带电粒子在叠加场中运动问题分类例析

摘要：通过对电场、磁场以及重力场等叠加情况的分析，结合具体实例，运用相关的物理规律和数学方法，阐述了带电粒子在不同叠加场中的不同运动形式和特点，为解决此类问题提供了系统的方法和思路.

关键词：带电粒子；叠加场；分类例析

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）28-0108-03

带电粒子在叠加场中的运动是物理学中的一个重要研究领域，它涉及电场、磁场、重力场等多种场的相互作用.深入研究带电粒子在叠加场中的运动问题，对于理解物理现象、解决实际问题以及推动相关技术的发展都具有重要的意义.

1带电粒子在叠加场中的直线运动

例1如图1，足够长柱形绝缘直杆与水平面间夹角θ=30°，直杆处于垂直纸面向里的匀强磁场中，磁场磁感应强度大小为B，杆上套有一个带电量为-q、质量为m的小球，小球孔径略大于杆的直径，球与直杆间的动摩擦因数μ=34.现将小球由静止释放，当小球下滑距离x1时其加速度最大，当球再下滑距离x2时其速度刚好达到最大，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）.

A.小球的最大加速度为g8

B.小球的最大速度为3mg6qB

C.小球下滑距离x1过程中克服摩擦力做的功Wf1=mgx1-3m2g28q2B2

D.小球下滑距离x2过程中克服摩擦力做的功为Wf2=mgx22-5m3g23q2B2

解析根据题意可知，当其加速度最大时，沿杆方向合力最大，摩擦力为零，此时mgsinθ=ma，解得最大加速度a=12g，故A错误；当速度最大时，合力为零，即mgsinθ=μ（qvB-mgcosθ），解得最大速度v=73mg6qB，故B错误；小球下滑距离x1时qv1B=mgcosθ ，mgx1sinθ-Wf1=12mv21，解得Wf1=12mgx1-3m3g28q2B2，故C错误；小球下滑距离x2过程中mgx2sinθ-Wf2=12mv2-12mv21，解得Wf2=mgx22-5m3g23q2B2，故D正确.

点评本题是带约束条件的叠加场问题，小球在运动过程中除了受到重力和洛伦兹力外，还受到杆对小球的支撑力和摩擦力，在叠加场中小球做加速直线运动，速度增大，洛伦兹力增大，支持力减小，摩擦力减小，合力增大，加速度增大.这类变速直线运动需要紧扣题目的已知条件，根据平衡方程或功能关系求解[1].

2带电粒子在叠加场中的匀速圆周运动

例2如图2所示，顶角为2θ的光滑绝缘圆锥，置于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，现有质量为m，带电量为-q的小球，沿圆锥面在水平面内做匀速圆周运动，则（）.

A.从上往下看，小球做顺时针运动

B.洛仑兹力提供小球做匀速圆周运动时的向心力

C.小球有最小运动半径R=4mgB2q2tanθ

D.小球以最小半径运动时其速度v=2mgBqtanθ

解析小球在运动过程中受重力、支持力和指向圆心的洛伦兹力，才能够做匀速圆周运动，根据左手定则可知从上往下看，小球做逆时针运动;重力、洛伦兹力与支持力的合力提供向心力，如图3，根据牛顿第二定律，水平方向qvB-FNcosθ=mv2R，竖直方向FNsinθ-mg=0，联立可得mv2R-qvB+mgcotθ=0，因为速度为实数，所以Δ≥0，可得（qB）2-4mRmgcotθ≥0，解得R≥4m2gcotθq2B2，所以最小半径为Rmin=4m2gcotθq2B2，可得小球以最小半径运动时其速度v=2mgBqtanθ.故选D选项.

点评小球在重力场和磁场的叠加环境中做匀速圆周运动，需要对小球进行受力分析，然后寻找向心力的来源，根据牛顿第二定律即可求解.

