贵阳市2024年学科竞赛数学试卷及解析

摘要：学科竞赛是选拔尖端人才的重要途径之一.文章给出贵阳市2024年学科竞赛数学试卷及其解析.

关键词：贵阳市学科竞赛；数学竞赛；解析

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）28-0024-04

由贵阳市教育局举办的“贵阳市2024年学科竞赛”于2024年5月18日和19日举行，这是贵阳市教育局首届举办的学科竞赛，包括数学、化学、地理、物理、信息技术五大学科.其中，数学竞赛于18日上午举行，数学竞赛试题严格按照全国联赛一试的题型和分值来命制，试题的原创度高且难度适中，试题有很好的区分度和选拔功能，综合考查了学生的数学能力.

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）

1.已知实数x，y满足x+lnx=y+ey=6，则x+y=.

2.已知正四面体ABCD的棱长等于1，则AB与CD的距离等于.

3.已知函数f（x）=x4+ax3+bx2+cx+d，若f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，则f（0）+f（4）=.

4.设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的上顶点为B，左焦点为F1.设直线BF1与椭圆E的另外一个交点为A，若BF1=2F1A，则椭圆E的离心率为.

5.设G为△ABC的重心，且AG⊥BG，则sinC的最大值为.

6.设［x］表示不超过x的最大整数，S=1+12+

13+…+12 024，则［S］=.

7.设x∈（0，π2），若关于x的不等式5tanx+λsinx>（5+λ）x恒成立，则λ的最大值为.

8.设A1，A2，…，A20是圆周上的20个等分点，在这20个等分点中任取3个点连线都能构成三角形，那么在这些三角形中直角三角形的个数是.

二、解答题（本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

9.（本题满分16分）设复数z=a+bi（a，b∈R，且ab≠0），证明：存在两个复数z1，z2，使得z=z1+z2，且z1-z2和z1z2均为纯虚数.

10.（本题满分20分）已知数列an满足：a1=83，且

an+1=26an+9+4an+6.

求通项公式an.

11.（本题满分20分）从点M向抛物线y2=2px（p>0）引两条切线，切点分别为A，B.已知△MAB的面积为定值S，求点M的轨迹方程.

参考答案

1.设f（x）=x+lnx，则f（ey）=y+ey.

由题意知f（x）=f（ey）.

又f（x）单调递增，所以x=ey.

从而x+y=y+ey=6.

2.如图1所示，设M，N分别是AB，CD的中点，易证MN⊥AB，MN⊥CD.

所以AB与CD的距离等于MN的长.

图1正四面体

由于AB，AC，AD两两的夹角为π3，

所以AB·AC=AC·AD=AD·AB=12.

又因为MN=AN-AM=12（AC+AD）-12AB，

所以|MN|2=14（AC2+AD2+AB2+2AC·AD-

2AC·AB-2AD·AB）

=14（1+1+1+1-1-1）=12.

故MN=22.

3.设g（x）=f（x）-x，则有

g（1）=g（2）=g（3）=0.

故g（x）=（x-1）PzpbdjYzbRCJwGzM24uGQQ==（x-2）（x-3）（x-m）.

从而f（0）+f（4）=g（0）+g（4）+4=6m+6（4-m）+4=28.

4.设椭圆E的右焦点为F2，连接AF2和BF2，

由题意，得

AF1=a2，AF2=3a2.

因为cos∠F2F1B+cos∠F2F1A=0，

所以ca+（a/2）2+（2c）2-（3a/2）22×（a/2）×2c=0.

化简，得ca+2c2-a2ac=0.

即a2=3c2.

故椭圆E的离心率e=ca=33.

5.因为AG⊥BG，所以AG·BG=0.

所以13AB+AC·13BA+BC=0.

所以AB+AC·AB-BC=0.

所以2c2=CA·CB.

所以2c2=ab·cosC=a2+b2-c22.

所以a2+b2=5c2.

由基本不等式，得

cosC

=a2+b2-（a2+b2）/52ab

=（4/5）×（a2+b2）2ab

≥（4/5）×2ab2ab

=45，

当且仅当a=b时等号成立.

故sinC=1-cos2C≤1-（45）2=35.

即sinC的最大值为35.

6.由k+1-k=1k+1+k<12k，知

1k>2（k+1-k）.

故1>2（2-1），12>2（3-2），…，12 024>2（2 025-2 024）.

所以1+12+13+…+12 024>2（2 025-1）=2（45-1）=88.

又由k+1-k=1k+1+k>12k+1，

知1k+1<2（k+1-k）.

故12<2（2-1），

13<2（3-2），…，

12 024

<2（2 024-2 023），

所以 1+12+13+…+12 024

<1+2（2 024-1）

<1+2（45-1）=89.

因此，88<1+12+13+…+12 024<89.

故1+12+13+…+12 024=88.

