例析电磁感应中的不含容式单棒导轨问题

摘要：不含电容器的单棒导轨电磁感应问题被视为电磁感应、电路理论、力学原理和能量转换的综合应用，在高中物理教学中具有深远意义.将单棒导轨问题划分为阻尼型、电动型和发电型三种类型，并分别讨论导体棒的减速运动、加速运动和匀速运动情况.通过具体例题分析，为学生提供了解决这类问题的思路和方法.

关键词：电磁感应；单棒导轨；感应电动势；安培力；能量转换

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）28-0105-03

电磁感应中的单棒导轨问题是对电磁感应、电路理论、力学原理以及能量转换的综合应用，常常作为物理高考中的难点题目.这类问题的核心在于能量形式的转换，解决时需从能量和功的角度出发，理解导体棒在切割磁感线过程中能量转换的机制.本文针对电磁感应中不含电容器的单棒导轨问题，将其分为以下三种类型.

1阻尼式——a逐渐减小的减速运动

在阻尼型问题中，导体棒经历一个加速度逐渐减少的减速过程，最终达到静止状态.导体棒在电路中充当电源，安培力作为阻力与速度成正比.

例1如图1所示，MN和PQ是两根平行放置的金属导轨，不计电阻，间距为L.左侧弧形区域光滑；右侧的水平区域表面粗糙，且处在磁感应强度大小为B的匀强磁场中.该磁场与水平导轨平面的夹角为θ.导轨右端连接着一个阻值为R的定值电阻.一个质量为m、长度为L的金属棒，垂直放置在金属导轨上，与水平导轨间的动摩擦因数为μ.初始时，金属棒位于导轨左端的h高度处，由静止状态释放，随后进入磁场，经过时间t停止运动.已知金属棒电阻为R，与导轨接触良好，且始终与磁场保持垂直，则金属棒进入磁场区域后，有（）.A.定值电阻R两端的最大电压为BLsinθ2gh2

B.金属棒在水平导轨上运动时所受摩擦力越来越大

C.定值电阻R产生的焦耳热为12mgh

D.金属棒在磁场中运动的距离为2mR（2gh-μgt）B2L2sinθ（sinθ-μcosθ）

解析设金属棒进入磁场时的速度为v0，则有mgh=12mv20，求得v0=2gh.产生的电动势为E=BLv0sinθ，电路中的电流为I=E2R=BLv0sinθ2R.导体棒受到安培力为FA=BIL，对其进行受力分析，如图2所示.在竖直方向上，由平衡条件得FAcosθ+FN=mg.

当导体棒刚刚进入磁场时，其速度最大，

电动势E、电流I和电阻R两端的电压也达到最大，根据U=IR得：U=BL2ghsinθ2，故A选项正确.

在水平导轨上，金属棒做减速运动，

电动势E、电流I以及安培力FA均随之减小.随着FA的减小，FN必须增大，根据摩擦力的计算公式f=μFN，摩擦力f也将逐渐增大，故B选项正确.

在无摩擦的理想情况下，由能量守恒定律可得Q热=mgh.定值电阻R产生的焦耳热为QR=12Q热=12mgh.考虑到水平导轨存在摩擦，定值电阻R产生的焦耳热小于12mgh.故C选项错误.

金属棒运动过程中，以水平向右方向为正方向，根据动量定理有-μ（mg-FAcosθ）t-FAsinθ·t=0-mv0；金属棒在磁场中的运动距离

x=v-t.联立两个方程解得x=2mR（2gh-μgt）B2L2sinθ（sinθ-μcosθ）.故选项D正确.

点评在本题中，金属棒刚进入磁场时，速度达到最大值，此时产生的感应电动势和定值电阻两端的电压也达到峰值.学生可以通过动量定理结合运动学公式来求解金属棒在磁场中的运动位移[1].

2电动式——a逐渐减小的加速运动

在电动型问题中，导体棒经历一个加速度逐渐减小的加速过程后，最终保持匀速运动状态，电流可能为零或保持恒定.在电路中，导体棒的运动又产生反电动势.安培力作为推动力，随着速度的降低而减小.速度为零时，反电动势为零，电流、安培力和加速度达到最大.

例2电磁炮是一种新型武器，其工作原理是利用电磁力对弹体进行加速.在某实验中，一组研究者使用图3所示的设备来模拟电磁炮的工作原理.导轨间存在竖直向上的匀强磁场，间距为0.1 m，磁感应强度为0.5 T.导轨左端连接的电池电动势为1.5 V，内阻为0.5 Ω.金属杆ab长度为0.1 m，电阻为0.1 Ω，静止放置在导轨上.当开关S闭合后，杆ab开始向右移动.在运动过程中，杆ab受到的恒定阻力为0.05 N，该阻力始终与导轨垂直且保持良好的接触.导轨电阻不计，可以推断杆ab（）.

