一道2023年高考题的深入探讨

摘要：文章对2023年高考新课标Ⅰ卷的第9题进行探究，给出两种解法，并对选项C进行深入探讨，得到一个相关推广命题的两种严格证明.

关键词：新高考；样本的数字特征；平移不变性；情境

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）28-0095-04

2023年新高考Ⅰ卷第9题是多项选择题，试题考查样本数据的基本数字特征：样本的平均数、标准差、中位数、极差概念的理解.不仅注重试题的基础性，而且使基础知识的考查和能力的考查有机结合，较好地体现了统计中数字特征的核心内容和基本思想方法的考查，对于考生运用数学知识，寻找合理的解题策略有较高的要求.笔者对此题进行解答，对并选项C进行深入探讨，与大家分享.

1试题的呈现与解答

题目有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（）.

A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数

B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数

C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差

D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差

解法1对于选项A：设x2，x3，x4，x5的平均数为m，x1，x2，…，x6的平均数为n，则

n-m=x1+x2+…+x66

-x2+x3+x4+x54

=2（x1+x6）-（x2+x3+x4+x5）12.

因为不能确定2（x1+x6）与x2+x3+x4+x5的大小关系，所以无法判断m，n的大小，故A错误.

对于选项B：不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，可知x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数，均为x3+x42，故B正确.

对于选项C：因为标准差反映数据的离散程度和波动程度，直观上看，去掉数据的最小值x1，最大值 x6，标准差不会变大.特别地，当x1<x6，且x2=

x3=x4=x5时，x1，x2，…，x6的标准差大于零，x2，x3，x4，x5的标准差等于零，此时x2，x3，x4，x5的标准差小于x1，x2，…，x6的标准差，故C错误.

对于选项D：不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，则x6-x1≥x5-x2，当且仅当x1=x2，x5=x6时，等号成立，故D正确.

故选BD.

解法2本题作为多项选择题也可以用排除法作答：取x1，x2，…，x6为1，1，1，1，1，7，则x2，x3，x4，x5的平均数为1，x1，x2，…，x6的平均数为2，故A错误；

x2，x3，x4，x5的标准差为0，x1，x2，…，x6的标准差显然大于0，故C错误.

故选BD.

2选项C的深入探究

选项C表明：样本数据x1，x2，…，x6去掉最大值和最小值后，标准差不大于原来的标准差.这个事实看起来自然，但应如何严格证明呢？

《高考试题分析》第150页至151页提供了一种证法，为了比较不同证法之间的差异，将其证明过程摘录如下（作为证法1）［1］.

证法1（1）若x1，x2，…，x6全相等，则x2，x3，x4，x5的标准差等于x1，x2，…，x6的标准差，都为0.

（2）若x1，x2，…，x6不全相等，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，且x-=16（x1+x2+…+x6）=0（否则可把数据整体向左平移x-）.此时必有x1<0，x6>0.记x1，x2，…，x6标准差为s1，x2，x3，x4，x5的标准差为s2.

（ⅰ）若x1<0≤x2≤x3≤…≤x6，则

x6=-（x1+x2+…+x5）≤-x1=|x1|，

且当2≤i≤5时，有0≤xi≤x6.

故x2≤15（x2+…+x6）=-15x1<-x1=|x1|.

故∑5i=2x2i<2（x26+x21）.

（ⅱ）若x1≤x2≤0≤x3≤…≤x6，则

当3≤i≤5时，有0≤xi≤x6，且

x3≤14（x3+…+x6）=-14（x1+x2）

≤-12x1<-x1=|x1|.

故∑5i=2x2i<2（x26+x21）.

（ⅲ）若x1≤…≤x5≤0≤x6，与（ⅰ）类似可得∑5i=2x2i<2（x26+x21）.

（ⅳ）若x1≤…≤x4≤0≤x5≤x6，与（ⅱ）类似可得∑5i=2x2i<2（x26+x21）.

