微专题设计

摘要：对三角函数求最值微专题的两道高考经典真题进行多视角解答探究，目的是在题量上以少胜多，即达到做一题通一类的目的.

关键词：高考真题；三角函数；最值；一题多解

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）28-0038-05

纵观近几年高考考查三角函数的内容，几乎都有一道涉及三角恒等变换的小题，一般属于容易或中档难度，这些小题往往题干简洁、精炼优美、内涵丰富，因受到学生的喜爱而成为所谓的“网红”.三角变换是高中数学基本运算之一，但难点在于涉及公式多，角与角相互关系密切且错综复杂，解题时容易陷入方法无从选择的困境，有时思路不一样会导致解题长度不同，甚至进入泥潭不能自拔.下面笔者以一道高考试题为例，浅析三角变换求值常涉及的处理策略，希望读者细细品味，在多种解法中，看看哪些是由于公式选择不同造成的，哪些是由切入点不同造成的，只有把这些问题弄清楚后才有助于我们去理解三角变换问题的解题精髓.

1真题呈现

题目（2019年新课标Ⅰ卷）函数f（x）=

sin（2x+3π2）-3cosx的最小值为.

分析本题主要考查了诱导公式、二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，以及利用余弦函数、二次函数的性质求解最值的应用，同时考查转化思想以及计算能力.

2多视角解答

解法1直接配方法.

f（x）=sin（2x+3π2）-3cosx

=-cos2x-3cosx

=-2cos2x-3cosx+1

=-2（cosx+34）2+178，

因为-1≤cosx≤1，

所以当cosx=1时，f（x）min=-4.

故函数f（x）的最小值为-4.

点评 解答本题的过程中，部分考生易忽视

-1≤cosx≤1的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误.

解法2图象法.

因为f（x）=sin（2x+3π2）-3cosx

=-cos2x-3cosx

=-2cos2x-3cosx+1，

令t=cosx，则-1≤t≤1.

又因为f（t）=-2t2-3t+1的开口向下，对称轴t=-34，在［-1，1］上先增后减，结合图象易得当t=1即cosx=1时，函数有最小值-4.

点评此法实质与解法1类似，只是着重进行换元转化为二次函数从图象入手，体现了数形结合的解题思想.

解法3利用观察法.

由解法2，得

f（x）=-2cos2x-3cosx+1

=-2cos2x+3cosx+1，

当2cos2x+3cosx取最大值时，即由三角函数的有界性可知t=cosx=1时f（x）取最小值4.

解法4利用导数求值.

由解法2有f（t）=-2t2-3t+1，t∈-1，1.

即 f ′（t）=-4t-3，

当f ′（t）>0时t<-34；

当f ′（t）<0时，t>-34.

即f（t）在区间-34，1单调递减，在区间-1，-34单调递增，所以f（t）在

t∈-1，1时，f（t）min=f（1

）=-4.

点评此法体现了导数在三角函数中的运用，实际上，对涉及二次函数类型求对称轴问题，有时用导数容易求得对称轴，可以避免由于同学记错公式或配方不当导致错误.

解法5利用向量不等式.

由解法1可知

f（x）=sin（2x+3π2）-3cosx

=-2cos2x-3cosx+1

=2sin2x-3cosx-1.

令a=sinx，cosx，b=2sinx，-3，

由|a·b|≤|a|·|b|，得

|2sin2x-3cosx|≤sin2x+cos2x·4sin2x+9

=4sin2x+9.

结合式子2sin2x-3cosx-1易得，当sinx=0时，4sin2x+9=3时，|2sin2x-3cosx|=3，此时2sin2x-3cosx=-3，即函数f（x）的最小值为-4.

点评向量不等式的运用体现了向量的工具性作用，尤其涉及式子结构有和与积的特征时，可以考虑构造向量数量积.不等式|a·b|≤|a|·|b|实际是柯西不等式的向量表达形式，即本法也是利用了柯西不等式.

那么此题在化简f（x）=sin（2x+3π2）-3cosx=-cos2x-3cosx时，我们发现此结构在历年的高考试题中屡见不鲜！如：

例1（2017年新课标Ⅱ卷文科第13题）函数f（x）＝2cosx+sinx的最大值为.

例2（2013年新课标Ⅰ卷）设当x=θ时，函数f（x）＝sinx-2cosx取得最大值，则cosθ＝.

例3（2011年新课标卷）在△ABC中，B＝60°，AC=3，则AB+2BC的最大值为.

