新高考中的新定义题

摘要：新定义题是新高考中常考的题型，往往以高等数学中的内容作为背景，考查学生的数学阅读能力、学习新知识的能力与逻辑思维能力.文章主要介绍以高等数学中的行列式、矩阵、初等数论、集合论等内容为背景的新定义题，并给出试题的破解策略.

关键词：新高考；压轴题；新定义题；解题策略

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）28-0067-03

2024年1月，九省联考的压轴题释放了一个信号：新高考改革卷的压轴题很有可能考查以高等数学知识作为背景的新定义题.下面笔者以高等数学中经常以新定义形式考查的内容（行列式、矩阵、初等数论、等）为例作介绍，旨在为广大读者提供对应新定义题型的思路与策略.

1以行列式为背景

例1定义二阶行列式abcd=ad-bc.已知α，λ是实常数，f（x）=λcosxsin（x-α）sin（x+α）cosx.

（1）当α=π3，λ=1时，求函数y=f（x）的单调增区间；

（2）是否存在λ，使得f（x）是与α有关的常数函数，求出所有满足条件的λ，若不存在，说明理由.

解析（1）由题意知

f（x）=λcosxsin（x-α）sin（x+α）cosx

=λcos2x-sin（x-α）sin（x+α）

=λcos2x-（cos2αsin2x-sin2αcos2x）

=（λ+sin2α）cos2x-cos2αsin2x

=λ+12cos2x+λ-cos2α2，

所以当α=π3，λ=1时，f（x）=cos2x+34.

令2x∈［-π+2kπ，2kπ］（k∈Z），则x∈［-π2+kπ，kπ］，即f（x）的单调增区间为［-π2+kπ，kπ］

（k∈Z）.

（2）由上可知f（x）=λ+12cos2x+λ-cos2α2，显然当λ+12=0时，f（x）的值与x的取值无关，所以存在λ=-1，使得f（x）是与α有关的常数函数.

点评根据二阶行列式的定义，利用三角恒等变换化简函数解析式，结合三角函数的性质计算即可.行列式虽然是线性代数里面的内容，但在高中数学的选修课本里面却有详细介绍.建议高中师生多阅读高中数学的选修课本，对大学数学的内容有个初步的认识.

2以矩阵为背景

例2（多选题）设a，b，c，d∈R，称M=abcd为二阶方阵，全体二阶方阵构成的集合记为S，定义S中的两种运算：

①M=abcd，Nxyzw，

M*N=ax+bzay+bwcx+dzcy+dw；

②设M=abcd，det（M）=ad-bc，

则下列说法正确的有（）.

A.M，N∈S，有M*N=N*M

B.M∈S，N∈S，使得（M*N）*N=M

C.M，N∈S，有det（M*N）=det（M）*det（N）

D.M，N∈S，若M*N=0000，则M=0000或N=0000

解析对于选项A，M，N∈S，取

M=abcd，N=xyzw，

则M*N=ax+bzay+bwcx+dzcy+dw，

N*M=ax+cybx+dyaz+cwbz+dw.

所以M*N≠N*M.选项A错误.

对于选项B，M∈S，取M=abcd，取N=1001，

则M*N=abcd=M.

则（M*N）*N=M*N=M.选项B正确.

对于选项C，M，N∈S，M=abcd，N=xyzw，则

M*N=ax+bzay+bwcx+dzcy+dw，

则det（M*N）=（ax+bz）（cy+dw）-（ay+bw）（cx+dz）

=adxw+bcyz-adyz-bcxw

=ad（xw-yz）-bc（xw-yz）=（ad-bc）（xw-yz）

=det（M）*det（N）.

选项C正确.

对于选项D，M，N∈S，取M=1000，N=0011，则M*N=0000.选项D错误.

综上，答案是BC.

