基于高考题分析高中数学解题的审题技巧

摘要：通过对湘教版高中数学教材中的典型高考题的分析，总结出了一些有效的审题技巧，帮助学生在解题过程中更加准确地理解和应用所学知识.

关键词：高考；题目分析；高中数学；解题；审题技巧

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）28-0076-03

审题技巧作为数学解题的首要环节，在高考中发挥着至关重要的作用，它是指考生在解题前，通过阅读和理解题目，分析题目中的关键信息，从而确定解题思路和方法的能力.对于数学而言，审题不仅要求考生准确捕捉题目中的数学概念和模型，还需要他们通过逻辑推理和分析，将实际问题转化为数学问题，并运用所学的数学知识进行解答.然而，在实际的教学和学习过程中，我们不难发现，许多学生在数学解题时常常因为审题不清或误解题意而导致解题方向错误或无法得出正确答案，这不仅影响了学生的考试成绩，更在一定程度上阻碍了他们数学思维和解题能力的提升[1].因此，本研究旨在通过分析高考数学题目的特点，结合实际案例，探讨数学解题过程中的审题技巧.

1准确捕捉题目中的核心信息

解高中数学题时，准确捕捉题目中的核心信息是解题的基石.要仔细阅读题目，逐句分析，理解每个条件和要求；标记出关键词和关键信息，这有助于快速定位和回顾重要内容；注意识别题目类型和隐含条件，这能够指导解题方向和策略；通过验证答案和回顾解题过程，确保没有遗漏关键信息[2].

例1已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为.

分析从题目中可以识别出关键词：双曲线、离心率和渐近线方程.我们知道双曲线的离心率公式为e=ca.题目给出离心率为2，所以我们可以得到c=2a.又因为双曲线的性质有c2=a2+b2，通过这两个信息，我们可以找到b与a的关系.双曲线的渐近线方程的一般形式是y=±bxa.因此，我们需要找到b和a的具体值或它们之间的关系.

解析由于e=ca=2，得到c=2a.

又因为c2=a2+b2，代入c=2a得到4a2=a2+b2，解得b2=3a2，即b=3a.

因此，双曲线C的渐近线方程为y=±3x.

2理解题目背后的数学概念或模型

审题时，我们需要识别题目中涉及的核心数学概念，例如函数、几何图形、概率等.根据这些概念的定义和性质，思考它们可能形成的数学模型或结构.通过分析题目中的条件和要求，确定适用的数学定理、公式或方法.最后，将这些数学概念和模型整合起来，形成解题的整体思路[3].

例2（2021年全国Ⅰ卷）设F1，F2为双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的两个焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2=90°，若△PF1F2的面积为2ab，则双曲线的离心率为.

分析要明确双曲线的焦点到曲线上任意一点的距离之差的绝对值是常数，这个常数是2a.题目中给出∠F1PF2=90°，以及△PF1F2的面积为2ab，这提示我们可以使用三角形的面积公式来求解.

解析设|PF1|=m，|PF2|=n，由于∠F1PF2=90°，根据勾股定理，有

m2+n2=4c2.①

又因为△PF1F2的面积为2ab，根据三角形面积公式，有12mn=2ab，即

mn=4ab.②

由于|m-n|=2a，所以（m-n）2=4a2.

即m2+n2-2mn=4a2.③

将①②代入③，得到4c2-2×4ab=4a2.

化简，得c2-2ab=a2.

由双曲线的性质，得c2=a2+b2，代入上式，得a2+b2-2ab=a2，化简，得b2=2ab.

进一步得到b=2a.

代入离心率的公式e=ca，得到

e=b2+a2a2=a2+4a2a2=5.

3分析题目中的逻辑关系

分析题目中的逻辑关系是高中数学解题中的核心技巧.审题时，先仔细阅读题目，明确题目的已知条件和需要求解的结论.通过逻辑推理，分析条件与结论之间的内在关联，理解它们是如何相互作用的，这通常涉及识别条件之间的等价关系、因果关系、充要条件等.还要注意挖掘题目中隐含的条件和信息，这些往往对解题起到关键作用.

例3（2022年全国Ⅱ卷）已知f（x）=|x-1|+|x-3|，若不等式f（x）≥|m-1|的解集为R，则实数m的取值范围是（）.

A.[2，4] B.（2，4）C.[1，5] D.（1，5）

分析题目要求不等式f（x）≥|m-1|的解集为全体实数集R，这意味着对于所有x∈R，都有

f（x）≥|m-1|.因此，我们需要分析f（x）的性质，特别是它的最小值，因为当f（x）取得最小值时，|m-1|的最大可能值就是f（x）的最小值.