由以上真题探究解法和思路及几道真题回放发现，这是真正的姊妹题呀！

在以上解法4的导数法中，我们会疑问f（x）=sin（2x+3π2）-3cosx=-cos2x-3cosx可以直接利用求导解吗？如直接求导则有f ′（x）=2sin2x+3sinx，哇塞！这不是变为（2018年全国新课标Ⅰ卷理科16题）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是的“姊妹题”吗？笔者发现网上讨论此题解法大部分都是利用导数的方法去破解，然而求函数的最值我们深知常见有配方法、单调性法、基本不等式法、向量法、数形结合法等，下面利用真题呈现的一些解题思路，再结合自己参与网络的探究进行整理与读者交流.

3重温经典真题及解答

例4（2018年全国新课标Ⅰ卷理科16题）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是.

解法1利用配方法.

f（x）=2sinx+2sinxcosx

=2sinx+2sinxcosx+3（sin2x+cos2x-1）

=33（3cosx+sinx）2+233（sinx+32）2-332

≥-332.

只有当3cosx+sinx=sinx+32=0时，即x=2kπ-π3（k∈Z）时，f（x）min=-332.点评观察函数结构特点，将sinx与cosx合理分配凑成完全平方和，这对学生变形技巧要求较高，体现了思维的难度加大.

解法2利用导数法.

因为f（x）=2sinx+sin2x，所以

f ′（x）=2cosx+2cos2x

=4cos2x+2cosx-2

=4（cosx-12）（cosx+1）.

由f ′（x）≥0，得12≤cosx≤1.

即2kπ-π3≤x≤2kπ+π3（k∈Z）.

同理f ′（x）≤0，得-1≤cosx≤12.

即2kπ+π3≤x≤2kπ+π（k∈Z）或2kπ-π≤x≤2kπ-π3（k∈Z）.

当x=2kπ-π3（k∈Z）时，f（x）取得最小值且

f（2kπ-π3）=-332.

解法3在闭区间内利用导数求最值.

由题设易知2π是f（x）的周期且f（x）为奇函数.

因为f ′（x）=2（1+cosx）（2cosx-1），

令f ′（x）=0，

解得x=π3或x=5π3.

由f（0）=f（2π）=0，f（π3）=332，f（5π3）=-332，

得f（x）∈-332，332.

则f（x）取得最小值-332.

解法4平方后利用导数求最值.

因为f（x）=2sinx+sin2x=2sinx（1+cosx），

所以f（x）2=4sin2x（1+cosx）2

=4（1+cosx）3（1-cosx）.

设cosx=t，则

y=4（1-t）（1+t）3（-1≤t≤1）.

所以y′=-（1+t）3+3（1-t）（1+t）2

=4（1+t）2（2-4t）.

即当-1<t<12时，y′>0；

当12<t<1时，y′<0.

即函数y=4（1-t）（1+t）3（-1≤t≤1）在

（-1，12）上单调递增，在（12，1）上单调递减，所以当

t=12时，ymax=274.当t=±1时，ymin=0.

所以0≤f（x）2≤274.

即-332≤f（x）≤332.

则f（x）的最小值为-332.

点评平方后实质是统一函数名称，这正是我们三角变换常用的转化思想，再进一步转化为函数求导求最值.

解法5利用向量不等式|a·b|≤|a||b|.

因为f（x）=2sinx+sin2x=2sinx（1+cosx），

令a=（0，sinx），b=（0，1+cosx），

则f（x）=2a·b.

因为|a·b|≤|a||b|

=sin2x·（1+cosx）2，

设1+cosx=t∈0，2，

即m（t）=-t4+2t3.

又m′（t）=-4t3+6t2=-2t2（2t-3），

易得m（t）在区间（32，2）单调递减，（0，32）单调递增.

所以m（t）max=m（32）=2716.

所以-334≤|a·b|≤334.

即-332≤f（x）≤332.

所以f（x）的最小值为-332.

点评向量不等式的运用体现了向量的工具性作用，尤其涉及式子结构有和与积的特征，可以考虑构造向量数量积.

解法6构造圆，利用数形结合.

因为f（x）=2sinx+sin2x=2sinx（1+cosx），如图1，以AB为直径作一单位圆，点C为圆上任意一点，CD⊥AB于点E，设∠COE=x，

即sinx=yc=|CE|，1+cosx=1+xc=|AE|.

则|f（x）|=|2sinx（1+cosx）|=2S△ACD，当且仅当x=∠CAD=60°时，

即单位圆里正三角形面积最大.

