数形结合解向量题

摘要：向量试题往往蕴含着几何背景，如果能挖掘向量试题的几何背景，然后构造图形，利用数形结合来解题，可简化运算，提高解题效率.文章主要挖掘向量试题的三角形背景和圆背景，然后利用三角形的性质或圆的性质来解题.

关键词：平面向量；三角形；圆；数形结合

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）28-0049-03

向量是沟通代数与几何的桥梁，所以向量的运算具有代数表示，也有几何意义[1].有些向量问题，如果利用代数进行计算，运算量会比较大.但如果能充分利用题目所蕴含的图形的几何性质，通过数形结合来解题，就会简化运算，提高解题效率.

1利用三角形的性质

例1如图1所示，在平面图形ABCD中，BC=2AD，|BD|=6.若AC·AD=27，BC·BD=24，则

|AC|=.

解析由题意易知△ADE∽△BCE.

则AE=13AC，ED=13BD.

如图2所示，过点E作EF⊥AD于点F，则

AC·AD=3AE·AD=27.

所以AE·AD=9=|AF|·|AD|.

由BC·BD=2AD·3ED=24，

所以AD·ED=4=|DF|·|DA|.

所以|AF||DF|=94.

不妨设|DF|=4x，则

|AF|=9x，|AD|=13x.

所以9x·13x=9，解得x2=113.

所以|AE|=（9x）2+［22-（4x）2］=3.

故|AC|=9.

点评利用平面向量数量积的几何意义及三角形相似计算即可.

例2已知△ABC的外接圆的圆心为O，且2AO=AB+AC，|OA|=|AB|，则向量BA在向量BC上的投影向量为.

解析由2AO=AB+AC得O为BC中点.

因为△ABC的外接圆圆心为O，则

OA=OB=OC.

又|OA|=|AB|，所以AB=OA=OB=OC.

所以△ABO为正三角形.

由投影向量的定义，得向量BA在向量BC上的投影向量为14BC.

点评由题设得△ABO为正三角形，利用数形结合及投影向量定义即可得答案.

例3已知△ABC中，AB=AC=22，|AB+λBC|min=2（λ∈R），AM=12MB，AP=sin2α·AB+cos2α·AC，α∈［π6，π3］，则|MP|的取值范围为.

解析由|AB+λBC|min=2（λ∈R），结合向量加法法则知，点A到BC的距离为2.

又AB=AC=22，则BC=4.

所以AB2+AC2=BC2.

故△ABC为等腰直角三角形.

由AP=sin2α·AB+cos2α·AC，且

sin2α+cos2α=1，

所以P，B，C三点共线.

又α∈［π6，π3］，则sin2α，cos2α∈［14，34］.

若D，E为BC的两个四等分点，N为BC中点，如图3所示，所以点P在线段DE上运动，且AN=2，BD=1，BE=3.

由图3可知，若MP⊥BC，则MP∥AN.

又AM=12MB，此时BP=23BN=43∈［1，3］.

所以|MP|min=23AN=43.

故ME=MP2+（BE-BP）2=169+259=413.

由图4知，P与E重合时，|MP|max=ME=413.

综上，|MP|的取值范围为［43，413］.

点评由已知可得点A到BC的距离为2，△ABC为等腰直角三角形.若D，E为BC的两个四

等分点，则N为BC中点，点P在线段DE上运动，且AN=2，利用数形结合可求出|MP|的取值范围.

2利用圆的性质

例4已知平面向量a，b满足|a|=12|b|=a·b=1，2|c|2=b·c，则|c-a|2+|c-b|2的最小值是.

解析令OA=a，OB=b，OC=c，OB中点为D，OD中点为F，E为AB中点.

由|a|=12|b|=a·b=1，得

a·b=|a|·|b|cos<a，b>

=1×2cos<a，b>=1.

即cos<a，b>=12.

即∠AOB=60°.

所以AB=22+12-2=3.

即有AO2+AB2=OB2.

所以∠OAB=90°，∠ABO=30°.

故EF=BF2+BE2-2BF·BEcos∠ABO=32.

由2|c|2=b·c，得

2OC·OC-OB·OC=2OC·（OC-12OB）

=2OC·（OC-OD）=2OC·DC=0.

则OC⊥CD.

故点C的轨迹为以OD为直径的圆，如图4.

由CB2=BE2+CE2-2BE·CEcos∠BEC，

CA2=AE2+CE2-2AE·CEcos（180°-∠BEC），

故CA2+CB2=AE2+BE2+2CE2.

则|c-a|2+|c-b|2=CA2+CB2=AE2+BE2+

2CE2=32+2CE2.

所以当F，C，E三点共线，且点C在点F，E之间时，CE最小，

此时CE=EF-12OD=32-12.

故|c-a|2+|c-b|2=32+2CE2≥32+2（32-12）2=72-3.

故答案为72-3.

点评根据余弦定理求解长度，进而可判断点C的轨迹为以OD为直径的圆，然后利用平面向量的几何意义得到各向量所表示的有向线段的关系，从而将问题转化为点到圆上的点的距离的最小值问题，根据三点共线可求解问题的最值[2].

例5圆O的直径AB=2，弦EF=1，点P在弦EF上，则PA·PB的最小值是.

解析由题意可得PA·PB=（PO+OA）·（PO+

OB）=（PO+OA）·（PO-OA）=|PO|2-|OA|2=|PO|2-1.

如图5，要使PA·PB取得最小值，则|PO|要最小.根据圆的性质，只需OP⊥EF，此时P为EF中点.

又EF=1，则EP=12.

所以|PO|min=12-（12）2=32.

则PA·PB的最小值为（32）2-1=-14.

点评根据平面向量的线性运算法则，得到PA·PB=|PO|2-1，再由圆的性质，得到|PO|的最小值，进而得到所求问题的最小值[3].

3结束语

向量的加法运算、减法运算和向量的数量积都具有几何意义，充分利用向量运算的几何意义，再结合题目所蕴含的几何图形的几何性质，最后利用数形结合来解题.这样不仅可看清问题的几何背景与本质，而且可以简化运算，提高解题效率[4].

参考文献：

［1］ 顾予恒.例谈数形双视角解决向量的夹角问题[J].数理化解题研究，2021（25）：52-54.

［2］李鸿昌，徐章韬.关于对数平均的一个不等式的推广[J].数学通报，2023，62（08）：50-52.

［3］ 曹莹，李鸿昌.一道数列最值问题的解法探究[J].高中数学教与学，2019（19）：15-16.

[4]吴丛新.数形结合巧妙求解：多角度破解一道向量数量积试题[J].高中数学教与学，2024（01）：53-54.

［责任编辑：李璟］