一道平面向量问题的多种解题方法

摘要：平面向量是高中数学的一个重要内容，文章通过一道平面向量最值问题的探究，从坐标法、代数方程法、基底法、几何法四个角度分析问题、解决问题.

关键词：平面向量；最值；一题多解

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）28-0064-03

平面向量是高中数学的一个重要内容，也是每年高考都会考查的部分.平面向量很好地融合了代数与几何，因此在解决平面向量问题时，常常有多种方法解决，比如最常见的基底法、几何法、坐标法[1].本文通过一道平面向量最值问题的探究，从坐标法、代数方程法、基底法、几何法四个角度分析问题、解决问题.

1试题呈现

题目在△ABC中，AC=2，BC=4，∠CBA=30°，P是△ABC的外接圆上的一点，若CP=mCA+nCB，求m+n的最大值.

2试题解析

思路1坐标法.通过解三角形可知△ABC是直角三角形，那么外接圆的圆心恰好是斜边BC的中点，从而可以确定外接圆的方程.通过建立平面直角坐标系，写出平面向量的坐标.点P在外接圆上，用三角函数的定义表示出点P的坐标，从而把m+n用三角函数表示出来，转化为三角函数的最值问题.

解法1在△ABC中，根据正弦定理有

ACsin∠CBA=BCsin∠BAC.

即2sin30°=4sin∠BAC，有sin∠BAC=1.

因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC=90°.

所以Rt△ABC的外心为斜边BC的中点O.

以斜边BC所在直线为x轴，中点O为原点，建立平面直角坐标系，则可得A（-1，3），B（2，0），C（-2，0）.

所以CA=（1，3），CB=（4，0）.

所以CP=mCA+nCB=（m+4n，3m）.

因为Rt△ABC的外接圆的圆心是O，半径是2，可设P（2cosθ，2sinθ），所以CP=（2cosθ+2，2sinθ）.

因为CP=mCA+nCB，

所以2cosθ+2=m+4n，2sinθ=3m.

所以m=233sinθ，n=12cosθ+12-36sinθ.

所以m+n=12cosθ+32sinθ+12

=sin（θ+π6）+12.

所以当sin（θ+π6）=1时，m+n的最大值是32.

思路2代数方程思想.分析出点P所在的外接圆的方程，通过坐标运算写出点P的坐标，把点P的坐标代入外接圆的方程，得到关于m，n的方程.令m+n=a，将m=a-n代入方程，从而消去m，得到含有a，n的式子.再将此式子看成是关于n的一元二次方程，此方程一定有根，通过根的判别式△≥0求出a的范围，即求出m的最值.

解法2同解法1，可得Rt△ABC的外接圆的圆心是BC的中点O，半径是2，建立平面直角坐标系的方法也同解法1，则点P在圆x2+y2=4上.

所以A（-1，3），B（2，0），C（-2，0） .

所以CA=（1，3），CB=（4，0）.

所以CP=mCA+nCB=（m+4n，3m）.

所以OP=OC+CP=（m+4n-2，3m）.

因为点P在圆x2+y2=4上，

所以（m+4n-2）2+（3m）2=4.

所以m2+m（2n-1）+（2n-1）2=1.

令m+n=a，则m=a-n.

所以（a-n）2+（a-n）（2n-1）+（2n-1）2=1.

化简，得3n2-3n+a2-a=0.

把上式看作关于n的一元二次方程，此方程有实根，

则此方程的△=（-3）2-4×3×（a2-a）≥0.

所以4a2-4a-3≤0.

所以-12≤a≤32.

所以m+n的最大值是32.

思路3平面向量的基底法.本题中的CA，CB，CO的长度和夹角都已知，便可计算出相应的数量积.根据CP·CO=12|CP|2，再根据平面向量模的计算公式，就可以得到关于m，n的方程，后面的解题方法同解法2.

