经历学习三个过程发展教师数据观念

【摘要】通过内涵分析获得一般性行为表现，并促使教师经历数字特征意义溯源、理解深入、实践应用等过程，提高“用数据”发现与提出、分析与解决问题的能力，发展教师数据观念，惠及学生核心素养培养．

【关键词】统计与概率；数据观念；学科实践

2022年颁布的《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）在“统计与概率”领域发生了较大变化，提出了更高的要求，旨在进一步发展学生“数据观念”．然而，由于部分教师本体知识的欠缺，以及对“数据观念”认识的不到位，导致在课程实施过程中出现了一定偏差，统计课逐渐失去了“统计味”．要发展学生“数据观念”，前提是提升教师的统计素养．教师应加强学科实践，通过经历学生学习的“三个过程”，提高“用数据”发现与提出、分析与解决问题的能力．

1数据观念的内涵与表现

《课标（2022年版）》对初中阶段“数据观念”作如下界定：数据观念主要是指对数据的意义和随机性有比较清晰的认识[1]．首先，具备用数据分析问题的意识．数据蕴含着信息，但数据是否具有统计意义则取决于现实的问题，不同问题往往需要收集不同的数据；其次，掌握用数据分析问题的方法．数据分析方法多样，需要根据问题背景选择适切的方法，要抓“主要因素”；第三，建立数据随机的观念．一方面，对于同样的事情，每次收集到的数据可能会不同．另一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律[2]．然而，现在的教学更注重学生统计方法的掌握，对数据意识和随机观念有所偏失．

考虑到“数据观念”的内涵以及它在培育“三会”过程中的作用，再结合相关文献[3]，我们将其行为表现概括为：在观察时能“看到数据”，在思考时能“用好数据”，在表达时能“借助数据”．归根到底，就是将“数据”融入于问题发现与提出、分析与解决的全过程，从现实世界中感受“数据”的普遍存在与广泛价值．

“数据观念”绝不仅仅是计算某个统计量、画一些统计图表等技能，而是一种需要在亲身实践中培养出来的感觉，这种“经历、体验、感受”应是初中阶段统计与概率学习的关键．

2数据观念的培养与实践

发展学生数据观念素养前提是转变教师的观念，提升教师的素养．而通过“灌输”的方式试图让教师“像科学家一样思考”从而形成“科学头脑”显然行不通，教师必须像学生一样去经历“理解—关联—创新”这个完整过程，尝试对数字特征意义溯源，搞清来龙去脉；理解深入，厘清纵横联系；创新应用，加强学科实践，逐渐学会“用数据”观察、思考和表达．

2.1在追本溯源中理解统计量的意义

若把统计考题简单地理解为一道计算题，从而认为代入公式进行程序化地计算就是全部，忽略其背后丰富的统计思想，这显然是舍本逐末．计算一个统计量并不是真正目的，开发、选择适合的统计量来解决一个实际问题才有价值．对于一些新的数字特征，教师理应主动尝试意义溯源，去体会其发生过程，以2022年浙江省衢州市中考数学第21题所提出的“五天滑动平均气温”为例．

由于对相关领域的不熟悉，教师在做完这道统计题之后，会很自然地萌生出一系列问题：命题人是怎么想到利用这样的背景来命制试题的？一年四季究竟如何划分？怎么定义春天？为什么要提出5天滑动平均气温这个概念？它的优势是什么？还是现在主流的判断方法吗？是否需要改进？……

永葆好奇心、求知欲，主动参与数学探究活动，敢于创新，这都是用数学的眼光观察现实世界的具体表现．教师应主动查阅资料，促使学习真正发生．事实上，原题中第3小问“某媒体报道：‘夏天姗姗来迟，衢州2022年的春天比去年长．’”可能是命题的“源”，真正体现了数学源于生活，更展现了命题人的“数学眼光”．划分四季方法很多，例如天文划分法、气象划分法、节气划分法等，但它们共同的缺点就是全国各地都在同一天进入同一个季节．为了使季节的划分更加符合当地的气候以及生产生活的需要，张宝堃于1934年提出了“候平均气温法”．又为了不人为割裂天气过程的现象，钟保粦于1995年提出了试题中所呈现的“5天滑动平均气温”的方法，一直沿用至今．

每个统计量都有其内在的价值与意义，绝非空穴来风，这种刨根问底，追本溯源的精神，可以促使教师更加深入地去理解这些数字特征，是统计与概率学习应有的态度．

2.2在纵横联系中形成结构化的体系

知识学习不可能一蹴而就，所以往往是螺旋上升，具有层次性、阶段性．但作为教师，应站在更高的视角来审视、理解数学问题，理清知识发生发展的结构，只有观点高了，事物才能显得简单而明了．以平均数结构化体系的探究为例.

