用赋值法解决含双参数不等式恒成立条件下的最值问题

摘要：含双参数的不等式恒成立问题是一类综合性很强的问题，在高考或者各类模拟考试中经常出现.利用逆向思维，用赋值法可以比较快捷地解决含双参数不等式恒成立条件下的三类最值问题，能够优化解题思维.

关键词：双参数；不等式；恒成立；逆向思维；赋值法

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）28-0099-03

含双参数不等式恒成立问题是一类常见的典型问题，参考文献[1]提出了利用统一变量构造函数解决问题的方法，非常实用.笔者研究发现，在合适的条件下，利用逆向思维，采取赋值加证明的方法也能解决含双参数不等式恒成立条件下的最值问题，而且解题过程比较简洁.

为了叙述方便，以下几个常用的函数不等式不难证明，作为结论直接应用.

（1）x∈R时，ex≥x+1；

（2）x∈R时，ex≥ex；

（3）x>0时，lnx≤x-1.

1含双参数和差型表达式的最值问题

例1已知a，b为实数，不等式2ex≥2ax+b对于x∈R恒成立，求a+b的最大值.

分析一般情况下是先求当x变化时b的最大值（与a有关），再将a+b放大为含单变量a的表达式f（a），然后求f（a）的最大值即可.在该问题中，不妨逆向思考，首先在原不等式中对x取特殊值，得到目标式a+b的不等式（这是必要条件e8e2a49c56591e129a475eb152010d82），在此结果的引导下，寻求a+b的最大值.

解析令x=12，得到a+b≤2e（再寻求可以使得a+b=2e的条件，对不等式两边同时求导数，令x=12时两边的导数值相等，取a=b=e）.

令a=b=e，则容易证明2ex≥2ex+e等价于ex≥ex+e2，即ex-12≥x+12.

由（1）知此不等式对x∈R恒成立.

所以a+b的最大值为2e.

探究1条件不变，如何求2a+b的最大值？上述方法还有效吗？

令x=1，得到2a+b≤2e，取a=e，b=0，由不等式（2）知2ex≥2ex对x∈R恒成立，所以2a+b的最大值为2e.

探究2条件不变，λ为正常数，如何求λa+b的最大值？

令x=λ2，得到λa+b≤2eλ2，取a=eλ2，b=（2-λ）eλ2，则2ex≥2ax+b化成2ex≥2eλ2x+（2-λ）eλ2，等价于ex-λ2≥x-λ2+1，由（1）知此不等式成立.

所以λa+b的最大值为2eλ2.

探究3条件不变，如何求a-b的最小值？

由探究2的过程，看成λ=-1，令x=-12，可以得到-a+b≤2e-12.

所以a-b的最小值为-2e-12.

探究4条件不变，μ为正常数，如何求μa-b的最小值？

令x=-μ2，得到-μa+b≤2e-μ2，取a=e-μ2，b=（2+μ）e-μ2，则2ex≥2ax+b化成2ex≥2e-μ2x+（2+μ）e-μ2，等价于ex+μ2≥x+μ2+1，由（1）知此不等式成立.所以μa-b的最小值为-2e-μ2.

2含双参数乘积型表达式的最值问题

例2（2012年全国新课标理改编）已知a，b为实数，不等式ex≥（a+1）x+b对于x∈R恒成立，求（a+1）b的最大值.

分析此问题中a+1的符号比较关键，从x→-∞时函数的变化趋势来看，a+1<0时原不等式不恒成立，a+1=0时，（a+1）b=0不会达到最大值，a+1>0时，常规方法还是首先确定当x变化时b的最大值（与a有关），再将（a+1）b放大为含单变量a的表达式f（a），然后求f（a）的最大值即可.不妨逆向思考，首先在原不等式的基础上，通过不等式变形，造出（a+1）b，然后再寻求最大值.

解析当a+1<0时，取x=-1+|b|+1a+1，e-1+|b|+1a+1<1，但是

（a+1）x+b=|b|+1+b-（a+1）≥1-（a+1）>1，原不等式不恒成立，矛盾；当

a+1=0时，（a+1）b=0；当

a+1>0时，主要考虑b>0的情形，x>0时，

ex≥（a+1）x+b≥2（a+1）xb，得到2（a+1）b≤e2x2x对x>0恒成立.

