多视角探讨圆锥曲线中的面积最值问题

摘要：以圆锥曲线为背景的最值问题是近几年高考及模考的热点，其内容丰富，涵盖了代数、几何及三角、向量等章节中的众多知识，还涉及到许多解题技巧.容量大、综合性强、相互渗透是最值问题的基本特征，往往考查考生综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力.

关键词：圆锥曲线；面积；最值

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）28-0002-04

圆锥曲线中含参的三角形面积最值的求解是高考及模考的常考题型.它有效考查圆锥曲线的性质，解析几何中设而不求、数形结合、化归与转化的思想，符合课程标准中“对数学能力的考查要以数学基础知识、数学思想和方法为基础”的要求[1].下文以椭圆为载体例析圆锥曲线中三角形面积的最值求法.

1试题呈现

题目已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=22，过点F2作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF1的周长为42.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设点A关于x轴的对称点为C，求△F1BC的面积的最大值.

2总体分析

本题是2023年11月中学生标准学术能力诊断测试第21题，是圆锥曲线压轴题.此题入口宽，可以设直线BC方程为切入点，结合A，F2，B三点共线，找到m，k之间的关系，得出直线BC过定点；可以选择设直线AB方程为切入点，结合根与系数的关系，推导直线BC的解析式，得出过定点；可以设直线的斜截式、点斜式、横截式，再得出面积的解析式，最终求出面积的最大值.当然，不同的处理方式，思维量不同，运算量不同.

3试题解答

3.1第（1）问解析

解析椭圆E的方程为x22+y2=1.

3.2第（2）问解析

解法1以直线BC的斜截式方程为切入点.

设直线BC的方程为y=kx+m，B（x1，y1），

C（x2，y2），A（x2，-y2），

联立y=kx+m，x2+2y2-2=0， 整理，得

（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0 ，且△>0.

即2k2-2m2+1>0.①

由根与系数的关系，得

x1+x2=-4km2k2+1，x1x2=2m2-22k2+1.②

因为A，F2，B三点共线，所以AF2∥BF2.

而AF2=（1-x2，y2），BF2=（1-x1，-y1），

所以（1-x2）（-y1）-（1-x1）y2=0，

且y1=kx1+m，y2=kx2+m.

代入整理，得

2kx1x2+（m-k）（x1+x2）-2m=0.

结合②，得

2k·2m2-22k2+1+（m-k）（-4k22k2+1）-2m=0，

解得m=-2k.

代入①易得k2<12.

此时直线BC方程为y=k（x-2）.

即直线BC过定点（2，0）.

弦长|BC|=1+k2|x1-x2|，

点F1到BC距离为d=3|k|k2+1.

所以△F1BC的面积为

S=12|BC|·d

=32|k|（x1+x2）2-4x1x2

=3k2（2-4k2）（2k2+1）2.

设2k2+1=t>1，

则S=3（t-1）（2-t）t2

=3-2（1t-34）2+18

≤324，

当1t=34，即k2=16（满足k2<12）时，面积取最大值324.

评注此解法从直线BC方程的斜截式入手，结合A，F2，B三点共线，得出相关点的坐标的联系，再借助于根与系数的关系，找到m，k之间的关系式，得出直线BC过定点，最后建立三角形面积的目标函数，合理转化及换元，得出面积的最大值.

解法2以直线AB的点斜式方程为切入点.

设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），

B（x2，y2），C（x1，-y1），

联立y=k（x-1），x2+2y2-2=0， 整理，得

（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0 ，且△>0.

由根与系数的关系，得

x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2-22k2+1.

通过观察及计算易得

2x1x2=3（x1+x2）-4.③

BC的方程为y=y2+y1x2-x1（x-x1）-y1.

又y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），

化简可得

y=kx2-x1［（x1+x2-2）x+x1+x2-2x1x2］.④

同时结合③继续化简整理，得

y=k（x1+x2-2）x2-x1（x-2）.

所以直线BC过定点（2，0）.

下同解法1，面积的最大值为324.

评注此种设直线的方法是学生最容易想到的，但此解法计算量很大，尤其是借助于相关点的坐标写出直线BC的方程，进一步化简得出解析式④后，再结合③式得出直线BC过定点（2，0）是非常困难的.

解法3以直线AB的横截式方程为切入点.

设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，-y1），

联立x=ty+1，x2+2y2-2=0， 整理，得

（t2+2）y2+2ty-1=0 ，且△>0.

由根与系数的关系，得

y1+y2=-2tt2+2，y1y2=-1t2+2.