2.2.1本源性探究

算术平均数x=1n（x1+x2+…+xn），是将一组数据之间的差异抹平后得到的这组数据的代表值，因而具有性质①：（x1-x）+（x2-x）+…+（xn-x）=0，反映了这组数据的集中程度．

“形”的理解[HTSS]亚里斯多德根据“截长补短”的思想率先尝试给出平均数的几何定义．对于长度分别为a和c（a＞c＞0）的线段，所谓“平均”就是寻找线段b，使得a-b=b-c．

“数”的意义[HTSS]算术平均数还具有如下性质②：

∑ni=1（xi-a）2≥∑ni=1（xi-x）2，当且仅当a=x时，等号成立．

这一性质揭示了算术平均数是与一组数据偏差平方和最小的代表值，即离差平方和最小，同时也说明方差的特殊性．证明过程中用到的平方和分解的方法，在统计分析中应用广泛．若从应用的角度看，性质②也是最小二乘法估计参数的原理．由此可见，在义务教育阶段更加重视平均数的教学也有道理．

2.2.2加权性理解

小学阶段的平均数考察的是“数据的大小”对平均数的影响，那么初中阶段的加权平均数就是从“数据的（相对）多少”这个角度去诠释平均数的影响因素．

随着学习的不断深入，引入随机变量之后又会出现“数学期望”．对于一组离散型随机变量X1，X2，…，Xn，p（X1），p（X2），…，p（Xn）为Xi所对应的概率密度函数，数学期望则被定义为E（X）=∑ni=1xipi．若把p（Xi）看成是数据Xi出现的频率f（Xi），则E（X）就可被理解为这组数据的加权平均数．教师只有理清了平均数发展的结构，才能在课堂教学时更好地突出重点，突破难点．

2.2.3随机性渗透

再者，由于现实世界中许多随机现象人们无法掌握全部信息，不能直接进行分析，因而需要进行随机抽样，故在初中、高中阶段，对样本数据的意义和随机性的理解，以及统计推断显得愈发重要，要求学生能利用样本平均数去估计总体平均数．有时还需要根据频率分布表或直方图近似计算平均数，等等．后期通过概率论的系统学习，将进一步探索统计背后的机理，例如大数定律就严格地描述了样本均值与总体均值（数学期望）的关系，说明频率最终会稳定到概率．

从本源性探究，到加权性理解，再到随机性渗透，对平均数这个数字特征的理解贯穿统计与概率学习始终．正如著名统计学家陈希孺所说，如果我们从理论的角度走一点极端，则可以说，一部数理统计学的历史，就是从纵横两个方向对算术平均数进行不断深入研究的历史[4]．反复迭代，逐步深入，建构结构化的知识体系，这也是教师专业发展的必经之路．

2.3在创新应用中提升“用数据”的能力

“数据观念”是用数学的语言表达现实世界的一种具体表现，因此需将新知的学习融入于问题解决的过程，在联系中尝试应用．教师应葆有学科实践的精神，用数学家的思维理解、发现、学习数学知识，以“数据分组”为例．

《课标（2022年版）》新增“经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则进行分类的方法”，指向“数据的分类与整理”，并以把我国10个省份依据人均GDP的多少分为两组（例85）为例进行说明，还建议设计成一个跨学科主题式学习．那么，教师是否可以先做尝试呢？

创设情境：有5个样品，它们的某个指标对应的数据分别是1，2，4.5，6，8．

聚类是一种最常见的分类分组方式．所谓聚类，就是将研究对象进行分类，其核心思想就是每次都把“最接近”的对象聚成一类，依次归类．若要将5个样品分为4类，即选择“最接近”两个样品进行合并．在一般观念下，常常会把“绝对值之差（距离）最小”作为度量“远近”的标准，于是先将1和2聚成一类{1，2}．

当要将样品分成3类时，教师会产生困惑，因为不知如何去度量类{1，2}与其它样品之间距离，即如何刻画类Gi与类Gj之间距离Dij．查阅文献，不难发现很多定义类间距离的方法：最短距离法、最长距离法、类平均法，等等．由于篇幅，本文仅以“最短距离法：两类最近样品（指标）的距离，即Dij=min{dkl|k∈Gi，l∈Gj}”为例说明．

定义了类与类距离后，则可以逐步进行归类.

