浅析高考数学新结构卷中的构造函数问题

摘要：函数是高中数学的重要内容，它要求学生具备较强的综合能力，考查了学生直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.文章针对高中数学解题中如何有效应用构造函数法作探讨， 并罗列部分实例， 便于学生灵活应对新高考中的函数问题.

关键词：高中数学；构造函数；解题应用

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）28-0079-03

2024年九省联考数学试卷首次采用19题的新题型试卷， 新结构卷进一步加大解答题比重， 增加思维量， 第19题涉及数论、竞赛等高等数学背景， 从而增加区分度， 更好地服务于选才.原先的导数压轴题前置， 这也意味着以导数为基点的函数问题更需要引起一线教师和学生的注意， 它将不再是高不可攀的难题， 而是能检测学生知识掌握情况的中档题甚至是基础题.

1以切线为背景的构造函数问题

例1已知函数f（x）=ex-1，g（x）=ax2， 若总存在两条不同的直线与函数y=f（x）， y=g（x）图象均相切， 则实数a的取值范围是.

解析由题意可知：a≠0.设函数f（x）=ex-1图象上的切点坐标为（x1，ex1-1）， 函数g（x）=ax2图象上的切点坐标为（x2，ax22）， 且f ′（x）=ex-1， g′（x）=2ax， 则公切线的斜率ex1-1=2ax2， 可得x2=ex1-12a.

则公切线方程为y-ex1-1=ex1-1（x-x1）.

代入（x2，ax22），得ax22-ex1-1=ex1-1（x2-x1）.

代入x2=ex1-12a可得

a（ex1-12a）2-ex1-1=ex1-1（ex1-12a-x1）.

skddsyjf8bJIiMDOA8qg1w==整理，得14a=x1-1ex1-1.令t=x1-1， 则14a=tet.

若总存在两条不同的直线与函数y=f（x）， y=g（x）图象均相切， 则方程14a=tet有两个不同的实根， 设h（x）=xex， 则h′（x）=1-xex.

令h′（x）>0， 解得x<1；令h′（x）<0， 解得x>1.则h（x）在（-∞，1）单调递增， 在（1，+∞）单调递减， 可得h（x）≤h（1）=1e， 且当x趋近于-∞时， h（x）趋近于-∞；当x趋近于+∞时， h（x）趋近于0， 可得0<14a<1e， 解得a>e4.

故实数a的取值范围为（e4，+∞）.

反思涉及公切线问题一般先设切点坐标， 根据切线相同得到方程组， 将双变量方程转化为单变量方程， 再参变分离， 构造新函数， 转化为函数的交点问题， 即可求出参数的取值范围.

2构造函数处理不等关系

例2设a=ln1.01，b=1101，c=tan0.01，则（）.

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

解析令f（x）=tanx-x（0<x<π2）， 则f ′（x）=1cos2x-1=1-cos2xcos2x=tan2x>0在区间（0，π2）上恒成立.即f（x）=tanx-x在区间（0，π2）上单调递增.故f（x）>f（0）=0.即tanx>x.

故c=tan0.01>0.01=1100>1101=b.

令g（x）=x-ln（1+x）（x>0）， 则g′（x）=1-11+x=x1+x>0在区间（0，+∞）上恒成立，即g（x）=x-ln（1+x）在区间（0，+∞）上单调递增.故g（x）>g（0）=0.即x>ln（x+1）（x>0）.故0.01>ln（0.01+1）=ln1.01=a.故c>a.

令h（x）=lnx+1x-1（x>1）， 则h′（x）=1x-1x2=x-1x2>0在区间（1，+∞）上恒成立.即h（x）=lnx+1x-1在区间（1，+∞）上单调递增.故h（x）>h（1）=0.即lnx>1-1x.故a=ln1.01>1-11.01=1101=b.故c>a>b.故选D.

反思通过构造函数比较大小， 利用导数与函数的单调性间的关系， 分别求出函数的单调区间， 利用单调性即可比较出函数值的大小， 从而求出结果.注意常见切线放缩不等式和泰勒展开公式的运用可以加快判断[1].

3构造函数解决最值问题

例3已知正四棱锥P-ABCD的顶点均在球O的表面上.若正四棱锥的体积为1， 则球O体积的最小值为.

解析设球O的半径为R， 正四棱锥的高、底面外接圆的半径分别为h， r.如图1， 球心在正四棱锥内时， 由OO21+O1B2=OB2， 可得（h-R）2+r2=R2.