解法3同解法1可得Rt△ABC的外接圆的圆心是BC的中点O，因为

CA·CO=|CA|·|CO|·cos60°=2×2×12=2，

CB·CO=|CB|·|CO|cos0°=4×2×1=8，

CP·CO=|CP|·|CO|cos∠PCO=12|CP|2，

又因为CP=mCA+nCB，

所以CP·CO=（mCA+nCB）·CO

=mCA·CO+nCB·CO

=2m+8n.

所以12|CP|2=2m+8n.

即|CP|2=4m+16n.

因为CP2=（mCA+nCB）2

=m2CA2+2mnCA·CB+n2CB2

=4m2+8mn+16n2，

所以4m2+8mn+16n2=4m+16n.

所以m2+2mn+4n2-m-4n=0.

令m+n=a，则m=a-n.

则（a-n）2+2（a-n）n+4n2-（a-n）-4n=0.

化简，得3n2-3n+a2-a=0.

把上式看作关于n的一元二次方程，此方程有实根，

则方程的△=（-3）2-4×3×（a2-a）≥0.

所以4a2-4a-3≤0.所以-12≤a≤32.

所以m+n的最大值是32.

思路4几何法.利用平面向量的等和线定理，过点P作MN∥AB，当MN与外接圆相切时，m+n得到最大值.利用平面几何知识计算出相似比CMCA=λ，即可得出答案.

解法4过点P作MN∥AB分别交CA，CB的延长线于点M，N.因为M，N，P三点共线，则有实数s，t使CP=sCM+tCN，且s+t=1.

因为MN∥AB，记CMCA=CNCB=λ，

所以CP=sCM+tCN=sλCA+λtCB.

所以sλ+λt=λ，即m+n=λ.这其实就是平面向量的等和线定理.

因为m+n=λ=CMCA，CA=2，所以CM取最大值时，m+n得到最大值.

当MN与外接圆相切时，CM取最大值时，由平面几何知识可知，OP⊥MN，ON=2OP=4，CN=6，CM=12CN=3.

所以m+n的最大值是32.

3试题变式

变式1在△ABC中，AC=2，BC=4，∠CBA=30°，P是△ABC的外接圆上的一点，若CP=mCA+nCB，求m+n的最小值.

由前面的分析和解题过程，很容易得到m+n的最小值为-12.

变式2在△ABC中，AC=AB=2，∠BAC=120°，P是△ABC的外接圆上的一点，若CP=mCA+nCB，求m+n的最大值.

解析虽然本题的△ABC不是直角三角形，但根据平面几何知识，很容易得出△ABC的外接圆的圆心在BC的高上（三线合一），和前面的题相似，解决本题也同样有多种方法.下面从坐标法角度给出解题过程.

由余弦定理计算得BC=23，由正弦定理可得△ABC的外接圆的直径2R=BCsin120°=4，则R=2.

以BC所在直线为x轴，以BC中点O为原点建立平面直角坐标系，则A（0，1），B（3，0），

C（-3，0），△ABC的外接圆圆心D（0，-1）.

因为CA=（3，1），CB=（23，0），

所以mCA+nCB=（3m+23n，m）.

因为△ABC的外接圆的方程为x2+（y+1）2=4，可设点P（2cosθ，-1+2sinθ），

所以CP=（2cosθ+3，-1+2sinθ）.

由CP=mCA+nCB，得

2cosθ+3=3m+23n，-1+2sinθ=m.

所以m=-1+2sinθ，n=33cosθ-sinθ+1.

所以m+n=33cosθ+sinθ=233sin（θ+π6）.

当sin（θ+π6）=1时，m+n的最大值为233.

4结束语

不论是教师在教学过程中，还是学生在学习知识的过程中，都需要重视一题多解问题的探究.通过一道题把相关的知识点串成线，建立起高中数学的知识结构.例如本文的平面向量最值问题，涉及平面向量、三角函数、平面几何、代数方程、解析几何等知识点，并且同时运用了多种数学思想方法.通过对本文题目的深入探究，教师和学生都会有收获和启发.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准

（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

［责任编辑：李璟］