综上，在（ⅰ）-（ⅳ）的情况下，有∑5i=2x2i<2（x26+x21）成立，从而

s22=14∑5i=2x2i-（-x1+x64）2=16∑5i=1x2i+112［∑5i=2x2i-2（x21+x26）］-（x1+x64）2<16∑5i=1x2i=s21.

因此在（ⅰ）-（ⅳ）的情况下，x2，x3，x4，x5的标准差小于x1，x2，…，x6的标准差.

（ⅴ）若x1≤x2≤x3≤0≤x4≤x5≤x6，则

x23≤x22≤x21，x24≤x25≤x26.

从而s22≤14∑5i=2x2i≤16∑5i=1x2i=s21，

二者相等当且仅当s22=14∑5i=2x2i=16∑5i=1x2i，也即x1=x2=x3=-x4=-x5=-x6.

因此在（ⅴ）情况下，x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差，当且仅当x1=x2=x3=-x4

=-x5=-x6时，x2，x3，x4，x5的标准差等于x1，x2，…，x6的标准差.

综合上述讨论，x2，x3，x4，x5的标准差小于或等于x1，x2，…，x6的标准差.

评注证法1有几个难点：①为什么可取x-=16（x1+x2+…+x6）=0？②“否则可把数据整体向左平移x-”是什么意思？③等式s22=14∑5i=2x2i-（-x1+x64）2省略较多的步骤，较难看懂.④证明过程要分多种情况进行讨论，思维难度大.

有没有更易理解的证法呢？下面考虑

x1≤x2≤…≤xn（n≥3）个数据的情形：

命题设x1≤x2≤…≤xn（n≥3），记x=x1+x2+…+xnn，x-=x2+x3+…+xn-1n-2，s21=

1n∑nk=1（xk-x）2，s22=1n-2∑n-1k=2（xk-x-）2，则s22≤s21.

为了更好地证明上述命题，先给出三个引理：

引理1设x1，x2，…，xn的方差为s2x，y1，y2，…，yn的方差为s2y，其中yi=xi+b（i=1，2，…，n），b为非零常数，则s2x=s2y.

引理1的证明设x1，x2，…，xn的平均数为x-，则x-=1n∑ni=1xi，s2x=1n∑ni=1（xi-x-）2.

因为yi=xi+b（i=1，2，…，n），

所以y1，y2，…，yn的平均数为

y-=1n∑ni=1（xi+b）=1n∑ni=1xi+b=x-+b.

从而s2y=1n∑ni=1［（xi+b）-（x-+b）］2

=1n∑ni=1（xi-x-）2=s2x.

评注引理1实际上是教材（人教A版2019年版）必修第二册213页练习题的第2题，此性质称为方差的平移不变性.

引理2设x1，x2，…，xn的平均数为x-，方差为s2，x21，x22，…，x2n的平均数为m，则s2=m-x-2.

引理2的证明因为m=1n（∑nk=1x2k），所以

s2=1n∑nk=1（xk-x-）2=1n［（∑nk=1x2k）-nx-2］=1n（∑nk=1x2k）-x-2=m-x-2.

引理3对于x1≤x2≤…≤xn（n≥3），且x1+x2+…+xn=0，则∑nk=1x2k≤n2（x21+x2n）.

引理3的证明因为x1≤x2≤…≤xn，且x1+x2+…+xn=0，当x1=xn时，则x1=x2=…=xn=0，引理显然成立.

当x1≠xn时，则必有x1<0<xn.

设A（x1，x21），B（xn，x2n），则直线AB的斜率为

k=x2n-x21xn-x1=xn+x1，

直线AB方程为y=（xn+x1）x-x1xn.

由于函数y=x2是下凸函数，可知点（xk，x2k）

（k=1，2，…，n）在割线AB的下方或在割线上，于是

x2k≤（xn+x1）xk-x1xn.

所以∑nk=1x2k≤（xn+x1）∑nk=1xk-nx1xn=-nx1xn≤n×x21+x2n2=n2（x21+x2n），等号当xk∈{x1，xn}，且x1+xn=0时取得.

下面证明命题.

