圆锥曲线中与平行直线和斜率之积有关的一个性质

摘要：在圆锥曲线中，有很多与定点定值和直线斜率有关的问题，文章从一道典型试题出发，经过深入探究，得到圆锥曲线中与平行直线和斜率之积有关的一个性质，主要解决了以下问题：已知斜率k（或斜率不存在），去找定点P，斜率为定值k（或斜率不存在）的动直线与圆锥曲线交于A，B两点，则直线PA，PB的斜率之积是定值.

关键词：圆锥曲线；平行直线；斜率之积；定值

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）28-0091-04

在圆锥曲线的定点定值问题中，有一个熟知的结论，即过圆锥曲线E上的点P，作两条斜率之积为非零定值的直线分别与圆锥曲线E交于点A，B，则直线AB过定点（或有定向）[1].若斜率为定值（或斜率不存在）的动直线与圆锥曲线E交于A，B两点，则是否存在定点P，直线PA，PB的斜率之积为定值？本文从一道典型试题出发，经过深入探究，得到圆锥曲线中与平行直线和斜率之积有关的一个性质.

1试题呈现与解析

试题已知椭圆E：x24+y23=1，斜率为32的动直线与椭圆E交于A，B两点，在坐标平面上是否存在定点P，若直线PA，PB的斜率k1，k2都存在，则k1k2是定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

分析假设满足题意的定点为P（x0，y0），设直线AB的方程为y=32x+t，将直线AB的方程与椭圆E的方程联立，利用韦达定理表示k1k2，由k1k2是定值得到x0，y0满足的条件，从而求出点P的坐标.为了方便，本文中出现的直线斜率，均指直线斜率存在的情况.

解析设P（x0，y0）满足题意，即直线PA，PB的斜率之积为定值.

设直线AB的方程为y=32x+t.

联立x24+y23=1，y=32x+t，消去y，得

3x2+3tx+t2-3=0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

x1+x2=-t，x1x2=t2-33.

于是直线PA的斜率

k1=y1-y0x1-x0

=3x1/2+t-y0x1-x0=

3x1+2t-2y02（x1-x0）.

同理可得直线PB的斜率

k2=3x2+2t-2y02（x2-x0）.

所以k1k2=（3x1+2t-2y0）（3x2+2t-2y0）4（x1-x0）（x2-x0）

=9x1x2+6（t-y0）（x1+x2）+4（t-y0）24［x1x2-x0（x1+x2）+x20］

=3（t2-3）-6t（t-y0）+4（t-y0）24［（t2-3）/3+x0t+x20］

=3（t2-2y0t+4y20-9）4（t2+3x0t+3x20-3）.

由k1k2是定值得3x0=-2y0且3x20-3=4y20-9，解得x0=1，y0=-32或x0=-1，y0=32.此时k1k2=34.

于是P1（1，-32），P2（-1，32）满足题意.

所以在坐标平面上存在两个定点P1（1，-32），P2（-1，32），直线P1A，P1B（P2A，P2B）的斜率之积是定值，定值为34.

2已知斜率k（或斜率不存在），去找定点P

由试题可得，对于椭圆E：x24+y23=1，斜率为32的动直线与椭圆E交于A，B两点，在坐标平面上存在两个定点P1（1，-32），P2（-1，32），直线P1A，P1B（P2A，P2B）的斜率之积是定值.注意到斜率为32且过原点O的直线与椭圆E的一个交点为P（1，32），点P关于x轴和y轴的对称点分别为P1，P2.

对于椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0），斜率为k（或垂直x轴）且过原点O的直线与椭圆E的一个交点为P，点P关于x轴和y轴的对称点分别为P1，P2，则P1，P2是否满足条件，即斜率为定值k（或垂直x轴）的动直线与椭圆E交于A，B两点，则直线P1A，P1B（P2A，P2B）的斜率之积为定值？若这样构造的P1，P2（不）满足条件，则在坐标平面上是否存在其他定点满足条件？若存在，则这样的定点有几个？定值为何值？本文经过深入探究，得到以下结论.

结论1已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0），斜率为k（或垂直x轴）且过原点O的直线与椭圆E的一个交点为P，点P关于x轴和y轴的对称点分别为P1，P2，斜率为定值k（或垂直x轴）的动直线与椭圆E交于A，B两点，则直线P1A，P1B（P2A，P2B）的斜率之积为定值，定值为b2a2.

注（1）斜率为k且过原点O的直线与椭圆E的一个交点为P，不妨设P（aba2k2+b2，abka2k2+b2），则点P关于x轴和y轴的对称点分别为

P1（aba2k2+b2，-abka2k2+b2），

P2（-aba2k2+b2，abka2k2+b2）.

（2）垂直x轴且过原点O的直线与椭圆E的一个交点为P，则点P关于x轴和y轴的对称点分别为P1（0，-b），P2（0，b）.

结论2已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）.