A.先做匀加速直线运动，后做匀速直线运动

B.速度最大值为12 m/s

C.ab两端的电压始终保持0.25 V

D.达到最大速度时，ab两端的电压为1 V

解析在接通电源的瞬间，安培力大于阻力，导体棒向右加速运动，产生的感应电动势E′=BLv也随之增大.电流强度逐渐减小，安培力也随之减小，加速度也逐渐减小，当安培力和阻力相等时，速率达到最大值，此时加速度为零.故选项A错误.

设最大速度为vm，导体棒受力平衡，则有：BIL=f，解得I=0.050.5×0.1 A=1 A，则I=E-E′R+r，解得：E′=0.9 V，根据E′=BLvm解得：vm=0.90.5×0.1 m/s=18 m/s.故选项B错误.

由于杆做变加速运动，安培力变化、电流强度变化，则ab两端的电压发生变化.故选项C错误.

达到最大速度时，ab两端的电压为U=E-Ir=1 V.故选项D正确.

点评在求解电磁感应问题时，学生可以尝试采取两种思路：一是从力的角度出发，利用牛顿第二定律或力的平衡条件建立方程；二是从能量的角度出发，分析电磁感应现象中的能量转换问题，依据动能定理和功能关系等建立方程以解决问题.

3发电式——a逐渐减小的加速运动

在发电式问题中，导体棒先是做加速度逐渐减小的加速运动，最终保持匀速状态，且电流保持恒定.当导体棒的速度为零时，加速度最大；当导体棒的加速度为零时，速度达到最大.

例3如图4所示，间距为L的MN、PQ的平行金属导轨与水平面夹角为θ.N、Q之间接有一个电阻R.匀强磁场磁感应强度为B，方向垂直于导轨平面向上.ab处放置着质量为m、电阻为r的金属棒，其他电阻忽略不计.金属棒由静止状态开始沿导轨向下运动，与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为μ，到cd处的速度为v，之后速度保持恒定.cd与ab之间的距离为s（重力加速度为g）.下列说法正确的是（）.

A.金属棒到达cd位置之前沿导轨匀加速下滑

B.金属棒达到cd处的速度v=mgsinθ-μmgcosθB2L2（R+r）

C.金属棒从位置ab运动到cd的过程中，电路中产生的焦耳热以及摩擦生热之和等于金属杆机械能的减小量

D.金属棒从位置ab运动到cd的过程中，电阻R产生的热量Q=mgs·sinθ-12mv2-μmgs·cosθ

解析感应电动势E=BLv，感应电流I=ER+r，安培力F=B2L2vR+r.金属棒到达cd位置之前，有mgsinθ-μmgcosθ-F=ma，解得a=gsinθ-μgcosθ-B2L2vm（R+r），金属棒在到达cd位置前做加速度减小的加速运动.故选项A错误.

金属棒到达cd位置后做匀速直线运动，由平衡条件得：mgsinθ-μmgcosθ-F=0，解得金属棒达到cd处的速度大小v=mg（sinθ-μcosθ）（R+r）B2L2.故选项B正确.

金属棒从位置ab移动到cd的整个过程中，根据能量守恒定律，电路中产生的焦耳热与由摩擦产生的热量之和等于金属杆机械能的减小量.故选项C正确.

金属棒从位置ab运动到cd的过程中，设回路产生的总焦耳热为Q总，由能量守恒定律得：mgs·sinθ=12mv2+μmgs·cosθ+Q总，电阻R产生的焦耳热Q=RR+rQ总，解得Q=RR+r（mgs·sinθ-12mv2-μmgs·cosθ）.故选项D错误.

点评学生首先需要明确金属棒的运动轨迹，应用牛顿第二定律计算加速度，判断金属棒的运动性质，利用力的平衡条件求出金属棒到达cd处的速度，再应用安培力公式、平衡条件、能量守恒定律解题[2].

4结束语

学生在解决不包含电容器的单杆导轨问题时，应从电学、力电、功能等多个角度进行综合分析：①通过电学角度识别产生电磁感应的导体部分，计算感应电动势，确定电流方向，并分析电路结构；②从电学、力学角度分析闭合回路中磁通量的变化，计算导体棒产生的感应电动势、感应电流和安培力，分析合外力、加速度和速度变化，直至导体棒达到稳定运动状态；③从功能角度考虑电磁感应过程中能量的转化，以及外力克服安培力做功时其他形式的能转化为电能，反之亦然；④结合动量定理与微元法，建立力、时间、速度关系，从牛顿第二定律与微元法的视角，建立力、时间、位移之间的关系.

参考文献：［1］

唐武建.中学物理双棒模型规律及其习题教学研究[D].南宁：广西师范大学，2022.

[2]张双有.透析电磁感应“单杆+倾斜导轨”模型的七大问题 [J].数理化学习（高中版），2022（03）：51-53.

［责任编辑：李璟］