把握数学本质 构建数学模型

摘要：2023年全国新高考Ⅰ卷第21题考查了高中数学课程主线内容“概率与统计”的全概率公式的应用.针对该题求复杂事件概率的应用题，引导学生经历从现实问题中确定变量、探究变量关系、建立模型、解决模型和最终解决现实问题等完整的数学建模过程，感悟全概率公式的本质和体验数学建模活动的完整过程，形成和发展数学建模素养.

关键词：全概率公式；数学本质；数学建模；核心素养

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）28-0088-03

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）明确指出：数学建模是数学学科核心素养之一，是高考考查的重要素养.提升学生的数学建模素养，有助于增强学生的创新意识和科学精神.近年来新高考考查“概率与统计”的内容基本上以应用问题的形式出现，注重数学本质的回归.《标准》明确指出：数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，数学建模活动主线贯穿于整个高中阶段的数学教育教学的始终.解决实际问题的过程即为数学建模活动的过程，解决数学问题就是数学建模问题，所以数学建模素养的培养应落实到数学教学的各个环节.

1试题呈现

题目 （2023年新高考Ⅰ卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量xi服从两点分布，且P（xi=1）=1-P（xi=0）=qi，i=1，2，…，n，则E（∑ni=1xi）=∑ni=1qi.

记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数Y，求E（Y）.

2解法探究

2.1解读问题情境

《标准》说明：在命题中，选择合适的问题情境是考查数学学科核心素养的重要载体.本题情境是一个具体的投篮游戏背景，是熟悉的现实情境.剖析问题情境是确定变量、寻求变量关系、建立数学模型、解决实际问题的关键.所以，解读问题情境、理解题意是建立合理数学模型的第一步.

首先，解读题目背景.题目背景设定在甲、乙两人的投篮游戏中，根据不同的投篮结果，分析第i次投篮为甲或乙的概率，以及前n次投篮中甲投篮次数的期望值.这种题目旨在考查学生根据现实问题建立数学模型、对概率论和随机变量期望的理解与应用能力.

其次，分析问题.如下：

（1）第2次投篮的人是乙的概率：考虑到甲、乙两人投篮的命中率，以及每次投篮后更换投篮者的规则，可以计算出第2次投篮的人是乙的概率.

（2）第i次投篮的人是甲的概率：这是一个递推VV02/+c+Fwkprg9Joccz88w/Rd0PgNkqDre0z6Lb6gk=问题，需要根据前一次投篮的结果来推断下一次投篮的可能性.考虑到甲、乙的投篮命中率和规则，可以逐步推导出第i次投篮的人是甲的概率.

（3）前n次投篮中甲投篮次数的期望值：这个问题涉及到随机变量的期望.首先，需要确定甲投篮次数的随机变量，然后根据概率和期望值的定义，计算出这个随机变量的期望值.

2.2探究建模思路

试题第（1）问：求第2次投篮的人是乙的概率.根据投篮规则，第1次、第2次投篮情况，见图1.

为了简化探究过程，将题目的相关信息用图1直观表示.数学语言是数学思维的直观表象，合理的语言转化有助于对问题的简化和理解.面对较为复杂的应用题，学生不能及时确定题目的核心要素，找不到变量间的关系就不能建立合适的数学模型.因此，可以引导学生尝试利用图、数学符号、表进行分析，这样可以直观地找出变量、确定变量关系、建立模型、解决模型.

解法1根据图1，由互斥事件、条件概率的概率公式和概率乘法公式容易得到第2次投篮的人是乙的概率为p=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.

解法2设Ai=“第i次投篮的人是甲”；Bi=“第i次投篮的人是乙”，其中i=1，2，…，n.则P（A1）=P（B1）=0.5，P（B2|A1）=0.4，P（B2|B1）=0.8.

事件A1B2与B1B2互斥，根据全概率公式，有

P（B2）=P（A1B2）+P（B1B2）

=P（A1）P（B2|A1）+P（B1）P（B2|B1）

=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.

故第2次投篮的人是乙的概率为0.6.

经过对第（1）问的解题探索，建模思路已初步形成.

（1）第i次投篮的人是谁仅取决于第i-1次投篮的人是否命中，与历史状态无关.

