己的才华和潜力.

参考文献：［1］

陈显盈，尤爱惠.建构不同物理模型提升学科核心素养：以“2020年全国中学生物理竞赛预赛第11题”为例[J].物理教师，2021，42（05）：94-96.

[2]全国中学生物理竞赛委员会.全国中学生物理竞赛专辑2019[M].北京：北京大学出版社，2019.

[3]黄国超.拓展思维空间 培养发散思维：以一物理竞赛试题为例[J].数理化解题研究，2021，19：89-90.

［责任编辑：李璟］