点评利用二阶方阵的运算可判断选项A错误.取N=1001，结合二阶方阵的运算可判断选项B正确.利用②中的运算可判断选项C正确.取M=1000，N=0011，结合二阶方阵的运算可判断选项D错误.本题以线性代数中的二阶矩阵为背景，以新定义题的形式，考查二阶矩阵和二阶行列式的基本运算.

3以初等数论为背景

例3（2024年九省联考第19题）离散对数在密码学中有重要的应用.设p是素数，集合X={1，2，…，p-1}，若u，v∈X，m∈N，记uv为uv除以p的余数，um，为um除以p的余数；设a∈X，1，a，a2，，…，ap-2，两两不同，若an，=b（n∈{0，1，…，p-2}），则称n是以a为底b的离散对数，记为n=log（p）ab.

（1）若p=11，a=2，求ap-1，；

（2）对m1，m2∈0，1，…，p-2，记m1m2为m1+m2除以p-1的余数（当m1+m2能被p-1整除时，m1m2=0）.

证明：log（p）a（bc）=log（p）ablog（p）ac，其中b，c∈X；

（3）已知n=log（p）ab.对x∈X，k∈1，2，…，p-2，令y1=ak，，y2=xbk，.证明：x=y2yn（p-2），1.

解析（1）若p=11，a=2，注意到210=1 024=93×11+1，

所以ap-1，=210，=1.

（2） 记an1=an1，+m1p，an2=an2，+m2p，an1，×an2，=an1，an2，+kp，其中m1，m2，k是整数，则

an1·n2=an1.an2，+（m1an2.+m2an1.+m1m2p+k）p.

可知an1，an2，=an1·n2，.

因为1，a，a2，，…，ap-2，两两不同，所以存在i∈{0，1，…，p-2}，使得ap-1，=ai，.

即ap-1-ai=ai（ap-1-i-1）可以被p整除.

于是ap-1-i-1可以被p整除.

即ap-1-i，=1.

若i≠0，则p-1-i∈{1，2，…，p-2}，ap-1-i，≠1，因此i=0，ap-1，=1.

记n=log（p）ab，m=log（p）ac，n+m=nm+l（p-1），其中l是整数，

则bc=an，am，=an·m，=anm+l（p-1），=anm，al（p-1），=anm，.

即log（p）a（bc）=log（p）ablog（p）ac.

（3）由题设和（2）的证明知

y2=xbk，

=x（bb…bk）

=xan，an，…an，k

=xaa…ank，

yn（p-2），1=y1y1…y1n（p-2）

=ak，ak，…ak，n（p-2）

=ap-2，ap-2，…ap-2，nk，

故y2yn（p-2），1=xaa…ankap-2，ap-2，…ap-2，nk

=xap-1，ap-1，…ap-1，nk.

由（2）的证明知ap-1，=1.

所以y2yn（p-2）.1=x.

点评本题以离散数学中的离散对数为背景，考查学生的数学阅读能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.本题的关键是充分理解新定义，然后结合带余除法以及费马小定理等初等数论知识即可顺利得解.

4结束语

新高考中的新定义题，其背景不止上文的三种，也有可能涉及数学分析中的曲率、泰勒公式、隐函数的导数、拉格朗日中值定理，或者高等几何中的极点与极线、调和点列，或者线性代数中的多项式、向量空间，甚至是抽象代数中的群、环、域等[1-2].对于新高考中的新定义题，试题的解题策略是：①仔细阅读，认真审题，理解新定义的内涵；②根据新定义，将对应的知识进行再迁移[3]；③如果学有余力，可适当阅读高中数学的选修课本，了解大学数学的先修课程.

参考文献：

［1］ 李鸿昌.“斜椭圆”面积的八种求解方法[J].中学数学杂志，2023（09）：43-46.

［2］ 李鸿昌，徐章韬.关于对数平均的一个不等式的推广[J].数学通报，2023，62（08）：50-52.

［3］ 郝变军.“新定义”巧创设，新高考妙创新[J].中学数学，2023（19）：60-61.

［责任编辑：李璟］