则S△ACD取得最大值为334.

又因为f（x）=2sinx+sin2x为奇函数，

故当x=-60°时，f（x）的最小值为-332.

点评单位圆与三角函数密不可分，由式子结构变形后有乘积，构造圆利用数形结合法搭建面积表达式进行求解.可见方法独到又易于联想，体现了数学素养中的直观想象的运用.

解法7构造两图象相切.

由f（x）=2sinx+sin2x=2sinx（1+cosx），

设m=cosx，n=sinx，

则t=2n（1+m）.

所以m2+n2=1，n=t2（1+m）.

由图2，设两切线切于点x，y，则满足x2+

y2=1，y=t2（x+1），-t2（x+1）2=-x±1-x2三者同时成立，

联立得方程2x2+x-1=0，解得x=12，合题意.

由t=±332，则-332≤f（x）≤332.

点评此法进一步体现数形结合的思想，将原函数转化为两函数图象的位置关系，这也是研究函数零点的常用方法之一.

解法8利用琴生不等式或取特殊值法.

由题设易知2π是f（x）的周期且f（x）为奇函数.

由函数f1（x）=2sinx和f2（x）=sin2x的图象特点可知，当x∈0，π时，f（x）可取最大值.

所以当x∈0，π时，y=sinx是凸函数.

由琴生不等式，得

f（x）=2sinx+sin2x

=sinx+sinx+sin（π-2x）

≤3sinx+x+π-2x3

=332，

当且仅当x=π3时等号成立，即f（x）的最大值为332.

假如不知道琴生不等式，可特殊化，相当于三个内角的三个正弦值之和.经验告诉我们令三个角相等，即为等边三角形时和最大，由奇函数可得f（x）的最小值为-332.

点评此法利用高等数学背景进行求解，但在变形过程中学生可以根据三个式子特点猜想三个角相等从而获解堪称秒杀！

有了以上真题铺垫，我们有以下变式题的出场，请读者从多角度动手试一试.

变式1函数y=cos2x+2sinx的最大值是.

变式2已知函数f（x）=5sinx-12cosx，当x=x0时，f（x）有最大值13，则tanx0＝.

变式3函数f（x）=sin3x+3cos2x（x∈［-π3，π2］）的值域为.

答案32;-512;［6-338，3］.

4解答与设计感悟

历年的高考真题因其权威性、代表性，学生几乎都要进行训练.比如对2018年这道考题，如果我们在训练讲评时草草收场，轻描淡写，不去深层次挖掘试题的内涵，长期这样则会导致学生思维的局限性.所以平时训练时不仅要求熟练掌握通法，还要联系知识间的交汇点，从不同角度剖析，进行一题多解、一题多变，发散学生思维，从而提高学生的解题能力，这样才会顺理成章地有2019年这道高考试题的多种解法诞生.通过以上解题训练，让学生真正体会做一题通一类，让考生在答题时心中有法有路，不恐惧，感悟做过真题价更高！教师作为学生的引路人，更应该在高考试题上进行多研究多思考，常言道：学生需要一滴水，老师要有一桶水！对于2018年的这道题目，有兴趣的同学继续探究下去会发现还可以利用万能公式换元求最值、化为同角后再构造四元均值不等式、化为同名函数再构造四元均值不等式、构造拉格朗日函数多达二十几种解法！让他们体会学习数学的魅力和解题乐趣.正如著名数学教育家波利亚所言：一个有责任心的教师与其穷于应付烦琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生解题的过程中，提高他们的才智与推理能力［1］.

5结束语

在高三复习备考中，有许多同学盲目地热衷刷题，而忽视了“刷方法”“刷思维”.著名数学教育家孙维刚曾说过，如果我们只追求多解的数量，对每种解法也不进行深入探讨，那么对于有些本质相同只是形式略有区别的解法就不必花更多的时间[2].同时如果不同角度的解法在思路上拉开的距离较大，运用的知识较多，这将加深对题目本质的理解，加深对每个解法本质的理解，加深对所用概念和公式及相互间联系的理解.如果把这些解法相互比较，进行抽象，还会在方法上有所创造，提高解题能力，这样一题多解就很有价值了.

参考文献：

［1］

余献虎.深度设计以“理解”为目标的教学：以“整式的化简”为例[J].数学通讯，2023（21）：26-27，40.

［2］ 林敏.对2023年乙卷理科16题的再思考[J].数理化解题研究，2023（28）：43-45.

［责任编辑：李璟］