解析由绝对值的性质可知，|x-1|表示点x到点1的距离，|x-3|表示点x到点3的距离.因此，f（x）表示点x到点1和点3的距离之和.这个距离之和的最小值出现在x位于点1和点3之间时，即x=2，此时f（x）min=|2-1|+|2-3|=2，接下来，我们利用这个最小值来分析不等式f（x）≥|m-1|.

由于f（x）的最小值为2，所以|m-1|≤2.

解得-2≤m-1≤2，即-1≤m≤3.

4识别题目中的陷阱和误区

在高中数学解题过程中，识别题目中的陷阱和误区是确保准确解答的关键步骤.这要求学生在审题时不仅要理解表面的文字信息，还要深入挖掘题目背后的隐藏条件和潜在要求.陷阱和误区通常隐藏在复杂的数学表达、相似的概念或容易混淆的术语中.为了避免陷入这些陷阱，学生需要细心观察、仔细分析，并善于运用已有的知识和经验进行推理和判断.

例4已知函数f（x）=sin（2x+φ）（φ∈（0，π）），若f（x）≤|f（π6）|对x∈R恒成立，则φ的取值范围是.

分析这道题目看似简单，但隐藏着陷阱.学生容易误以为f（π6）是函数f（x）的最大值或最小值，从而得出错误的结论.实际上，题目中的条件是f（x）≤|f（π6）|，这意味着f（π6）可能是函数的最大值、最小值或零点.因此，我们需要分别考虑这三种情况，并找出满足条件的φ的取值范围.

解析（1）当f（π6）是最大值时，有sin（2×π6+φ）=-1，即cosφ=1.

由于φ∈（0，π），所以φ=0（不符合题意，舍去）.

（2）当f（π6）是最小值时，有sin（2x×π6+φ）=1，即cosφ=-1.

由于φ∈（0，π），所以φ=π（不符合题意）.

（3）当f（π6）是零点时，有sin（2x×π6+φ）=0.

即2×π6+φ=kπ（k∈Z），

解得φ=kπ-π3（k∈Z）.

由于φ∈（0，π），所以φ的取值范围是（2π3，π）.

综上，φ的取值范围是[2π3，π）.

5利用题目中的特殊性质简化问题

学生需要敏锐地捕捉到题目中可能存在的特殊性质，如特定的数值、图形特征、函数特性等.这些特殊性质往往可以作为解题的突破口，帮助我们找到更简洁、更高效的解题方法.一旦识别出这些特殊性质，学生就可以利用它们来简化复杂的运算过程、减少不必要的步骤，甚至直接得出答案.例如，在求解函数问题时，如果函数具有周期性或对称性，就可以利用这些性质简化计算；在几何问题中，如果图形具有某种特殊性质（如等腰、等边、直角等），就可以利用这些性质快速找到解题思路.因此，学会利用题目中的特殊性质是高中数学解题中不可或缺的一种能力.

例5已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>

b>0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为.

分析（1）根据椭圆的定义，任意一点P到两焦点的距离之和为常数，|PF1|+|PF2|=2a；

题目中给出PF1⊥PF2，这意味着△PF1F2是一个直角三角形；

（2）在直角三角形中，可以利用勾股定理，得

|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2；

（3）椭圆的焦距c和长短轴a，b之间的关系是c2=a2-b2；

（4）可以将|PF1|+|PF2|=2a和|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2结合，通过代数运算求出|PF1|.|PF2|；

（5）利用直角三角形的面积公式S=12|PF1|×|PF2|，求出△PF1F2的面积.

解析因为C是椭圆，所以|PF1|+|PF2|=2a.

又因为PF1⊥PF2，所以△PF1F2是一个直角三角形.由勾股定理，得

|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2.④

将|PF1|+|PF2|=2a两边平方，得到

|PF1|2+2|PF1|×|PF2|+|PF2|2=4a2.⑤

⑤-④，得到2|PF1|×|PF2|=4a2-4c2.

即|PF1|×[PF2|=2a2-2c2.

所以S=12|PF1|×|PF2|=a2-c2=b2.

6结束语

综上所述，建议学生在学习和备考过程中注重培养审题技巧，不断提升解题能力，从而取得更好的成绩.审题技巧的掌握不仅在高考中具有重要意义，也对学生今后的学习和工作有着积极的影响.

参考文献：

［1］

杨宗敏.基于核心素养的高中数学解题教学策略探究[J].数理天地（高中版），2024，12（03）：42-44.

［2］ 李瑞奎.基于高考题分析高中数学解题的审题技巧[J].数理天地（高中版），2024，10（01）：56-57.

［3］ 罗贤龙.以数学学科核心素养为导向的高中数学解题教学研究[J].数理天地（高中版），2023，21（23）：84-86.

［责任编辑：李璟］