通过观察及计算易得

y1+y2=2ty1y2.⑤

BC的方程为y=y2+y1x2-x1（x-x1）-y1，

又x1=ty1+1，x2=ty2+1，

同时结合⑤化简整理，得

y=y1+y2t（y2-y1）（x-2）.

所以直线BC过定点（2，0）.

不妨设BC的方程为x=my+2，

联立x=my+2，x2+2y2-2=0，整理，得

（m2+2）y2+4my+2=0.

所以yB+yC=-4mm2+2，yByC=2m2+2.

点F1到BC距离为d=3m2+1，

所以△F1BC的面积为

S=12|BC|·d

=121+m2|yB-yC|·d

=32（yB+yC）2-4yByC

=32m2-2（m2+2）2.

设m2+2=λ>2，

则S=32λ-4λ2

=32-4（1λ-18）2+116

≤324，

当1t=18，即m2=6时，面积取最大值324.

评注受到解法2的启发，设直线AB的横截式方程，发现根与系数关系中的y1y2与y1+y2更直观简洁，直线BC的处理方法与解法2异曲同工，简化解析式后代入相应的根与系数的关系式进行转化，不再赘述.

解法4以直线BC的横截式方程为切入点.

设直线BC的方程为x=ty+n，B（x1，y1），

C（x2，y2），A（x2，-y2），

联立x=ty+n，x2+2y2-2=0， 整理，得

（t2+2）y2+2tny+n2-2=0 ，且△>0.

由根与系数的关系，得

y1+y2=-2tnt2+2，y1y2=n2-2t2+2.⑥

因为A，F2，B三点共线，所以AF2∥BF2.

而AF2=（1-x2，y2），BF2=（1-x1，-y1），

所以（1-x2）（-y1）-（1-x1）y2=0，

且x1=ty1+n，x2=ty2+n.

代入整理，得2ty1y2+（n-1）（y1+y2）=0.

结合⑥，得

2t·n2-2t2+2+（n-1）（-2tnt2+2）=0，

解得n=2.

所以直线BC过定点（2，0）.

下同解法1或解法2，面积的最大值为324.

评注此法从设直线BC的横截式

方程入手，结合A，F2，B三点共线，与解法1处理方式相似，但计算量明显减少很多.

解法5以直线AB的点斜式方程和平面向量为突破口.

设直线AB的方程为y=k（x-1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，-y1），

结合解法2得x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2-22k2+1.

所以BF1=（-1-x2，-y2），CF1=（-1-x1，y1），

△BCF1的面积

S=12|（-1-x2）y1-（-1-x1）（-y2）|

=12|（1+x2）y1+（1+x1）y2|

=12|（1+x2）·k（x1-1）+（1+x1）·k（x2-1）|

=|k（x1x2-2）|

=|3k2k2+1|

=32|k|+1/|k|

≤322=324.

故面积的最大值为324.

评注此法需要用到向量坐标表示时的面积公式，简述如下：△ABC中，已知AB=（x1，y1），AC=（x2，y2），则△ABC的面积为S=12|x1y2-x2y1|.具体证明思路为：利用向量的数量积求出cos∠BAC，转化为正弦后代入面积公式，进一步化简整理可得.感兴趣的同仁们不妨一试！此公式在2022年新高考Ⅰ卷解析几何大题中也可以使用.

4试题链接

（哈师大附中2021年高三期末试题20）设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，点F到抛物线准线的距离为2，若椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点也为F，离心率为12.

（1）求抛物线方程和椭圆方程；

（2）若不经过点F的直线与抛物线交于A，B两点，且OA·OB=-3（O为坐标原点），直线l与椭圆交于C，D两点，求△CDF面积的最大值.

简析（1） 抛物线方程为y2=4x，椭圆方程为x24+y23=1.

（2）设直线l的方程为my=x+n，与抛物线方程联立，结合OA·OB=-3可求出n，再联立直线与椭圆，即可求出弦长表示出△CDF的面积，合理换元，最终求出最值233.

5结束语

圆锥曲线中的最值问题类型较多，方法灵活多变.基本思想是建立目标函数和不等关系，关键是选一个合适的变量，原则是该变量可以表达要解决的问题，可以是直线的斜率、截距、点的坐标等，同时需要借助二次函数求最值、判别式、基本不等式或导数法来解决，要根据不同的实际情况灵活处理.解析几何变换多，思维量大，需要我们在平时的学习中不断积累经验，还要多一些细心、耐心，才能学好解析几何[2].

参考文献：

［1］

陈崇荣.圆锥曲线中三角形面积的最值求法探析[J].高中数理化，2014（21）：23-24.

[2]王国松.椭圆中面积最值问题的解题策略[J].高中数学教与学，2015（14）：41-43.

［责任编辑：李璟］