（1）斜率为ba的动直线与椭圆E交于A，B两点，则存在无数个定点P（x0，-bax0），直线PA，PB的斜率之积是定值，定值为b2a2；

（2）斜率为-ba的动直线与椭圆E交于A，B两点，则存在无数个定点P（x0，bax0），直线PA，PB的斜率之积是定值，定值为b2a2；

（3）斜率为定值k（k≠±ba）的动直线与椭圆E交于A，B两点，则存在两个定点P1（aba2k2+b2，-abka2k2+b2），P2（-aba2k2+b2，abka2k2+b2），直线P1A，P1B（P2A，P2B）的斜率之积是定值，定值为b2a2；

（4）垂直x轴的动直线与椭圆E交于A，B两点，则存在两个定点P1（0，-b），P2（0，b），直线P1A，P1B（P2A，P2B）的斜率之积是定值，定值为b2a2.

证明设P（x0，y0），斜率为定值k的动直线与椭圆E交于A，B两点.

设直线AB的方程为y=kx+t，

联立x2a2+y2b2=1，y=kx+t，消去y，得

（a2k2+b2）x2+2a2ktx+a2（t2-b2）=0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

x1+x2=-2a2kta2k2+b2，

x1x2=a2（t2-b2）a2k2+b2.

于是直线PA的斜率

k1=y1-y0x1-x0=kx1+t-y0x1-x0.

同理可得直线PB的斜率

k2=kx2+t-y0x2-x0.

所以k1k2=（kx1+t-y0）（kx2+t-y0）（x1-x0）（x2-x0）

=k2x1x2+k（t-y0）（x1+x2）+（t-y0）2x1x2-x0（x1+x2）+x20

=a2k2（t2-b2）-2a2k2t（t-y0）+（t-y0）2（a2k2+b2）a2（t2-b2）+2a2x0kt+x20（a2k2+b2）

=b2（t-y0）2+a2k2（y20-b2）a2（t+kx0）2+b2（x20-a2）.

由k1k2是定值得

kx0=-y0 ，b4（x20-a2）=a4k2（y20-b2）.①②

于是k1k2=b2a2.

由①②，得b4（x20-a2）=a4k2（k2x20-b2）.

整理，得

（a2k2-b2）［（a2k2+b2）x20-a2b2］=0.③

（1）若k=ba，则③成立.由①得y0=-bax0.于是P（x0，-bax0），k1k2=b2a2，结论成立.

（2）若k=-ba，同（1）可得P（x0，bax0），k1k2=b2a2，结论成立.

（3）若k≠ba，由③得

x20=a2b2a2k2+b2.

于是x0=±aba2k2+b2.

由①得y0=-kx0.于是P1（aba2k2+b2，-abka2k2+b2），P2（-aba2k2+b2，abka2k2+b2），且k1k2=b2a2，结论成立.

（4）垂直x轴的动直线与椭圆E交于A，B两点，设A（t，s），B（t，-s），|t|<a且t2a2+s2b2=1，于是直线PA的斜率k1=y0-sx0-t，直线PB的斜率k2=y0+sx0-t，所以k1k2=y20-s2（x0-t）2.

由t2a2+s2b2=1得s2=b2（a2-t2）a2.

于是k1k2=y20-b2（a2-t2）/a2（x0-t）2=b2t2+a2（y20-b2）a2（t-x0）2.

由k1k2是定值得x0=0且y20-b2=0，解得x0=0，y0=±b.

于是P1（0，-b），P2（0，b），且k1k2=b2a2，结论成立.

对于双曲线和抛物线，本文经过探究，得到以下结论.

结论3已知双曲线E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）.

（1）斜率为定值k（|k|<ba）的动直线与双曲线E交于A，B两点，则存在两个定点P1（abb2-a2k2，-abkb2-a2k2），P2（-abb2-a2k2，abkb2-a2k2），直线P1A，P1B（P2A，P2B）的斜率之积是定值，定值为-b2a2；

（2）斜率为定值k（|k|≥ba）（或垂直x轴）的动直线与双曲线E交于A，B两点，则对于任何定点P，直线PA，PB的斜率之积不是定值.

注斜率为k（|k|<ba）且过原点O的直线与双曲线E的一个交点为P（abb2-a2k2，abkb2-a2k2），点P关于x轴和y轴的对称点分别为定点P1，P2.

结论4已知抛物线E：y2=2px（p>0），斜率为定值k（k≠0）（或垂直x轴）的动直线与抛物线E交于A，B两点，则对于任何定点P，直线PA，PB的斜率之积不是定值.

3结束语

圆锥曲线是非常重要的一类平面曲线，是平面解析几何的重要内容，它集中体现了解析几何的基本思想.圆锥曲线不仅具有独特的形状，还有很多有趣的性质.本文从一道典型试题出发，经过深入探究，得到圆锥曲线中与平行直线和斜率之积有关的一个性质，主要解决了以下问题：已知斜率k（或斜率不存在），去找定点P，斜率为定值k（或斜率不存在）的动直线与圆锥曲线交于A，B两点，则直线PA，PB的斜率之积是定值.

参考文献：

［1］

曹军.圆锥曲线上的定点定值子弦的性质：圆锥曲线顶点定值子弦性质的推广[J].中学数学研究（华南师范大学版），2013（19）：19-21.

［责任编辑：李璟］