立体几何中的探索性问题

摘要：立体几何解答题中的探索性问题是高考常考的题型.文章对立体几何中的探索性问题按题型进行分类，并结合具体例子给出相应题型的解题策略.

关键词：立体几何；动点；存在；探索性问题；解题策略

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）28-0052-03

立体几何的解答题中，经常出现探索性问题，即问是否存在某个点，使得某个条件成立的问题.解决这类问题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量合理表示出动点的坐标，然后根据题目所给的条件求解[1].

1线线角问题

例1如图1所示，已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为2823，其中AB=2A1B1=4.

（1）求侧棱AA1与底面ABCD所成的角；

（2）在线段CC1上是否存在一点P，使得BP⊥A1D？若存在请确定点P的位置；若不存在，请说明理由.

解析（1）线面角θ=π4.过程略.

（2）如图2所示，连接BD，B1D1，设正四棱台上下底面的中心分别为O1，O，以O为原点，OA，OB，OO1分别为x，y，z轴建立如图2所示空间直角坐标系.

则A1（2，0，2），D（0，-22，0），B（0，22，0）.

设线段CC1上存在一点P，满足C1P=λC1C（0≤λ≤1），

C1（-2，0，2），C（22，0，0），C1C=（32，0，-2），C1P=（32λ，0，-2λ），

则BP=BC1+C1P=（-2，-22，2）+（32λ，

0，-2λ）=（32λ-2，-22，2-2λ），

A1D=（-2，-22，-2）.

若BP⊥A1D，则BP·A1D=0.

即-2（32λ-2）+8-2（2-2λ）=0.

解得λ=2，舍去.

故在线段CC1上不存在一点P，使得BP⊥A1D.

点评建立空间直角坐标系，利用向量法确定是否存在符合题意的点P.这里没有直接设点P的坐标，而是设C1P=λC1C（0≤λ≤1），这是因为如果直接设点P的坐标，就会出现三个变量，计算繁琐.而设成C1P=λC1C（0≤λ≤1），就只有一个变量，简化了运算.在下面的例题中，同样用到了这种设点的方法.

2线面角问题

例2如图3，在梯形ABCD中，∠ADC=∠BCD=90°，AD=2BC=2CD=2，E为AD的中点，将DEC沿EC折起至△PEC的位置，且PB=1.

（1）求证：平面PAE⊥平面PBC；

（2）判断在线段AP上是否存在点Q，使得直线BQ与平面PEC所成角的正弦值为36.若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由.

解析（2）取BE的中点O，连接OP.

由（1）知PE⊥平面PBC，故PE⊥BC.

又BE⊥BC，所以BC⊥平面PBE.

故BC⊥OP.

又PB=PE=1，所以OP⊥BE.

又BE∩BC=B，BE，BC平面ABCE，

所以OP⊥平面ABCE.

如图4，以OB，OP所在直线分别为y，z轴，建立空间直角坐标系.

则A（1，-22，0），B（0，22，0），E（0，-22，0），C（-1，22，0），P（0，0，22）.

设AQ=λAP（0≤λ≤1），则

BQ=（1-λ，22λ-2，22λ）.

设平面PEC的法向量为m=（x1，y1，z1），EP=（0，22，22），CP=（1，-22，22），

则m·EP=0，m·CP=0，

故y1+z1=0，x1-22y1+22z1=0.

取y1=1，则z1=-1，x1=2，则m=（2，1，-1）.

设直线BQ与平面PEC夹角为α，

则sinα=|cos〈BQ，m〉|=|BQ·m||BQ|·|m|=36.

所以2λ2×2λ2-4λ+3=36.

则λ=12或λ=-32（舍去）.

即Q为线段AP的中点，此时|AQ|=22.

点评取BE的中点O，由条件证明OP⊥平面ABCE.，建立空间直角坐标系，求直线BQ的方向向量与平面PEC的法向量，结合条件列方程求出点Q的位置即可.

3面面角问题

例3如图5所示，菱形ABCD的边长为23，∠ABC=π3，将△ABD沿BD向上翻折，得到如图6所示的三棱锥A′-BCD.

