解析与数列奇偶项相关的问题

摘要：高考数学对数列的考查主要是围绕数列递推关系进行命题，其中与数列奇偶项相关的问题主要是求数列的通项公式和前n项和.文章结合具体例题，解析与数列奇偶项相关的问题.

关键词：数列；通项公式；数列求和；奇偶项；分类讨论

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）28-0058-03

在高考试题或者模拟试题中，经常出现与数列奇偶项相关的问题.此类问题主要考查分类讨论思想、逻辑推理能力和数学运算能力.下面先给出与“隔项成等差”数列有关的三个模型，然后结合具体例子谈谈与数列奇偶项有关的问题的解题策略.

1“隔项成等差”的三种模型

当题干所给条件中，若出现符号数列{（-1）n}或出现关于n的三角函数时，常考虑分奇偶项讨论.在数列{an}中，若任意n∈N*，存在t∈N*且t≥2，都有an+t-an=d（d 为常数），则称数列{an}是“隔项成等差”数列.

类型1an+an+1+…+an+t=An+B.

由an+an+1+…+an+t=An+B，an-1+an+…+an+t-1=An-A+B，

两式相减，得an+t-an-1=A（n≥2）.

这就得到“隔项成等差”数列{an}.特别地，当A=0时，数列{an}为周期数列.

类型2Sn+Sn+1+…+Sn+t=An2+Bn+C.

由Sn+Sn+1+…+Sn+t=An2+Bn+C，Sn-1+Sn+…+Sn+t-1=A（n-1）2+B（n-1）+C，

两式相减，得

an+an+1+…+an+t=2An-A+B（n≥2）.

这样，类型2就转化为类型1了，所不同的是其不包含首项a1.

类型3an+1+（-1）nan=An+B.

对n赋值，有a2n+1+a2n=2An+B，a2n-a2n-EUqWnWEdHc8UVANs5k0VWz5DPetJaizIBZEEoBaQ8Tw=1=2An-A+B，a2n+2-a2n+1=2An+A+B，

通过加减，得a2n+1+a2n-1=A，a2n+a2n+2=4An+A+2B.

从而a2n-2+a2n=4An-3A+2B.

所以a2n+2-a2n-2=4A.

这就得到“隔项成等差”数列.

2与数列奇偶项相关的求通项问题

例1[1] 数列{an}满足an+2+（-1）nan=3n-1，前16项和为540，则a1=.

解析因为an+2+（-1）nan=3n-1，当n为奇数时，an+2=an+3n-1；当n为偶数时，an+2+an=3n-1.

设数列{an}的前n项和为Sn，则

S16=a1+a2+a3+a4+…+a16

=a1+a3+a5+…+a15+（a2+a4）+…（a14+a16）

=a1+（a1+2）+（a1+10）+（a1+24）+（a1+44）+（a1+70）+（a1+102）+（a1+140）+（5+17+29+41）=8a1+392+92=8a1+484=540.

所以a1=7.

点评因为题干所给的递推关系中含有

（-1）n，故考虑分奇偶项来求解.

例2数列{an}满足a1=0，a2=2，an+2=（1+cos2nπ2）an+4sin2nπ2，n=1，2，3，….求a3，a4，并求数列{an}的通项公式.

解析因为a1=0，a2=2，所以

a3=（1+cos2π2）a1+4sin2π2=a1+4=4，

a4=（1+cos2π）a2+4sin2π=2a2=4.

一般地，当n=2k-1（k∈N*）时，

a2k+1=［1+cos2（2k-1）π2］a2k-1+4sin22k-12π=a2k-1+4，

即a2k+1-a2k-1=4.

所以数列a2k-1是首项为0、公差为4的等差数列.因此a2k-1=4（k-1）.

当n=2k（k∈N*）时，

a2k+2=（1+cos22kπ2）a2k+4sin22k2π=2a2k，

所以数列a2k是首项为2、公比为2的等比数列.因此a2k=2k.

故数列{an}的通项公式为

an=2（n-1），n=2k-1（k∈N*），2n2，n=2k（k∈N*）.

