两圆公切线的八种解法

摘要：以2022年全国新高考Ⅰ卷第14题为例，探究其多种求解思路，剖析不同方法的原理，并给出了一般性的求解步骤，有助于学生系统地掌握求解两个圆的公切线的方法，认清问题的本质，领悟解析几何中数形结合的思想方法.

关键词：公切线；解法探究；数形结合

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）28-0082-03

求两个圆的公切线方程是平面解析几何的基本问题，充分体现了数形结合的思想方法，蕴含了多种求解策略，在2022年全国新高考Ⅰ卷中以一道开放试题呈现.根据两圆位置关系的不同，两圆半径大小的不同，可以采用不同的求解方法，下面详细阐释.

1试题呈现

试题写出与圆x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一条直线的方程.

2解法剖析

方法1观察法.

在平面直角坐标系中画出两个圆，观察其位置特征，猜想公切线方程，并验证.

解析在平面直角坐标系中画出两个圆，观察发现直线x=-1可能是两圆的一条公切线.

经检验，两圆圆心到直线的距离等于半径，符合相切关系.

方法2对称法.

若两圆有多条公切线时，利用公切线关于圆心所在直线对称的方法，可以由一条公切线方程求出另外一条公切线方程.

解析如图1，通过解法1可得出一条公切线x=-1，

圆心所在直线CO：y=43x，在直线x=-1上取一点P（-1，0），

设点P1（x0，y0）为点P关于直线CO：y=43x的对称点，可得

y0-0x0+1×43=-1，y0+02=43×x0-12，

解得x0=725，y0=-2425，即P1（725，-2425）.

又由y=43x，x=-1， 得点Q（-1，-43），可得另一条公切线P1Q：7x-24y-25=0.

方法3两圆方程作差法.

已知两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，

因为圆心不重合，则两圆方程作差为一条直线方程：（D1-D2）·x+（E1-E2）·y+F1-F2=0.若两圆外切，则该直线为经过两圆公共点的公切线，若两圆内切，则该直线是唯一的一条公切线.

解析因为圆x2+y2=1的圆心坐标为O（0，0），半径r1=1，圆（x-3）2+（y-4）2=16的圆心坐标为C（3，4），半径r2=4，则|OC|=9+16=5=r1+r2.所以两圆外切.

因此，只需两圆方程作差，可得3x+4y-5=0，即为一条公切线方程.

方法4定比分点法cb18d5f99875f2609d6c26db705d115f4740644cd8197f462530e91222247561.

利用公切线与圆心连线交于同一点，可以借助半径关系，建立交点坐标与圆心之间的向量

关系，利用定比分点坐标公式求出交点坐标，进而求出公切线方程.图2利用定比分点法求公切线

解析如图2，POPC=14，即OP=-14PC，由O0，0，C3，4可得P（-1，-43），

当斜率不存在时，直线方程为x=-1，符合与两圆相切，

当斜率存在时，设直线方程y+43=kx+1，由圆O与直线相切，可得

dO-l=k-4/3k2+1=1，解得k=724，即切线方程为7x-24y-25=0.

方法5平移法.

平移公切线到一个圆的圆心处，利用点到直线的距离公式求出平行线方程，再通过平行线间的距离公式求出公切线方程[1].

解析如图3所示，当斜率存在时，设过点O且与公切线平行的直线OM为y=kx，圆心C到直线OM的距离为3，即dC-OM=3k-4k2+1=3，解得k=724，即直线OM：7x-24y=0.则公切线PQ的方程可设为7x-24y+m=0，

由平行线间的距离公式可得m72+242=1，解得m=±25，由图可知，公切线PQ在x轴的截距为正数，即m=-25，所以，公切线PQ的方程为7x-24y-25=0.

方法6夹角法.

先求出公切线与两圆心所在直线的夹角，再通过两圆心所在直线斜率求出公切线的斜率，最后用一个圆与公切线相切求出公切线的方程.

解析如图4所示，作OM∥l1，可知OM⊥CM，设一条公切线l1的倾斜角为θ，公切线与两圆心所在直线OC的夹角为α，两圆心所在直线OC的倾斜角为β，

可知tanβ=kOC=43，sinα=CMOC=35，即tanα=34，由图可知tanθ=tanβ-α=724，即公切线l1的斜率为724，设l1的方程为y=724x+m，由圆O与直线l1相切，可得dO-l1=m12+7/242=1，

解得m=±2524，由图可知，公切线l1在x轴的截距为正数，即m=-2524，即一条公切线l1的方程为y=724x-2524.

而另一条公切线的倾斜角满足tanθ=tanβ+α=4/3+3/41-4/3×3/4，无意义，

即斜率不存在，就是前面所求的x=-1.

方法7硬算法.

讨论斜率是否存在，当斜率存在时，设为点斜式，利用两个圆都和直线相切，两个方程解两个未知数，求出公切线方程.

解析当斜率不存在时，直线方程为x=-1，符合与两圆相切，为第一条公切线，

当斜率存在时，设直线方程y=kx+b，由两圆均与直线相切，

可得bk2+1=1，3k+b-4k2+1=4，两式作比，可得3k+b-4=4b.

若3k+b-4=4b，则b=k-43，代入bk2+1=1，解得k=724，b=-2524，

得到第二条公切线方程y=724x-2524；

若3k+b-4=-4b，则b=4-3k5，代入bk2+1=1，化简为4k+32=0，

解得k=-34，b=54，得到第三条公切线方程y=-34x+54.

由此，可得三条公切线分别为x=-1，7x-24y-25=0和3x+4y-5=0.

方法8几何意义法.

如图5与图6所示，当两圆半径相等时，外部的公切线与两圆心所在直线平行，内部的公切线经过两圆心的中点，利用该几何意义，可以将问题转化为求平行线方程与求过定点的切线方程.

试题（2022年辽宁省高二校联考）

已知圆O1：x2+y-32=16，圆O2：x-62+y-112=16，则与圆O1，O2都相切的直线方程为.

答案两条外部公切线l1和l2的方程为4x-3y+29=0或4x-3y-11=0，

两条内部公切线l3和l4的方程为y=7或24x+7y-121=0.

3结束语

上述八种方法从不同角度切入，各有优劣.在解题时，要先分析两圆的位置关系，再结合图形分析两圆之间有无特殊的几何关系，最后根据求解需要选择合适的解法. 全面掌握八种方法有助于学生建立先前所学知识之间的联系，加深对直线与圆相切问题的理解，进一步领悟解析几何问题中数形结合的思想方法.

参考文献：

［1］

张忠旺.求两圆公切线方程的简捷方法[J].数学通讯，2000（22）：14-15.

［责任编辑：李璟］