基于模型的初中数学创新教学实践

一、模型可以启发思考，凸显思维的高阶属性——始于模型来创新

（一）关于模型及其认识

对于数学模型和如何开展基于模型的初中数学创新教学，人们经历了一个不断重视与加深认识的过程。

比如，完全平方公式，它本质上就是（a+b）·（a+b）=a2+ab+ba+b2。在这个意义下，完全平方公式就是一个模型。直接运用完全平方公式而跳过运用多项式乘法法则再进行运算的思想、方法和过程等就是运用（完全平方公式模型）数学模型进行思维与运算的过程。同样，几何里的许多定理亦如是。以上过程正好体现了模型的发现、归纳、提炼、推导或证明再到应用的完整思维过程。

（二）基于真实案例的模型探究

在中考前多次模拟测试中，当客观题难题涉及到正方形时，我班的一位平时成绩中等的学生多次正确解答，这引起了我的研究兴趣。在交流中他说：“凡涉及正方形的题目一般都是12345模型，按结论去套就行了。”那么，什么是12345模型呢？他说：“只要碰到正方形，如果有一个以正方形的顶点为顶点的45°角，那就一定会有一个角的正切是1∶2，以及一定svJNNB7O+jCr+hG3CDxemQ==会有另一个角的正切是1∶3。然后再按照这个规律一个个去套，一般都是对的。”

这里至少含有两个信息：1.基于数学模型，按图索骥地去探寻解题思路和进行解答往往效果明显；2.学生运用模型解题时可能会知其然不知其所以然，只是套用了模型结论而未真正理解和掌握模型所涉及的数学知识方法。

（三）基于模型的初中数学教学实践

如图1，已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2，连接CE，以CE为底作直角三角形CDE，且CD＝DE。F是AE边上的一点，连接BD和BF，且∠FBD＝45°，则AF长为 .

分析：当我们看到题目的已知条件里有等腰直角三角形的时候，联想到与它关系密切的“手拉手”模型，继而构造出“手拉手”模型，是此题的解题关键所在。如图2，将线段BD绕点D顺时针旋转90°，得到线段HD，连接BH，构造出“手拉手”模型。

（四）模型教学的几点思考

第一，基于模型的数学创新教学主题鲜明、重点突出。既能培养学生的直观想象能力、发散思维能力，又可以改进学生的数学学习方法，还可以积累数学学习经验、提升数学解题能力。

第二，基于模型的初中数学创新教学方法多、效果明显。既可以根据常见的题型、结合教材内容进行分类教学，又可以从典型而基础的模型出发，逐级展开联想，从而寻找图形间的内在联系，并利用学生们已有的数学解题经验，创造性地搭建紧密相联、科学高效的相关数学模型框架。

第三，教师在平时的解题教学中，要从学生的实际情况与相关数学教学内容出发，充分挖掘教材与习题的内在育人价值，鼓励学生对数学的知识方法与问题都进行深入研究，引导并总结出一般化的解题思路、方法、策略与解题模型。

二、数学模型教学呼唤从模仿到创造——止于模型去创造

（一） 模型教学的心理机制

如图3，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD、CE是角平分线，若BE=AC，BD=2，则CE= .

发散思考问题：哪些模型或定理是与90°有关的呢？联想到半弦图或者叫做一线三垂直模型，我们可以巧妙地启发学生们以半弦图为目标或向导去尝试是否可以通过添补两个直角，来成功地构造出半弦图（见图4），具体解法此处略。

在这个教学的过程中，我们看到学生经历了发散—联想—尝试的过程。何克抗教授认为，实现创造性思维离不开两个关键环节：创造想象思维和复杂直觉思维。而“随意创造思维”，通过“发散— 联想—想象”等环节，按当前的指令要求进行串并存线性加工。此题解题的思维过程，正是何克抗教授指出的“随意创造思维”过程。如果只知道半弦图的模型，想着直接套用，几乎是不可能解出此题的。

（二） 模型教学的教学要旨

基于模型的数学创新教学致力于追求“无招胜有招”的教学境界。当基本模型经过提炼并熟练应用后，教师应引导学生对该模型的变式与拓展进行更深层次地探究，让学生在变式训练的过程中，感悟模型的精髓与本质，学习数学建模的思想与方法，真正实现思维品质尤其是创新思维品质的培养与提升。

责任编辑 钟嘉仪