不难求出x>0时，e2x2x的最小值为e.

所以有（a+1）b≤e2，当x=12时取得等号.

特别地，当a+1=e，b=e2时，ex≥（a+1）x+b等价于ex≥ex+e2，即ex-12≥x+12.由不等式（1）知此不等式成立.所以（a+1）b的最大值为e2.

探究5已知a>0，b>0，ex≥ax+b对x>0恒成立，k∈N*，k为常数，求akb的最大值.

解析x>0时由均值不等式，得

ex≥ax+b=axk+axk+axk+…+axk+b

≥（k+1）k+1（axk）kb，

两边同时k+1次方，得

e（k+1）x≥（k+1）k+1akbxkkk.

所以（k+1）k+1·akbkk≤e（k+1）xxk对x>0恒成立.

设f（x）=e（k+1）xxk，x>0，

f ′（x）=e（k+1）x·（k+1）x-kxk+1，

当x=kk+1时，f（x）取得最小值

（k+1）kekkk.

所以（k+1）kekkk≥（k+1）k+1akbkk.

得到akb≤ekk+1［1］.

特别地，取a=ekk+1，b=ek/（k+1）k+1，ex≥ax+b等价于ex≥ekk+1x+ek/（k+1）k+1，也即ex-kk+1≥x+1k+1.

由不等式（1）知此不等式成立.

所以akb的最大值为ekk+1.

探究6已知a>0，b>0，ex≥ax+b对x>0恒成立，m，n∈N*，m，n为常数，求ambn的最大值.

解析x>0时由均值不等式，得

ex≥ax+b=axmm+bnn≥（m+n）m+nambnmmnnxm.

也即e（m+n）x≥（m+n）m+n·ambnmmnnxm.

即（m+n）m+n·ambnmmnn≤e（m+n）xxm对x>0恒成立.

设f（x）=e（m+n）xxm，则

f ′（x）=e（m+n）xxm+1［（m+n）x-m］，

当x=mm+n时，f（x）取得最小值em（m+n）mmm.

所以（m+n）m+n·ambnmmnn≤em（m+n）mmm

所以ambn≤nnem（m+n）n.

特别地，取a=emm+n，b=nm+nemm+n，得

ambn=nnem（m+n）n.

ex≥ax+b等价于ex≥emm+nx+nm+nemm+n，

等价于ex-mm+n≥x+nm+n.

由不等式（1）知此不等式成立.

所以ambn的最大值为nnem（m+n）n.

3含双参数商型表达式的最值问题

例3已知a>0，b>0，aex≥x+b对x∈R恒成立，求ab的最小值.

解析在aex≥x+b中，令x=0，得到a≥b，即ab≥1.

特别地，令a=b=1，则ab=1，aex≥x+b等价于ex≥x+1.

由不等式（1）知此不等式成立.

所以ab的最小值为1.

例4已知a>0，b>0，lnx-ex-2ax+b≤0对x>0恒成立，求ba的最大值.

解析在lnx-ex-2ax+b≤0中令x=e，得到

b≤2ae，ba≤2e.

特别地，取a=1e，b=2，

lnx-ex-2ax+b≤0化成lnx-ex-2ex+2≤0.

设f（x）=lnx-ex-2ex+2，则

f ′（x）=-（2x+e）（x-e）ex2，

当x=e时，f（x）取得最大值f（e）=0.

所以lnx-ex-2ex+2≤0成立.

也即ba的最大值为2e.

4结束语

上述在解决含双参数不等式恒成立条件下的最值问题中，所用的赋值法的本质是首先用特殊状态探求目标式范围的必要性，然后再取特殊的双参数证明目标式取得最值的充分性，逻辑顺序是先探后证.对于文中所提到的几类最值问题，赋值法简洁高效.

参考文献：

［1］

纪明亮.统一变量构造函数解决双参数恒成立问题[J].中学生数学，2023（05）：12-14.

［责任编辑：李璟］