即h2-2Rh+r2=0.①

球心在正四棱锥外时， 亦能得到①式.

又正四棱锥的体积为13（2r2）h=1， 则r2=32h.

代入①式可得R=h2+34h2.

通过对关于h的函数R（h）求导，即R′（h）=12-32h3，易得函数R（h）在（0，33）单调递减， 在（33，+∞）单调递增， 则R（h）min=R（33）=3334.

从而， 球O的体积的最小值为43πR3=2716π.

反思处理导数应用题的关键是分析实际问题中各个量之间的关系， 正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x， 把实际问题转化为数学问题， 列出函数关系式y＝f（x）；从问题的实际意义去考虑， 舍去没有实际意义的自变量的取值范围；从而使用导数法求出函数的最值；根据问题的实际意义给出正确的答案.

4构造函数处理恒成立与能成立问题

例4当x>0时， ae2x≥lnxaex恒成立， 则a的取值范围为.

解析由题意， 当x>0时， ae2x≥lnxaex恒成立.

故ae2x≥lnx-lna-x在（0，+∞）上恒成立， 即elna+2x+lna+2x≥elnx+lnx在（0，+∞）上恒成立.

令f（x）=ex+x， 可得f ′（x）=ex+1>0.

故f（x）在（0，+∞）上单调递增.

故lna+2x≥lnx在（0，+∞）上恒成立.

即lna≥lnx-2x在（0，+∞）上恒成立.

令g（x）=lnx-2x， 可得g′（x）=1x-2=1-2xx.

当x∈（0，12）时， g′（x）>0， g（x）单调递增；当x∈（12，+∞）时， g′（x）<0， g（x）单调递减， 故g（x）≤g（12）=ln12-1=ln12e，故lna≥ln12e，解得a≥12e.

对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：①通常要构造新函数， 利用导数研究函数的单调性， 求出最值， 从而求出参数的取值范围; ②利用可分离变量， 构造新函数， 直接把问题转化为函数的最值问题;③根据恒成立或有解求解参数的取值时， 一般涉及分离参数法， 但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况， 若参变分离不易求解问题， 就要考虑利用分类讨论法和放缩法， 注意恒成立与存在性问题的区别.5构造函数解决零点问题

利用函数性质研究函数零点， 主要是根据函数的单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数， 此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件.根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”， 即通过函数图象与x轴的交点个数， 或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件， 进而求得参数的取值范围， 解决问题的步骤是“先形后数”.

例5若函数f（x）=ex-ax2-x有两个不同的极值点， 则实数a的取值范围为.

解析由题意得f ′（x）=ex-2ax-1有两个变号零O8nszsPVzmEvaJv8PKRurN9e+VO6VnRKJDYVCDUbHI8=点， 令h（x）=ex-2ax-1， 定义域为R， 则h′（x）=ex-2a.

当a≤0时， h′（x）>0恒成立， h（x）在R上单调递增， 不会有两个零点， 舍去.

当a>0时， 令h′（x）>0，得x>ln2a， 令h′（x）<0，得x<ln2a， 故h（x）在（-∞，ln2a）上单调递减， 在（ln2a，+∞）上单调递增， 故h（x）在x=ln2a处取得极小值， 也是最小值.

则h（ln2a）<0， 即2a-2aln2a-1<0.

令g（a）=2a-2aln2a-1， a>0， 则

g′（a）=2-2ln2a-2=-2ln2a.

令g′（a）>0得0<a<12， 令g′（a）<0得a>12，则g（a）在（0，12）上单调递增， 在（12，+∞）上单调递减， 故g（a）=2a-2aln2a-1在a=12处取得极大值， 也是最大值.

又g（12）=0， 故2a-2aln2a-1<0的解集为（0，12）∪（12，+∞）.

此时当x趋向于负无穷时， h（x）趋向于正无穷， 当x趋向于正无穷时， h（x）趋向于正无穷，满足h（x）=ex-2ax-1有2个变号零点.

6结束语

由此可见， 虽然新结构试卷对试题进行较大的调整， 但构造函数并应用导数解决与最值和单调性的相关问题依然是高考中的重点和难点.只有在平时训练中不断积累总结， 才能更快地适应新高考模式.

参考文献：

［1］

王勇.高中数学解题中构造函数的有效应用[J].数理化解题研究，2023（31）：50-52.

［责任编辑：李璟］