利用构造函数法求解导数不等式问题

摘要：导数不等式是微分学中的重要问题，在多个领域都有广泛的应用.文章提出了一种新的求解导数不等式的方法——构造函数法.该方法的主要步骤是首先构造适当的辅助函数，然后利用这些函数将导数不等式转化为等式问题，最后通过求解这些等式得到原不等式的解.

关键词：构造函数法;导数不等式;微分学;等式问题

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）28-0070-03

微分学在多个领域广泛应用，但导数不等式问题复杂且重要.传统求解方法如临界值法、修正牛顿法在处理简单问题时有效，但对复杂问题存在局限.本文提出构造函数法，旨在解决这一挑战.该方法通过构造辅助函数，将导数不等式转化为等式问题，进而求解原不等式.这种方法不仅提升了求解的灵活性和通用性，还为复杂问题的解决提供了新思路.在微分学和应用数学领域，构造函数法有望成为一种有效的工具，推动相关研究的深入发展.

1导数不等式及其应用

1.1导数不等式概述

导数不等式是微积分领域的关键课题，对函数行为有重要限制与估计作用，其研究历史悠久，传统方法在处理复杂问题时受限.导数不等式在最优控制、金融数学和生物建模等领域广泛应用.深入研究和创新求解方法，如构造函数法，对推动理论发展和解决实际问题至关重要[1].掌握导数不等式的理论基础并应用于实际问题，是现代科研的重要任务，这不仅能深化数学理解，还能拓展其应用领域的广泛可能性.

1.2导数不等式在微分学中的地位

导数不等式在微分学中至关重要，是验证函数性质、证明定理的有效工具.它可以确定函数单调性和极值点，常用于显性估计和极限理论.在泛函分析、偏微分方程等领域，导数不等式提供了分析工具，助力解决复杂数学问题.深入研究导数不等式及其解法，对推动数学发展和应用具有重要意义，增强了解决实际问题的能力[2].

1.3导数不等式在各领域的应用实例

导数不等式在多个领域具有广泛应用.在经济学中，用于优化生产函数和成本函数，帮助实现资源配置的最佳化.在工程学中，通过求解导数不等式，可以优化材料性能和机械设计.例如，在经济学中，导数不等式常用于分析成本函数与利润最大化问题.

例1（2023年邢台检测）2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕.冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步.当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交a元（10≤a≤13）的税收，预计当每件产品的售价定为x元（13≤x≤17）时，一年的销售量为（18-x）2万件.

（1）求该商店一年的利润f（x）（万元）与每件纪念品的售价x的函数关系式；

（2）求出f（x）的最大值Q（a）.

解析（1）由题意，预计当每件产品的售价为x元（13≤x≤17）时，一年的销售量为（18-x）2万件，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交a元（10≤a≤13），

所以商店一年的利润f（x）（万元）与售价x的函数关系式为f（x）＝（x-5-a）（18-x）2，x∈[13，17].

（2）因为f（x）＝（x-5-a）（18-x）2，x∈[13，17]，

所以f ′（x）＝（28＋2a-3x）（18-x）.

令f ′（x）＝0，解得x＝28+2a3或x＝18.

而10≤a≤13，则16≤28+2a3≤18.

①若16≤28+2a3<17，即10≤a<11.5，

当x∈［13，28＋2a3］时，f ′（x）≥0，f（x）单调递增，

当x∈［28＋2a3，17］时，f ′（x）≤0，f（x）单调递减，

所以f（x）max＝f （28＋2a3）＝427（13-a）3.

②若17≤28+2a3≤18，即11.5≤a≤13，则f ′（x）≥0，即f（x）在[13，17]上单调递增.

所以f（x）max＝f（17）＝12-a.

综上，Q（a）＝427（13-a）3，10≤a<11.5，12-a，11.5≤a≤13.

2构造函数法的原理和步骤

2.1构造函数法的概述和公式

构造函数法通过构建与原导数不等式紧密相关的辅助函数，将不等式问题转化为更易求解的等式.核心在于巧妙选取辅助函数，其需简化导数不等关系并便于计算，使复杂不等式转化为简单等式.

例2（2023年山东潍坊一模）已知函数

f（x）＝ex-1lnx，g（x）＝x2-x.

求证：当x∈（0，2）时，f（x）≤g（x）.

证明原不等式等价于ex-1lnx≤x2-x＝x（x-1）.

即lnxx≤x-1ex-1.

只需证lnxelnx≤x-1ex-1在x∈（0，2）上恒成立.

