创新数列交汇问题的破解策略

摘要：创新数列题涉及数列的单调性、数列的递推关系、数列的通项公式以及数列的前n项和等问题.文章对创新数列交汇问题进行分类解析，并给出问题的破解策略.

关键词：创新数列题；函数与导数；不等式；概率统计；破解策略

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）28-0061-03

数列的创新命题往往与函数、导数、不等式、概率统计等知识模块交汇，转化已知条件，抓住问题的本质，利用数列、函数与导数等相关知识求解此类问题是关键，有以下三个破解策略.

（1）数列性质问题.对于数列单调性或与不等式相关的问题，往往通过作差（商）寻找数列的项之间的关系，有时还需构造函数，结合导数求解.

（2）数列通项问题.对于数列通项的求解，根据已知条件，一是利用前n项和与项之间的关系，通过退（进）位作差求解；二是结合递推关系式构造等差（比）数列求解.

（3）数列前n项和问题.根据数列通项公式的结构，一般采用分组求和法、错位相减法或裂项相消法求解.

1数列与函数、导数综合

例1在数列{an}中，若存在常数t，使得an+1=a1a2a3·…·an+t（n∈N*）恒成立，则称{an}为“H（t）数列”.

（1）若cn=1+1n，试判断数列cn是否为“H（t）数列”，并说明理由.

（2）若数列{an}为“H（t）数列”，且a1=2，数列bn为等比数列，且∑ni=1a2i=an+1+log2bn-t，求数列bn的通项公式.

（3）若正项数列{an}为“H（t）数列”，且a1>1，

t>0，证明：lnan<an-1.

分析对于第（2）问，观察式子的特征，只需利用作差法，即可得an+1与bn的关系式；对于第（3）问，观察待证的不等式lnan<an-1的特征，转化为证明不等式lnx<x-1（x>1），故需构造函数，利用导数证明[1].

解析（1）数列cn不是“H（t）数列”，理由略.

（2）因为数列{an}为“H（t）数列”，

∑ni=1a2i=an+1+log2bn-t（n∈N*），

所以an+1-t=a1a2a3·…·an（n∈N*），

则∑ni=1a2i=a1a2a3·…·an+log2bn（n∈N*） .①

则∑n+1i=1a2i=a1a2a3·…·anan+1+log2bn+1（n∈N*） .②

由②-①，得

a2n+1=（an+1-1）a1a2a3·…·an+log2bn+1bn（n∈N*）.

故a2n+1=（an+1-1）（an+1-t）+log2bn+1bn（n∈N*）.

设bn的公比为q（q≠0），

故a2n+1=（an+1-1）（an+1-t）+log2q（n∈N*）.

即（t+1）an+1-（t+log2q）=0对n∈N*成立.

则t+1=0，t+log2q=0，解得t=-1，q=2.

又a1=2，a21=a1+log2b1，则b1=4.

所以bn=4×2n-1=2n+1.

（3）设函数f（x）=lnx-x+1（x>1），则

f ′（x）=1x-1=1-xx，

当x∈（1，+∞）时，f ′（x）<0，则f（x）在（1，+∞）上单调递减，且f（x）<ln1-1+1=0.

因为数列{an}为“H（t）数列”，

所以an+1-a1a2a3·…·an=t（n∈N*）.

因为a1>1，t>0，所以a2=a1+t>a1>1，

a3=a1·a2+t>a1·a2>1.

以此类推，可得n∈N*，an>1.所以f（an）<0，即lnan-an+1<0，所以lnan<an-1得证.

2数列与不等式综合

例2物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”.若函数f（x）的导函数为f ′（x），且满足f（xn）=（xn-xn+1）f ′（xn），则称数列{xn}为“牛顿数列”.函数f（x）=x4（x≥0）的图象在点（x1，f（x1））（x1=1）处的切线与x轴的交点为（x2，0），用x2代替x1重复上述过程得到x3，一直下去，得到数列{xn}.

（1）求数列{xn}的通项公式；

（2）若数列{n·xn}的前n项和为Sn，且n∈N*，使得Sn≤16-λ（56）n成立，求整数λ的最大值.（参考数据：0.94=0.656 1，0.95≈0.590 5，0.96≈0.531 4，0.97≈0.478 3）

分析（1）先利用导数的几何意义求出切线方程，再利用等比数列的通项公式进行求解；（2）利用错位相减法进行求解.

解析（1）xn=（34）n-1.过程略.