3带电粒子在叠加场中的变速圆周运动和旋进运动

例3竖直平面内建立如图4所示的xOy直角坐标系，在-L≤y<0的区域Ⅰ内，存在着水平方向的匀强电场和垂直于纸面的匀强磁场（图中均未画出），在y<-L的区域Ⅱ内，存在垂直于纸面向里的匀强磁场.一个带正电的小球从y轴上的P点以初速度v0水平向右抛出，仅在重力的作用下经过x轴上的Q点，随后沿直线运动穿过区域Ⅰ，通过M点进入区域Ⅱ做曲线运动.已知OP的长度与OQ的长度之比为3∶2，小球的质量为m，电荷量为+q，区域Ⅱ的磁感应强度大小B2与区域Ⅰ的磁感应强度大小B1满足B2=14B1（B1、B2为未知量），重力加速度为g.

（1）求小球到达Q点时的速度大小和方向；

（2）求区域Ⅰ的磁感应强度B1的大小和方向；

（3）若L=3v202g，从小球经过M点开始计时，当经过Δt=10πv03g时同时，求小球的位置坐标（用v0、g表达）.

解析（1）根据平抛运动的规律有x=v0t，y=12gt2，vy=gt，结合题目条件yx=32，解得vy=3v0，故Q点的速度大小v=v20+v2y，即v=2v0，其与水平方向的夹角为θ，则tanθ=vyv0，解得θ=60°，速度与水平方向成60°斜向右下方.

（2）粒子在区域Ⅰ受到重力、水平电场力、洛伦兹力的作用做直线运动，其受力分析如图5所示.

根据平衡条件有qvB1cosθ=mg，解得B1=mgqv0.根据左手定则，B1的方向垂直于纸面向里.

（3）当小球进入区域Ⅱ时，受到重力和洛伦兹力的作用.将速度v分解为v1、v2，令v1产生的洛伦兹力与重力平衡，即qv1B2=mg，解得v1=4v0.则根据平行四边形定则，可知v2=23v0，速度矢量分解图如图6所示 .

v2产生的洛伦兹力斜向右下方，受力分析如图7所示 .

小球的曲线运动可看作4v0的水平向右的匀速直线运动和23v0的从M点开始的逆时针方向的匀速圆周运动的合运动，则qv2B2=mv22r，得圆周运动的半径r=83v20g .由周期T=2πrv2，得T=8πv0g .根据题目条件Δt=10πv03g=512T.故圆周运动在水平方向上引起的向右的位移Δx1=12r，竖直方向引起的向下的位移Δy=（32+1）r；匀速直线运动引起的向右的水平位移Δx2=v1Δt .根据几何关系，M点的坐标为（33v202g，-3v202g），故水平位置坐标x=xM+Δx1+Δx2，竖直位置坐标y=yM-Δy.解得小球的位置坐标为（1132+40π3）v20g，-（272+83）v20g.

点评本例属于带电小球在叠加场和组合场中的变速圆周运动和旋进运动问题.解决组合场问题的关键点，是根据题设条件求解从一个区域进入另一个区域交接点处速度的大小和方向.带电小球在叠加场中做较复杂曲线运动时，需要对小球进行受力分析和运动分析，根据题中给定的关键信息（如本题第三问中的L和Δt），结合圆周运动和类平抛运动的相关知识进行求解[2].

4结束语

带电粒子在叠加场中的运动问题是一类综合性较强的物理问题，需要学生熟练掌握电场、磁场和重力场的性质，以及带电粒子在这些场中的受力和运动规律.通过准确的受力分析、合理的运动状态判断和恰当的物理规律运用，结合数学运算，才能够有效地解决这类问题[3].同时，随着科技的不断发展，对于带电粒子在叠加场中运动问题的研究也将不断深入，为相关领域的技术创新和应用提供更有力的理论支持.

参考文献：［1］

彭焕灵.带电粒子在“叠加场”的运动分析[J].高中数理化，2011（16）：33-34.

[2]胡连冬.带电粒子在正交叠加场中运动问题的研究[J].数理化解题研究，2020（04）：57-59.

[3]张锦科.带电粒子（体）在复合场中的运动类析[J].数理化学习（高中版），2011（Z1）：55-59.

［责任编辑：李璟］