即S=88.

7.设f（x）=5tanx+λsinx-（5+λ）x，x∈（0，π2），则

f ′（x）=5cos2x+λcosx-（5+λ）

=λcos3x-（5+λ）cos2x+5cos2x.

令cosx=t∈（0，1），

g（t）=λt3-（5+λ）t2+5，t∈（0，1），

则g′（t）=3λt2-2（5+λ）t=t（3λt-2λ-10）.

（1）若λ≤10，则

g′（t）=t（3λt-2λ-10）

<t（3λ-2λ-10）

=t（λ-10）≤0.

所以g（t）在（0，1）上单调递减.

故g（t）>g（1）=0.

于是f ′（x）>0.

因此f（x）在（0，π2）上单调递增.

故f（x）>f（0）=0.

（2）若λ>10，则0<23+103λ<1.

则当t>23+103λ时，

g′（t）=t（3λt-2λ-10）>0.

所以g（t）在（23+103λ，1）上单调递增.

于是，当t∈（23+103λ，1）时，g（t）<g（1）=0，即f ′（x）<0，所以f（x）在（0，arccos（23+103λ））上单调递减.

此时f（x）<f（0）=0，这与f（x）>0恒成立矛盾.

综上，λ≤10，故λ的最大值等于10.

8.引理：方程x1+x2+…+xm=n（m，n∈N*，n≥m，n>1）的正整数解的个数为Cm-1n-1.

如图2所示，以A1为直角顶点，设∠A1所对的弧占x等份，另外两角所对的弧各占y和z等份.由题意得，x+y+z=20，且x=10，故y+z=10.

由引理可知方程y+z=10的正整数解的个数为C2-110-1=C19=9，从而方程x+y+z=20也有9个正整数解.

由图2可知，方程的每个正整数解都对应一个直角三角形，因此以A1为直角顶点的直角三角形有9个.

又以每个顶点为直角顶点的直角三角形的个数相同，而圆周上有20个等分点，所以总共有20×9=180个直角三角形［1］.

9.设

z1-z2=μi，μ∈R，①

z1z2=λi，λ∈R，②

又z1+z2=z=a+bi，③

由①③可得2z1=a+（b+μ）i，2z2=a+（b-μ）i.

所以z1和z2的实部相等，均为a2.

设z1=a2+xi，z2=a2+yi，

这里x，y∈R且x+y=b，由式②，得

a+2xi=2z1=2λz2i=-2λy+aλi，

即 a=-2λy，④

2x=aλ.⑤

由④⑤，得

a2λ=2ax=-4λxy.

即xy=-a24.

由x+y=b，xy=-a24知x，y是方程t2-bt-

a24=0的两个根，

不妨设x=b+a2+b22，y=b-a2+b22.

则z1=a2+（b+a2+b22）i，

z2=a2+（b-a2+b22）i.

此时z1-z2=a2+b2i，z1z2=λi=2xai=b+a2+b2ai，均为纯虚数.

10.令6an+9=bn，则

an=b2n-96，b1=6×83+9=5.

于是b2n+1-96=2bn+4×b2n-96+6.

整理，得b2n+1=4b2n+12bn+9=（2bn+3）2.

又bn>0，所以bn+1=2bn+3.

可得bn+1+3=2（bn+3）.

又b1+3=8，所以{bn+3}是以2为公比，8为首项的等比数列.

故bn+3=8×2n-1=2n+2.即bn=2n+2-3.

则an=b2n-96=（2n+2-3）2-96=4n+26-2n+2.

11.设A，B，M的坐标分别为A（2pλ2，2pλ），B（2pμ2，2pμ），M（x，y）.

由抛物线的切线方程可知，抛物线y2=2px在A，B两点处的切线方程分别为

2pλy=p（x+2pλ2），

2pμy=p（x+2pμ2）.

即2λy=x+2pλ2，2μy=x+2pμ2.

联立上述两条切线方程，解得

x=2pλμ，y=p（λ+μ）.⑥

于是点M的坐标为M（2pλμ，p（λ+μ））.

从而AB=（2p（μ2-λ2），2p（μ-λ）），

AM=（2pλ（μ-λ），p（μ-λ））.

由三角形的面积公式，得

S=12|x1y2-x2y1|

=12|2p（μ2-λ2）·p（μ-λ）-2pλ（μ-λ）·2p（μ-λ）|

=p2|u-λ|3.

于是|μ-λ|2=（Sp2）23.

因为|μ-λ|2=（λ+μ）2-4λμ，

根据⑥式，有（yp）2-2xp=（Sp2）23.

即y2=2px+（pS）23.

这就是动点M的轨迹方程.

参考文献：

［1］

李鸿昌.2023年全国数学联赛（贵州赛区）预赛试题及其解析[J].数理化解题研究，2024（04）：43-45.

［责任编辑：李璟］