（2）令bn=n·xn=n·（34）n-1，则

Sn=1·（34）0+2·（34）1+3·（34）2+…+n·（34）n-1，

34Sn=1·（34）1+2·（34）2+3·（34）3+…+

n·（34）n，

两式相减，得

14Sn=1+（34）1+（34）2+…+（34）n-1-n·（34）n.

化简，得Sn=16-（16+4n）（34）n.

故16-（16+4n）（34）n≤16-λ（56）n.

即λ≤（16+4n）（910）n.

令dn=（16+4n）（910）n，则

dn+1-dn=（-2n+105）（910）n.

“n∈N*，使得Sn≤16-λ（56）n成立”等价于λ≤（dn）max.

当n≤5时，dn+1-dn≥0，即

d6=d5>d4>d3>d2>d1；

当n≥6时，dn+1-dn<0，即

d6>d7>d8>…，

所以（dn）max=d5=d6=36·（910）5≈21.26.

从而λ的最大值为21.

3数列与概率统计综合

例3如图1，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作A，B1，P，B2，C1，Q1，C2，Q，C3.一个机器人从区域P出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域（有公共边的区域），且到不同相邻区域的概率相等[2].

（1）分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域；

（2）求经过2秒机器人位于区域Q的概率；

（3）求经过n秒机器人位于区域Q的概率.

分析（1）结合题意观察图形即可得；（2）经过2秒机器人位于区域Q，则必先经过B2，计算P→B2及B2→Q的概率即可得；（3）先研究机器人的行进路径，得到当n为奇数时，其不可能位于P，Q1，Q，当n为偶数时，其只可能位于P或Q1或Q，结合图形的对称性和第（2）问结论求解.

解析（1）经过2秒机器人可能位于的区域为P，Q1，Q，经过3秒机器人可能位于的区域为A，B1，B2，C1，C2，C3.

（2）若经过2秒机器人位于区域Q，则经过1秒时，机器人必定位于B2，

P有三个相邻区域，故由P→B2的概率为p1=13，

B2有两个相邻区域，故由B2→Q的概率为p2=12.则经过 2 秒机器人位于区域Q的概率为P1P2=13×12=16.

（3）机器人的运动路径为P→A∪B1∪B2→P∪Q1∪Q→A∪B1∪B2∪G1∪C2∪C3→P∪Q1∪Q→A∪B1∪B2∪C1∪C2∪C3→P∪Q1∪Q→…，设经过n秒机器人位于区域Q的概率Pn，则当n为奇数时，Pn=0；

当n为偶数时，由（2）知，P2=16，由对称性可知，经过n秒机器人位于区域Q的概率与位于区域Q1的概率相等，亦为Pn，故经过n秒机器人位于区域P的概率为1-2Pn.

若第n秒机器人位于区域P，则第n+2秒机器人位于区域Q的概率为16，

若第n秒机器人位于区域Q1，则第n+2秒机器人位于区域Q的概率为16，

若第n秒机器人位于区域Q，则第n+2秒机器人位于区域Q的概率为（1-2×16）=23.

则Pn+2=23Pn+16Pn+16（1-2Pn）

=16+12Pn.

则Pn+2-13=12（Pn-13）.

则Pn+2-1/3Pn-1/3=12.

故Pn-1/3Pn-2-1/3=12，Pn-2-1/3Pn-4-1/3=12，…，P4-1/3P2-1/3=12.

因此，Pn-1/3Pn-2-1/3×Pn-2-1/3Pn-4-1/3×…×P4-1/3P2-1/3×（P2-13）=Pn-13=（12）n2×（16-13）=-13（12）n2.

即Pn=13-13（12）n2.

综上所述，当n为奇数时，经过n秒机器人位于区域Q的概率为0；当n为偶数时，经过n秒机器人位于区域Q的概率为13-13（12）n2.

4结束语

数列与函数的综合问题，要学会根据题干结构构造函数，利用导数知识求解；数列与不等式综合问题，要灵活利用数列的单调性、放缩法等求解；数列与概率统计交汇问题，往往以概率、统计为命题情景，同时考查等差数列、等比数列的判定及其前n项和，解题时要正确把握题中所涉及的事件、递推式等知识.

参考文献：

［1］

李鸿昌.一道高考概率题的背景、推广与变式[J].中学数学研究（华南师范大学版），2024（01）：8-10.

［2］ 李鸿昌.高考题的高数探源与初等解法[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2022.

［责任编辑：李璟］