（2）求事件“第i次投篮的人是甲（或乙）的概率”，是求复杂事件的概率，其数学本质是将一个复杂事件分解为若干个两两互斥且完备的子事件，然后分别求出每个子事件发生的概率及其在该子事件下复杂事件发生的条件概率，最后将这些结果相加，得到复杂事件发生的总概率.本题的实质是考查全概率公式的应用，建立概率论中的“全概率”模型即可解决问题.

2.3建立模型 解决问题

类比第（1）问的建模思路，完成第（2）问的建模.根据投篮规则，第i-1次、第i次投篮情况如图2.

第i-1次、i次投篮情况

依题意知，事件Ai-1Ai，Bi-1Ai是互斥事件，其中i=2，3，…，n.

根据图2易得Ai=Ai-1Ai+Bi-1Ai，

P（Ai|Ai-1）=0.6，

P（Ai|Bi-1）=0.2，

P（Ai-1）+P（Bi-1）=1.

根据全概率公式的本质容易得

P（Ai）=P（Ai-1Ai）+P（Bi-1Ai）

=P（Ai-1）P（Ai|Ai-1）+P（Bi-1）P（Ai|Bi-1）

=0.6P（Ai-1）+0.2P（Bi-1）

=0.6P（Ai-1）+0.2［1-P（Ai-1）］.

令Pi=P（Ai），则

Pi=35Pi-1+15（1-Pi-1）=25Pi-1+15.

构造等比数列得Pi-13=25（Pi-1-13），

且P1-13=12-13=16.

所以数列Pi-13是首项为16 ，公比为25 的等比数列.

所以Pi=16×（25）i-1+13，i∈N*.

故第i次投篮的人是甲的概率为

Pi=16×（25）i-1+13，i∈N*.

根据第（2）问的结论容易得出第（3）问：

因为E（∑ni=1xi）=∑ni=1qi，qi=pi，其中i=1，2，…，n，

∑ni=1qi=∑ni=1pi=16·1-（2/5）n1-2/5+n3=518·［1-（25）n］+n3，所以E（Y）=518［1-（25）n］+n3.

通过以上探索建模的过程，不难发现建立合适的数学模型解决实际问题的要素有：理解题意、领悟数学本质、熟悉各类数学模型等.

3教学启示

一道典型的高考数学题目往往蕴含着丰富的教育价值，既体现出教学的重点，又能够反映出教育改革的方向.这样的题目有助于指导中学数学，引导教师和学生明确教学重点和学习方向.基于这道概率应用题的命题和建模分析，总结出两点教学建议.

3.1回归教材，强调基础性、综合性

通过对该高考题的探析，我们发现该题与人教A版

教材数学选择性必修第三册第91页第10题的考查方向相同，这更让我们明确了高考题目往往源自教材，或者是对教材内容的深化和拓展.由此可见，高考与教材之间是紧密联系的，教材是学生学习的基础，也是高考命题的重要依据.回归教材，可以帮助学生巩固基础知识，为后续学习打下坚实的基础[1].

3.2注重数学本质，培养数学学科核心素养

在平时的数学教学中，教师应引导学生深入理解数学的本质，挖掘数学概念和定理背后的深层内涵.这需要教师首先具备深厚的数学素养，能够引导学生从数学的本质出发，理解数学概念、定理和公式的形成过程，掌握数学的思维方式和方法.教师可以通过引入实际问题、设计实验、组织数学建模活动和数学探究活动等方式，让学生在解决实际问题的过程中学习数学、运用数学.这样不仅可以激发学生的学习兴趣和动力，还可以帮助他们更好地理解数学的本质和应用价值，提升学生的数学学科核心素养和实践能力.4结束语

由此可见，构建数学模型并非易事.我们需要具备扎实的数学基础知识和良好的数学素养，还需要具备善于发现问题、提出问题、建立数学模型解决问题的能力和丰富的实践经验.只有这样，我们才能在面对复杂问题时，准确把握问题的本质，构建出有效的数学模型.同时，我们还需要注重数学模型的应用和实践，师生积极开展、参与数学建模活动，将数学模型与实际问题紧密结合起来，不断地进行实践和验证，以检验模型的准确性和可靠性.总之，把握数学本质、构建数学模型是我们应对现实问题的关键所在.

参考文献：

［1］ 孔繁晶.创新应用巧建模 回归基础探本质：2021年全国新高考Ⅰ卷第16题探析[J].中国数学教育，2022（6）：55-58.

［责任编辑：李璟］