（1）证明：A′C⊥BD；

（2）若A′C=3，在线段BD上是否存在点G，使得平面A′CG与平面BCD所成角的余弦值为217？若存在，求出BG；若不存在，请说明理由.

解析（2）因为∠ABC=π3，

所以∠BA′D=∠BCD=2π3.

所以BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD=12+12-24cos2π3=36，解得BD=6.

所以A′O=CO=12-9=3.

所以cos∠A′OC=A′O2+CO2-A′C22A′O·CO=3+3-92×3×3=-12.

所以∠A′OC=2π3.

在平面A′OC中，作OE⊥OC，交A′C于点E，则以O为坐标原点，OC，OD，OE正方向为x，y，z轴，可建立如图7所示的空间直角坐标系.

设在线段BD上存在点G（0，m，0）（-3≤m≤3），使得平面A′CG与平面BCD所成角的余弦值为217.

因为A′O·cosπ3=32，A′O·sinπ3=32，

所以A′（-32，0，32）.

又C（3，0，0），B（0，-3，0），D（0，3，0），

所以A′C=（332，0，-32），CG=（-3，m，0）.

设平面A′CG的法向量n=（x，y，z），

则A′C·n=332x-32z=0，CG·n=-3x+my=0.

令y=3，解得x=m，z=3m.

所以n=（m，3，3m）.

因为z轴⊥平面BCD，

所以平面BCD的一个法向量l=（0，0，1）.

所以|cos〈n，l〉|=|n·l||n|·|l|=|3m|m2+3+3m2=217，解得m=±1.

当m=1时，BG=4；当m=-1时，BG=2.

所以当BG=2或4时，平面A′CG与平面BCD所成角的余弦值为217.

点评利用余弦定理可求得∠A′OC=2π3，作OE⊥OC，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，设G（0，m，0）（-3≤m≤3），由面面角的向量求法可构造方程求得m的值，由此可得结果［2］.

4结束语

综上所述，解决立体几何中的探索性问题的关键是“建系”和“设点”.建系，要求建立恰当的空间直角坐标系，原则上是让更多的点落在坐标轴上，或者方便求出点的坐标；设点，就是如何设动点的坐标，比如P是线段AB上的动点，则设成AP=λAB

（0≤λ≤1），而不是设成AP=λPB（0≤λ≤1）或者P（x，y，z）.

参考文献：

［1］

杨帆.高中立体几何“存在型”探索性问题求解策略[J].数理化解题研究，2021（34）：52-53.

［2］ 李鸿昌.点在面内的多视角证明与高观点审视：一道2020年立体几何高考题引发的探究[J].数理化解题研究，2023（22）：101-104.

［责任编辑：李璟］

已知函数的值域求参数问题的“疑、探、悟”

古小玲

摘要：给出函数的解析式和定义域求其值域，或给出函数的值域，求函数式中参数的取值范围，学生常常无从下手.文章针对高中阶段的几类函数中已知值域求参数的问题，通过寻疑、探疑、悟疑三方面进行启发式教学探讨.

关键词：函数；值域；求参数

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）28-0055-03

在复习函数这一模块时，函数性质的理解、应用是重中之重.在教学中发现学生对这些性质的逆向应用思维不够，碰到已知函数的某些性质，求函数的参数问题一筹莫展.“疑、探、悟”启发式教学着眼于调动学生的学习积极性、主动性和创造性，使他们具有获得知识技能的强烈要求和独立发表自己见解的迫切愿望，从而能融会贯通地掌握知识，提高能力，发展智力，培养学生的核心素养.下面对函数实例中已知某些函数的值域求参数的问题进行研究.

1一元二次函数已知值域求参数

例1已知函数f（x）=ax2-4ax+2a+6（a∈R）的值域为［0，+∞），求a的取值范围.

寻疑要使f（x）∈［0，+∞），大部分学生认为f（x）的图象开口向上，满足△≤0，得到a∈［0，3）.

