小学数学“圆的周长”教学设计研究

摘要：“图形与几何”课程中“圆”的教学，涉及了将曲线转化为直线、极限概念以及等量变换等数学原理.这一知识点的教学能够培养学生的空间感知力以及提升解决复杂问题和提炼抽象概念的能力，是构建数学核心素养的重要途径.在实际教学中，学生时常会在周长与面积的理解上产生混淆.范希尔理论作为几何教学的基石，不仅具备评估学生几何思维深度的功能，而且为教学策略的制定提供了实用框架.该理论明确指出了教学在引导学生逐步深化几何思维过程中的关键角色.因此，将范希尔理论融入小学数学教学设计中，是一种极具成效的方法，能有效培养学生的数学核心素养，并提升学生的几何思维.

关键词：小学数学；圆的周长；教学设计；几何思维

教学实践是一种精心策划的教育进程，教师依据明确的教学蓝图，引导学生循序渐进地掌握数学知识，同时提升学生的数学技能，塑造关键素养.为了满足每个学生的独特需求，当教学“圆的周长”这一课题时，教学策略应聚焦于创设与学生日常生活紧密相连的场景，通过观察、想象、动手操作、深度思考和互动交流等实践活动，激发学生对数学的探索热情.笔者借鉴荷兰数学家范希尔（Van Hiele）的几何认知水平五阶段理论，设计“圆的周长”的教学方案并在方案中融入五阶段理论，这个方案的实施不仅有助于知识传授，还将显著提升学生的几何思维能力，为学生的学术成长开启新的篇章.

1学前咨询阶段：交流中直观感知“圆的周长”

在范希尔的教育理论指导下，教师需充分考量学生的几何思维发展程度，强调直观教学，在教学中充分调动学生的视觉与听觉，通过与学生沟通实现对于学生的课堂学习成效的全面提升，使学生能够通过形状整体感知理解圆的周长.［1］为此，笔者设计了两个教学环节：一是以问题引导学生深入“圆的周长”主题；二是利用动画激发学生对这一概念的直观感受.

1.1问题引导下的“圆的周长”探索

问题1大家已经对圆有所了解，谁能分享一下你所掌握的圆的基本特性，如半径、直径以及它们之间的关系，还有由曲线围成的圆的特点？

学生可能会提及圆心的概念，以及已知图形如正方形和长方形周长的计算方法，对于三角形、平行四边形和梯形，他们可能会提到边长的总和.

这样的教学方法致力于保证每个学生都能掌握数学的关键能力，这些能力对学生的未来生活和全面成长具有决定性影响.

问题2让我们回顾一下，我们是如何计算平面图形周长的？

学生可能立即讨论正方形和矩形的周长计算方法，而面对三角形和多边形，他们可能提及将所有边长相加以找出周长的方法.

问题3关于圆，你们希望学习哪些额外的知识点？

学生可能会表达出对圆的周长和面积这两个相关概念的好奇和求知欲望.

【设计意图】范希尔理论强调教学与学生认知发展的同步性.教师在开始新课前，通过有效的预备性访谈，洞察学生现有的知识基础，从而精确定位教学起点，确保教学的有效性和连贯性，进而有效提升学生的课堂学习兴趣，实现学生课堂学习效率高效性.

1.2动画中直观感知“圆的周长”

问题1存在三种不同尺寸的自行车轮胎，假设它们均完成一次完整的旋转，你推测哪个轮胎前进的距离更长？

教师通过课件展示验证步骤，显示轮胎滚动一圈的长度即为轮胎的周长.

问题2对比这三个轮胎的直径和周长，你能观察到什么规律？

【设计意图】教师通过生活场景引入学习主题，激发学生探索问题的兴趣，生活化的实例彰显了数学从生活中诞生的核心教育思想，同时动态的展示使学生能直观理解圆的周长概念.利用多媒体教学的呈现方式，使学生初步体验圆的周长与直径之间的关联.［2］此外，此阶段教学中教师运用的词汇和表述至关重要，能影响学生对这一主题的理解程度，从而激发学生在课堂学习进程中的思维活跃性，引导学生进一步思考课堂所学习的内容.

1.3挖掘圆周长的测定途径

问题1我们已经知道圆的周长大致在直径的3到4倍之间.那么，怎样才能确切得知这个倍数？

问题2有的同学提出可以通过测量圆的周长和直径，然后求得它们的比值来确定.不过，直径的测量相对容易，但在实际操作中，你们计划如何准确地测量圆的周长？

在这个环节，教师强调无论是滚动测量还是环绕法，核心都是运用了“曲线转直”的创新思维方式，将复杂形状转化为易于处理的直线距离，使得圆的周长这一计算方法的理解难度有效降低，实现学生课堂思维灵活性的有效提升.

下面请大家动手操作，完成以下任务.

量一量：小组分工合作，用你喜欢的方法测出圆的周长和直径，把数据记录在表1里.

算一算：计算圆的周长，将周长除以直径的商（保留两位小数）填写在表1里.

想一想：通过测量和计算，你发现圆的周长和直径有什么关系？

【设计意图】《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，教学过程应激发学生运用观察、探究、实验、逻辑推演、数据解析以及空间直觉等多种手段，以深化其对数学概念的理解和提高问题解决能力.在这个关键的教学环节中，教学的目标是通过实践操作，让学生亲身体验知识获取的过程.特别关注的是，教师通过实际测量圆的周长并探讨其与直径的比例，让学生直观领悟“曲线到直线”这一数学转化思想，提升学生独立思考能力.