第一步，各自成一类，计算类间（单个样品之间）的距离，如表2所示：

并记G1={1}，G2={2}，G3={4.5}，G4={6}，G5={8}．

第二步，将距离最近的G1={1}和G2={2}合并得到G6={1，2}．重新计算类间距离，如表3所示：

第三步，将距离最近的G3={4.5}和G4={6}合并得到G7={4.5，6}．重新计算类间距离，如表4所示：

第四步，将距离最近的G7={4.5，6}与G5={8}合并得到G8={4.5，6，8}．重新计算类间距离，如表5所示：

第五步，将G6={1，2}和G8={4.5，6，8}合并成一组．

需要指出的是，计算新类与其它类的距离并不需要每一步都重头开始，可由产生新类前的距离表方便地递推得到，于是这个相对繁杂的计算过程就可以通过编程实现．

在此基础上，教师就能获得系统聚类分析的基本思想与步骤：首先定义样品（指标）之间的距离和类与类之间的距离．一开始各自成一类，此时类与类的距离等于样品之间的距离；然后选择距离最近的两类合并，重新计算新类与其它类的距离；重复上述操作，每次缩小一类，直至所有样品归为一类．这个归类过程可用聚类图（或称谱系图）直观呈现．

回到《课标（2022年版）》中提出的“离差平方和法”，也称Ward法．若把两类归类所增加的离差平方和看成类之间的平方距离，即Dij=S2i+j-S2i-S2j，就可以和上述方法统一起来．如前所述，算术平均数具有离差平方和最小性，《课标（2022年版）》重点突出这个方法也是顺理成章．

定义类与类之间距离的方法很多，不同的方法就会产生不同的聚类分析，也可能会得到不同的分类．在统计的世界里，没有对和错，只有好与坏、合适还是不合适，实践才是检验真理的唯一标准．教师在理解、学习、探索的过程中，不仅实现新知的再创造，而且真正提升了“用数据”的能力．

3几点思考

著名统计学家C.R.Rao曾说：“在终极的分析中，一切知识都是历史；在抽象的意义下，一切科学都是数学；在理性的世界里，所有的判断都是统计学.”这表明“数据观念”在现代社会的重要性，它从根本上改变了人们的思维方式．在促使教师形成结构化数学知识体系和数据观念的过程中，最重要的是转变教师的观念和提升教师的能力.教师不仅要拥有用数据解决问题的能力，更要有主动尝试用数据解决问题的意识.通过不断的学科实践，教师能真正理解知识与思想方法的产生与来源、结构与关联、价值与意义．

3.1加强相关领域的重视程度

“统计与概率”是初中数学课程四大领域之一，是发展学生数据观念的主要载体．然而，教学现状显示师生对此领域的重视程度与其重要性不匹配．调研发现，学生对某些概念的理解并不到位，数据观念水平也较低．一部分教师认为统计与概率的内容相对简单，尤其在评价考试内容和形式基本固定的情况下，学生只需投入较少时间和精力就能取得高分.另一部分教师认为统计与概率“高深莫测”，自身对某些知识的理解存在困难，因此在课堂教学中只能浅尝辄止．实际上，对于统计与概率的教学，最亟需转变的是教师的观念．教师应在核心素养导向的课程目标下重新审视相关内容，更深入地理解数据观念的内涵，探究本领域的核心知识与基本思想方法，以更有效地促进学生学习和培养学生的数据观念．

3.2加强实践活动的创新体验

数据观念的核心是在现实情境中“看到数据”“用好数据”，然后“借助数据”理解并表达随机事件发生的规律．因此，统计与概率的学习需要融入丰富多彩的实践活动之中．然而，由于教学时间和空间的限制，教师在实际教学中往往采用讲授法来代替学生的动手实践，且即使组织活动，也常创设与学生生活脱节的问题情境．教师应先身体力行，言传身教，率先经历学生的学习过程．在素材选择上，可以尝试对具有现实意义的数字特征进行溯源，如2022年浙江省衢州市中考数学第21题所提出的“五天滑动平均气温”，这不仅能巩固和补充现有知识，还能激发学习兴趣，提升教师“看到数据”的意识．在知识理解上，教师可以聚焦于某一个或几个统计量进行深入探究，从统计与概率整个领域的视角出发，在纵横联系中体会核心知识和基本思想方法，“理解数据”并能“用好数据”．在方法应用上，根据《课标（2022年版）》提出的要求，创设相应的项目学习活动，促使学生经历较为完整的探究活动，在创新体验中形成正确的数据观念．

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定．义务教育数学课程标准：2022年版[M]．北京：北京师范大学出版社，2022：10．

[2]史宁中，张丹，赵迪．“数据分析观念”的内涵及教学建议：数学教育热点问题系列访谈之五[J]．课程·教材·教法，2008（06）：44-44．

[3]鲍建生，章建跃．数学核心素养在初中阶段的主要表现之六：数据观念[J]．中国数学教育，2022（11）：3-11，21．

[4]陈希孺．数理统计学简史[M]．长沙：湖南教育出版社，2002．

作者简介

杨灿权（1990—），男，浙江杭州人，中学一级教师，杭州市教坛新秀；多次开设省市级公开课和讲座;主要研究中学数学教学，发表论文多篇．