探疑其实这里学生犯的错误是没理解清楚值域为［0，+∞）的真正含义，它是要求值域从0开始全都要取到，不能多也不能少.当△<0时，f（x）>0不满足题意，所以只有△=0时满足f（x）≥0.

解法1因为f（x）=ax2-4ax+2a+6（a∈R）的值域为［0，+∞），

所以a>0，△=0时满足f（x）≥0.

解得a=3.

解法2因为f（x）=ax2-4ax+2a+6（a∈R）

的值域为［0，+∞），开口向上，也可理解为f（x）min=f（2）=0，

解得a=3.

变式已知函数f（x）=ax2-4ax+2a+6（a∈R）的值域为（0，+∞），求a的取值范围.

解析f（x）开口向上，要使f（x）∈（0，+∞），则a>0，△<0，得到a∈（0，3）.

例2已知函数f（x）=x2+ax-2x2-x+1的值域为（-∞，2），求a的取值范围.

解析因为f（x）=x2+ax-2x2-x+1的值域为（-∞，2），所以x2+ax-2x2-x+1<2.

又因为x2-x+1=（x-12）2+34>0，

所以x∈R.

由上式可得x2+ax-2<2（x2-x+1） .

所以x2-（a+2）x+4>0在x∈R上恒成立.

所以△=［-（a+2）］2-4×4<0.

解得-6<a<2.

悟疑解决此问题的关键在于把求值域的问题和解一元二次不等式的问题联系起来，最后通过比较同解不等式的系数，列方程求出参数的值.

2含偶次根号的函数已知值域求参数

例3已知函数f（x）=ax2+4ax+a+3的值域为［0，+∞），求a的取值范围.

寻疑对这一题，学生经常是这样解答的：

因为f（x）=ax2+4ax+a+3的值域为［0，+∞）.

所以ax2+4ax+a+3≥0.

即a（x+2）2+3-3a≥0.

整理可得3-3a≤（x+2）2在定义域内恒成立.

所以3-3a≤［（x+2）2］min=0.

解得0≤a≤1.

这是错解.对偶次根式的定义域，要求是根号里的函数式的值要大于或等于0，在未知函数定义域的情况下，判定3-3a≤［（x+2）2］min=0是错的.

探疑这可以看作是一个复合函数，若设u（x）=ax2+4ax+a+3，在不知道x取值的情况下，u（x）的值域的范围是R的一个子集，要满足f（x）=u（x）≥0，u（x）要取遍非负实数，所以△≥0且开口要向上.

正解a=0时，f（x）=3>0，不合题意.

a<0时，开口向下，达不到值域为［0，+∞）.

a>0时，设u（x）=ax2+4ax+a+3，则f（x）=u（x）≥0，且设u（x）的值域为D，所以［0，+∞）D.

所以u（x）要取遍非负实数，即△≥0，解得a≥1.

变式已知函数f（x）=ax2+4ax+a+3在x∈R时的值域为［0，+∞），求a的取值范围.

解析已知定义域x∈R，要使u（x）=ax2+4ax+a+3≥0，且同时满足f（x）要取遍［0，+∞）且不能多也不能少，则△=0.

解得a=1或a=0，而a=0时不合题意舍去.

悟疑二次函数的二次项系数为字母时的分类讨论，若此问题要转化为不等式恒成立问题，要清楚地知道函数的定义域，否则会出现错误的答案.

3指数型函数中已知值域求参数

例4已知函数f（x）=2x2+2ax-a-1的值域为［0，+∞），求a的取值范围.

寻疑学生认为f（x）=2x2+2ax-a-1≥0，即得到f（x）=x2+2ax-a≥0.

所以△≥0，得到-1≤a≤0.

探疑在解此类型的指数型函数时，其内函数u（x）=x2+2ax-a的定义域跟函数f（x）的定义域相同，所以x∈R；当△>0时，对x∈R，u（x）=x2+2ax-a的值有一部分小于0，使得f（x）的值域范围比［0，+∞）多了；

同理，当△<0时，对x∈R，

u（x）=x2+2ax-a有一部分大于和等于0的值取不到，此时f（x）的值域范围比［0，+∞）小了.