2引导定向阶段：操作中亲自探索“圆的周长”

在引导发现阶段，教师巧妙地激发学生的学习主动性，让学生通过一系列直观且互动式的活动来体会圆的周长与直径之间的规律，从而实现小学数学教学课堂开展进程中学生学习主动性的有效调动.这些活动包括直观的手势演示、猜测、计数、比较、思考和实际测量，让学生亲身体验并逐步领悟圆的周长与直径之间的关系.重要的是，教师设计的活动要强调实践性，目标明确且步骤清晰，从而培养学生的实践能力和观察力.

首先，活动聚焦于建立“圆的周长”概念.教师以实物圆作为示范，询问：“我们了解了车轮的周长，那么圆的周长是什么呢.”学生可能会对术语有所混淆，教师适时给予简明的解释.其次，深化学生对关系的理解.教师提问：“同学们，大胆猜测圆的周长和直径之间存在的关系.”鼓励学生独立思考，教师适时引导他们排除非倍数关系的可能性.再次，通过实验探究精确的倍数关系.教师提出挑战：“如果它们之间存在倍数关系，你们认为是多少倍.”最后，教师引入视觉辅助工具，如将圆置于正方形和正六边形中（如图1），引导学生动手绘制并观察，进行实验.学生们在汇报实验结果时，教师进一步引导他们得出周长与直径存在倍数关系的结论.

【设计意图】教师尝试让学生直接领悟圆的周长与直径的比例原理时，应考虑到小学生的认知发展阶段.学生最初的猜测，如两倍、三倍甚至四倍，往往缺乏严谨的数学依据，更多源自于直观感受而非深入的逻辑推演.教师通过将圆与其他形状，如矩形和正六边形进行比较，通过实践操作和直观的图形分析，学生们能够逐步领会到一个事实，即圆的周长大致在直径的三至四倍这个区间内，这个发现并非抽象的理论，而是源于实际观察和实验的结果.这为后续精确计算出圆周率与直径的固定比值奠定坚实的基础，实现学生的综合计算能力的进一步有效提升.

3深化理解阶段：回顾历史，洞察“圆的周长”奥秘

本阶段旨在深化学生的理论理解，区别于前阶段的直接感知，教学转向历史的视角，对圆周率的本质进行探究.学生不再自行发现圆周率的起源，而是通过了解古代著作中有关“圆的周长”的记载，理解“周径之比为三”的古老智慧.经过教学，学生已建立起关于圆周长与直径关系的清晰认知，能用语言表达出来.因此，笔者将进行两部分的教学活动：一是解读圆周率的内涵；二是推导出圆周长的精确计算公式.

3.1解析圆周率的数学内涵

引入讨论阶段.在初步的测量与计算中，学生发现圆的周长大约是直径的三倍多，这已经显示了他们的洞察力.早在两千多年前，我国的数学家就已经对这一知识点有所研究.《周髀算经》中的“周三径一”虽表示周长是直径的三倍，但为何略大于三，这就需要学生继续深入探究中国古人的数学智慧.［3］

3.2推导圆的周长计算公式

问题1对于探讨圆的周长计算，你们是否熟悉相关的公式？

教师引导学生回顾相关知识点.当直径（d）已知时，周长C可以用C=πd来计算；当半径（r）已知时，公式则变为C=2πr.这里有个小细节，圆周率π是个特殊的无理数，通常在实际计算中取近似值3.14.

【设计意图】教师通过数学历史讲述旨在增强学生对圆周率历史背景的认识，让他们明白数学不仅存在于抽象概念中，还蕴含着深厚的文化内涵.在这个过程中，学生们逐步掌握了圆周长的计算方法，并构建了完整的公式理解框架.

3.3深化学生对“圆的周长”的理解

依据范希尔教育理论，教师鼓励学生自主探索，尽管他们对探索领域有所了解，但仍需自行确定探索路径.教师的角色在于提供恰当的问题情境或习题，激发他们思考和解决问题的能力.为此，教师可以安排三道几何题目，让学生在解决实际问题时，灵活运用已掌握的圆周长知识，同时检验和提升他们的综合运用能力.

（1）分别计算图2中两个圆的周长（π的数值约等于3.14）.

（2）如何精确测定一个圆的周长与其直径的比例范围？

（3）如图3所示，有A、B两条路线，哪条路线的路程更短？

【设计意图】自由探索阶段，学生运用所学知识解决实际问题.第（1）题引导学生直接运用定理求解圆形边界长度；第（3）题深化学生对圆周率本质的理解；第（3）题鼓励学生自主创新，以多种途径解答疑问.

4综合阶段：“圆的周长”知识提炼与巩固

此阶段为教学流程的收尾，学生对积累的知识进行归纳，并融入自身的知识体系.此环节师生共同参与总结，通过复习，构建起新的知识框架.

反思与梳理：在本次学习后，你有哪些领悟.让我们共同梳理课程要点.

【设计意图】这一环节意在教师的引导下，学生系统性地梳理学习过程，促进学生将研究内容与已有认知结构融合.

5结语

本文遵循范希尔理论和小学数学教学原则，深入理解其内涵后，选取“圆的周长”作为研究课题，提出了一套具体教学策略，结合教学实践反馈，对教学效果进行了分析并提出改善建议.范希尔理论在几何教育中有深远影响，同样适用于算术代数、概率统计等领域.

参考文献

［1］黎媛君.探寻度量视域下的小学数学周长认识新路径［J］.理科爱好者，2024（2）：230-232.

［2］周坚强.立足“学”，建构小学数学“助学课堂”——以“圆的周长”的教学为例［J］.教育界，2024（6）：83-85.

［3］江晓原.《周髀算经》新论·译注［M］.上海：上海交通大学出版社，2015.