点评由a1，a2以及递推公式可求出a3和a4；当n=2k-1（k∈N*）时，根据等差数列的通项公式可得a2k-1=4（k-1），当n=2k（k∈N*）时，根据等比数列的通项公式可得a2k=2k.

例3在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+2-an=1+（-1）n（n∈N*），则an=.

解析当n为奇数时，an+2-an=0；

当n为偶数时，an+2-an=2，

所以{an}的一个通项公式为

an=1，n=2k-1（k∈N*），n，n=2k（k∈N*）.

点评因为递推关系中含有（-1）n，故需要分n为奇数和n为偶数来求数列的通项公式.

3与数列奇偶项相关的求和问题

数列的奇偶项问题的处理类似分段函数的处理，分别对奇数项和偶数项进行处理.如，对于通项公式分奇偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出S2k，再利用S2k-1=S2k-a2k求S2k-1.

例4若数列{an}的通项公式an=（-1）n·2n+1n2+n，则它的前n项和Sn=.

解析由题意an=（-1）n2n+1n2+n=（-1）n·n+（n+1）n（n+1）=（-1）n（1n+1+1n），

故Sn=-（1+12）+（12+13）-（13+14）+…+

（-1）n（1n+1n+1）.

当n为偶数时，Sn=-1+1n+1，

当n为奇数时，Sn=-1-1n+1.

综上所述，Sn=-1+（-1）nn+1.

点评将通项公式an=（-1）n2n+1n2+n化为an=（-1）n（1n+1+1n），利用裂项求和的方法，讨论n的奇偶性进行求和.

例5已知公差不为零的等差数列{an}中，a1=1，且a2，a5，a14成等比数列，{an}的前n项和为Sn，bn=（-1）nSn，则an=，数列bn的前n项和Tn=.

解析设等差数列{an}的公差为d（d≠0），则由a2，a5，a14成等比数列得a25=a2a14，即（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得d＝2.

则an=a1+（n-1）d=2n-1，

Sn=na1+n（n-1）2d=n2.

所以bn=（-1）nn2.

当n为偶数时，

Tn=-S1+S2-S3+S4-…-Sn-1+Sn

=-12+22-32+42-…-（n-1）2+n2

=3+7+…+（2n-1）

=n（n+1）2，

当n为大于1的奇数时，

Tn=-S1+S2-S3+S4-…+Sn-1-Sn

=-12+22-32+42-…-（n-2）2+（n-1）2-n2

=3+7+…+（2n-3）-n2

=-n（n+1）2，

当n＝1时，也符合上式.

综上所述，Tn=（-1）n·n（n+1）2.

点评先通过条件列关于公差为d的方程，则可求出an，求出Sn，代入bn=（-1）nSn，分奇偶讨论求数列bn的前n项和.

例6数列{an}的通项公式为an=ncosnπ2，其前n项和为Sn，则S2021等于（）.

A.-1 010B.2 018C.505D.1 010

解析因为an=ncosnπ2，

所以a2k-1=（2k-1）cos（2k-1）π2=0，k∈N*，

a2k=2kcoskπ=2k（-1）k.

则S2 021=a2+a4+…+a2 020

=2［（2-1）+（4-3）+…+（1 010-1 009）］

=1 010.

故选D.

点评本题考查了三角函数的周期性、数列求和，考查了分类讨论、推理能力与计算能力.

4结束语

与奇偶项有关的数列通项问题与求和问题，主要考查学生的转化与化归思想、分类讨论思想，对学生的逻辑推理能力与数学运算能力提出了较高的要求.这类试题往往也会与其他数学内容相结合来考查，比如三角函数、函数等，要求一线教师在复习数列过程中要关注数列的函数本质，并以此为切入点搭建数列与高中数学其他知识的桥梁.在高考备考复习中，通过适度拓展，培养学生的数学思维，提高学生的学习能力，发展学生的数学学科核心素养，从而帮助其形成分析问题和解决问题的能力.

参考文献：

［1］

李鸿昌.高考题的高数探源与初等解法[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2022.

［责任编辑：李璟］