正解函数的定义域为R，由f（x）=2x2+2ax-a-1≥0，即得到x2+2ax-a≥0.

所以当△=0时，对x∈R，u（x）=x2+2ax-a≥0，使得f（x）的值域为［0，+∞），

解得a=0或a=-1.

这是学生容易与已知定义域为R求函数值域混淆的题型，所以讲解时可与下面的变式题对比讲解.

变式已知函数f（x）=2x2+2ax-a-1的定义域为R，求a的取值范围.

解析设u（x）=2x2+2ax-a-1，当x∈R时，v（x）=x2+2ax-a≥0，

所以△≤0时，解得-1≤a≤0.

悟疑分析指数函数和对数函数构成的复合函数的性质时，首先要弄清复合函数的构成，然后转化为基本初等函数的单调性加以解决，注意不可忽视定义域、指数和对数的底数对它们的图象及性质起的作用[1].

4对数型函数中已知值域求参数

例5已知函数f（x）=lg（x2+ax+1）的值域为R，求a的取值范围.

寻疑学生容易误解函数f（x）=lg

（x2+ax+1）的值域为R，即x2+ax+1>0的值域为R对x∈R恒成立，而u（x）=x2+ax+1的开口向上，从而△=a2-4<0，解得-2<a<2.

以上解答与下列问题混为一谈：

若函数f（x）=lg（x2+ax+1）的定义域为R，求实数a的取值范围.

探疑在对数型函数中，当值域为R时，它表示函数u（x）的值可取遍全体正实数.所以函数u（x）=x2+ax+1的最小值要不大于0，即函数满足△≥0；而当函数f（x）=lg（x2+ax+1）的定义域为R时，它表示对一切x∈R，函数u（x）=x2+ax+1的值恒正，所以它们是两类不同的问题[2].

解法1因为函数f（x）=lg（x2+ax+1）的值域为R，设u（x）=x2+ax+1对x∈R时可取遍全体正实数，所以u（x）的值域包含了（0，+∞）.

从而△=a2-4≥0，

解得a≤-2或a≥2.

解法2因为函数f（x）=lg（x2+ax+1）的值域为R，设u（x）=x2+ax+1，

所以u（x）=x2+ax+1对x∈R时可取遍全体正实数.

所以u（x）的最小值不大于0.

因为u（x）=x2+ax+1=（x+a2）2+1-a24，

所以u（x）min=u（-a2）=1-a24，

解得a≤-2或a≥2.

变式已知函数f（x）=lg（x2+ax+1）的值域为［0，+∞），求a的取值范围.

解析f（x）=lg（x2+ax+1）的值域为

［0，+∞），设u（x）=x2+ax+1，等价于u（x）的值域要取遍［1，+∞）且不能多取，故u（x）min=u（-a2）=

1-a24=1，解得a=0.

悟疑破解问题时应注意问题的细微区别，防止犯似曾相识的错误.“函数的值域为A”“f（x）∈A恒成立”与上题有类似的地方.这两例的辨析启示我们，在平时的学习中，应认真比较各种问题间的区别，防止就题论题且不加区别.

5结束语

以上实例说明，已知函数的值域求参数是一个较为复杂的问题，要根据不同的函数形式选择适当的方法求解.由于许多函数的概念都有很深刻的内涵，所以在学习函数知识及解决函数问题时，首先要非常准确地理解函数中的每个概念，仔细揣摩各种概念之间的联系与不同，才能作出准确的解答[3].教师应在教育理论研究与实践中，结合数学学科的特点，掌握“疑、探、悟”启发式教学的方法，以便在教学中更好地落实核心素养，取得更好的教学效率.

参考文献：

［1］

宋月英.与指数函数、对数函数有关的最值（值域）问题[J].高中数理化，2022（15）：58-59.

［2］ 方佳佳.关注函数的最值（值域）常考类型[J].中学教学参考，2019（35）：2-3.

［3］ 李伟.函数定义域、值域的逆向问题[J].数学通讯，2007（06）：4-5.

［责任编辑：李璟］