证法2由x1≤x2≤…≤xn（n≥3），根据方差的平移不变性（引理1），不妨设最大值xn=A，最小值x1=-A（A≥0）.

记x-=x2+x3+…+xn-1n-2，

y-=x22+x23+…+x2n-1n-2，

s22=1n-2∑n-1k=2（xk-x-）2，

由引理2，得s22=y--x-2.

因为x1，x2，…，xn的平均数为

（n-2）x-+A+（-A）n=（n-2）x-n，

x21，x22，…，x2n的平均数为（n-2）y-+2A2n.

由引理2，可得x1，x2，…，xn的方差

s21=（n-2）y-+2A2n-［（n-2）x-n］2.

因为A是最大值，所以A2≥y-，且n≥3.

于是s21-s22=（n-2）y-+2A2n-［（n-2）x-n］2-（y--x-2）=2（A2-y-）n+4（n-1）x-2n2≥0.

所以s22≤s21，命题得证.

证法3由x1≤x2≤…≤xn（n≥3），则

x=x1+x2+…+xnn=1n∑nk=1xk.

设yi=xi-x=xi-1n∑nk=1xk（i=1，2，…，n），

则有y1≤y2≤…≤yn（n≥3），且

y1+y2+…+yn=∑nk=1yk=∑nk=1xk-nx=∑nk=1xk-n×1n∑nk=1xk=0.

记y=y1+y2+…+ynn=1n∑nk=1yk=0，

y-=y2+y3+…+yn-1n-2，

s2y1=1n∑nk=1（yk-y）2，

s2y2=1n-2∑n-1k=2（yk-y-）2.

由引理3，可得y21+y2n≥2n∑nk=1y2k.

由引理2，得

s2y2=1n-2∑n-1k=2（yk-y-）2=1n-2∑n-1k=2y2k-y-2.

所以s2y2=1n-2∑n-1k=2（yk-y-）2=1n-2∑n-1k=2y2k-y-2

≤1n-2∑n-1k=2y2k

=1n-2

［（∑nk=1y2k）-（y21+y2n）］

≤1n-2·［（∑nk=1y2k）-2n∑nk=1y2k］

=1n-2×n-2n∑nk=1y2k

=1n∑nk=1y2k=1n∑nk=1（yk-y）2=s2y1.

又根据方差的平移不变性（引理1），可得

s21=s2y1，s22=s2y2.

所以s22≤s21.

当n为奇数时，取等条件为所有数均相等；当n为偶数时，取等条件为一半数为最大数且另一半数为最小数.

综上所述，命题得证.

评注①当x1≤x2≤…≤x6时，由命题可知，x2，x3，x4，x5的方差不大于x1，x2，…，x6的方差，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差（取等条件是一半数为最大数且另一半数为最小数），所以原试题的选项C是错误的.②对比三种证法，证法2与证法3不需要分类讨论，证明更具一般性，证法2的证明过程直观、简洁；证法3所用的引理3，结合下凸函数、直线方程与均值不等式等相关知识，证法新颖独到，别具一格.此外，证法3还说明了证法1中“且x-=16（x1+x2+…+x6）=0（否则可把数据整体向左平移x-）”的原因.

3结束语

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中多次出现“情境”一词，《中国高考评价体系》也规定了高考的考查载体——情境，并以此承载考查内容，实现考查要求.数学情境是高考评价体系中最重要的创新之一，是实现“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的考查目标的载体.数学试题情境一般取材于学生生活中的真实问题，贴近学生实际，具有现实意义，具备研究价值.本题的情境是学生所熟悉的，源于比赛或评比中常用的“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的计分方式，引导考生从数学上思考这种计分方式的合理性.对于选项C，去掉最高分和最低分后，新样本的标准差总是不大于原标本的标准差，且在很多情形下，小于原样本的标准差，这符合考生的直观判断，也说明了在比赛去掉最高分和最低分后，总的来说可能降低数据的分散程度和波动性，从而提高评分的合理性.

参考文献：

［1］

教育部教育考试院.高考试题分析：数学（2024年版）[M].北京：语文出版社，2023.

［责任编辑：李璟］