设l（x）＝xex，则l′（x）＝ex-xex（ex）2＝1-xex.

所以，当0＜x<1时，l′（x）>0，l（x）单调递增；当1＜x＜2时，l′（x）<0，l（x）单调递减，所以l（x）≤l（1）＝1e.

令t（x）＝lnx-x＋1，则t′（x）＝1x-1＝1-xx.

当0<x<1时，t′（x）>0，t（x）单调递增；当x>1时，t′（x）<0，t（x）单调递减.

所以t（x）＜t（x）max＝t（1）＝0.

所以lnx≤x-1（当且仅当x＝1时取等号），且在x∈（0，2）上有lnx<1，x-1<1，所以l（lnx）≤l（x-1）.

即lnxelnx≤x-1ex-1.

所以当x∈（0，2）时，有f（x）≤g（x）成立.

2.2构造适当的辅助函数的原则和方法

构造函数法的关键在于选择适当的辅助函数，需遵循以下原则：与原不等式密切相关，揭示关键变量与关系；具备良好的数学性质，如连续可导、单调性；计算复杂度适中，避免过度复杂；通用性强，适用于广泛问题[3].构造方法包括直接构造法、差分法和迭代法，通过分析特征、简化不等式或逐步逼近来构造.

应灵活运用这些方法，以适应不同类型的导数不等式问题，确保问题有效转化和求解.

2.3将导数不等式问题转化为等式问题

导数不等式的求解一般通过构建适当的辅助函数，将其转化为等式问题.构造函数通常具有导数特性，使得不等式形式能够转化成等式形式.求解步骤包括求出构造函数的导数，代入原不等式转化后的等式中，进行代数操作以求解未知变量.通过这种方法，原不等式问题被简化为求解一个或多个等式，可以利用标准求解方法得到不等式的解.这种转化不仅简化了求解过程，也提高了求解的准确性和效率.

3构造函数法在导数不等式中的应用与评价

3.1选取典型的导数不等式，并用构造函数法求解

为了展示构造函数法在求解导数不等式中的具体应用，我们可以考虑一个典型的导数不等式问题：ex≥x+1，这个不等式在实数范围内都成立.

为了证明这个不等式，我们可以使用构造函数法.

首先构造f（x）=ex-x-1，求导，得

f ′（x）=ddx（ex-x-1）=ex-1.

当x<0时，ex<1，所以f ′（x）=ex-1<0，即f（x）在（-∞，0）上单调递减；

当x>0时，ex>1，所以f ′（x）=ex-1>0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增.

由于f（x）在x=0处由单调递减变为单调递增，因此x=0是f（x）的极小值点.

将x=0代入f（x），得到f（0）=e0-0-1=0.

由于f（x）在x=0处取得极小值0，并且f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，因此f（x）≥0对所有x∈R都成立.即ex≥x+1对所有x∈R都成立.

通过构造函数法，我们证明了ex≥x+1这个不等式在实数范围内都成立.这种方法的关键在于通过求导判断函数的单调性，并找到可能的极值点，进而确定函数在整个定义域上的取值范围.整个过程展示了构造函数法在处理导数不等式问题时的有效性和灵活性.

3.2与传统方法比较求解准确性和复杂度

求解导数不等式时构造函数法显著优于传统方法.它简化了问题，提高了求解效率，尤其在处理复杂情况时速度更快.在准确性上，构造函数法避免了近似和简化，提供了更精确的解.在复杂度上，传统方法计算步骤多且依赖性强，而构造函数法通过清晰的构造与求解流程，大大简化了计算过程，降低了复杂度.

4结束语

本研究提出构造函数法求解导数不等式，将不等式问题转化为等式问题，通过求解等式得解.该方法高效通用，实例验证显示其优势.然而，面对导数不等式的复杂性，该方法在某些特定问题上可能存在困难.未来研究需优化方法，扩大适用范围[4].随着研究深入，构造函数法有望在更多领域和问题中发挥独特优势.

参考文献：

［1］

林琳.浅析高中数学解题中构造函数的有效应用[J].试题与研究，2024（02）：19-21.

［2］ 丁红艳，杨晓丹.构造函数法求解高考解答题中参数的范围[J].数学之友，2024（01）：73-74.

［3］ 邱嘉怡.构造函数法在比较大小试题中的应用与思考[J].数理化解题研究，2023（34）：67-69.

[4]徐世璋.构造函数，证明不等式[J].语数外学习（高中版上旬），2023（04）：58-59.

［责任编辑：李璟］