数形互助 系统结构 思想融通

【摘要】立足教材给定的小结内容与课标的相应定位，通过“以数解形，聚数成势”“以形助数，为数赋能”“融会贯通，数往知来”“盘点收获，数不胜数”“知识建构，数向未来”等五个教学环节，经过反思，提出了“数形互助，化难为易”“题组搭台，运算唱戏”“明暗相合，拔节生长”三个观点．

【关键词】实数；数形结合；小结课；知识结构．

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）在课程实施中指出：为实现核心素养导向的教学目标，不仅要整体把握教学内容之间的关联，还要把握教学内容主线与相应核心素养发展之间的关联．义务教育阶段初中数学内容主要分为：数与代数、空间与几何、统计与概率、综合与实践四大领域．四大领域编排顺序呈螺旋上升的趋势，几何与代数知识穿插进行，各部分内容既相互独立又有着千丝万缕的联系．基于大单元整体教学思考发现每个领域的知识都是沿着一条主线不断生长起来的，恰如郭玉峰教授所言“数学的整体性和联系性，是由数学学科特点决定的”[1]．因此在教学时要立足教材及数学学科自身的整体性，把握好知识生长的主线，让学生整体建构相关领域的知识体系，发展学生核心素养．笔者以“实数”小结课为例，与各位同仁交流．

1研教材，明方向

本章是人教版七年级下册第六章内容，是继学生学习了有理数之后的又一类数，属于“数与代数”范畴．本章内容比较零散、抽象，概念相对较多，主要包括平方根、算术平方根、立方根概念及性质；实数概念、分类、运算及在数轴上表示；近似数及估算等知识．面对以概念为主且抽象的数系知识，教师更应关注知识的整体性，抓住知识的生长点，形成知识生长线，将零散的知识串成串，结成块，整体把握知识结构，通过数形结合等数学思想方法渗透，使抽象概念知识的学习变得顺其自然，水到渠成．本节课以问题情境创设为引擎，以数轴为载体，低起点切入，学生经历数及运算的发展历程，使抽象知识具象化，发展学生的数学思维．

2依课标，定目标

根据新课标对实数部分内容要求、教学建议等，结合小结课的功能定位，确定本节的复习目标为：

（1）通过解决以正方体为背景的问题，再次历经数及数的运算的生长与发展过程，建构实数知识框图，体会数系扩充的必要性，发展q640bw8XIn17dAP0yGOdrdISmD9r/Ukp9VLz0EPsZWw=整体性思维．

（2）通过数形结合等数学思想方法的运用，进一步理解算术平方根、平方根、立方根、实数等概念，性质及相关运算，提高运算、抽象、逻辑推理能力，发展批判性思维和创造性思维能力．

3展过程，强建构

环节一以数解形，聚数成势

问题1：如图１，正方体的棱长、表面积、体积，三个量知一可求其二，请给其中一个量赋予具体数值，求另外两个量.

学生1：棱长赋值为2，则表面积为22=4，4×6=24，体积为23=8．

学生2：体积赋值为27，则棱长也就是求27的立方根，即327=3，表面积为32×6=54．

教师借此追问什么是立方根，相关性质有哪些？并板书．

学生3：表面积赋值为36，则棱长为36÷6=6，然后求6的算术平方根，即为6，体积为（6）3=66.

教师追问：什么是算术平方根？学过算术平方根的哪些相关知识？并板书．

教师引导学生观察第一位同学举出的例子22=4，23=8.如果不考虑实际意义，除了22=4，还有（－2）2=4，从而得出平方根的定义，±4=±2.由23=8，得出立方根的定义，38=2．

通过这两个例子进一步体会乘方与开方是互逆运算，继续追问：还有哪些运算是互逆运算？得出加与减，乘与除两组互逆运算．再追问：请对以上写出的数进行分类？从而得到有理数与无理数的概念，深化对无理数的认识，至此数系由有理数扩充到实数范围，得到实数概念，初步形成本章知识框图（图2）．

设计意图小问题大作用．本环节充分考虑学生认知起点，以学生熟悉的正方体为载体，借助图形低起点切入，在教师追问中建构算术平方根、平方根、立方根及实数等概念，明晰它们之间的关系，抽象的概念借助图形实现具象化，使得无理数的出现变得顺乎其然，进一步感受数系扩充是实际生活、生产以及数学内部发展的需要，体会知识的生长过程，进而勾勒出初中阶段实数全貌，聚数成势．同时在问题解决过程中体会乘方与开方之间的互逆关系，发展学生的逆向思维，感受数学中的某些规则同生活中的规则一样，往往具有一致性、相容性、和谐性．

环节二以形助数，为数赋能

本环节类比有理数的研究路径对实数的定义、性质、运算及应用进行总结复习．

问题2：请在边长为1的小正方形网格中画出面积为2的格点正方形（图3），求正方形的边长．

问题解决1：请沿网格线在适当位置作数轴，并标出2和-2的位置.

学生能够正确画出面积为2的格点正方形．教师可追问：为什么这样画出的正方形面积为2？边长怎样求？设正方形边长为x，则x2=2，得x=2．学生通过作图启发，面积为2的正方形的边长就表示2的大小，然后沿着网格线在适当位置建立数轴，以原点为圆心以正方形的边长为半径分别向右，向左画弧，与数轴的交点即为2和-2的位置，从而得出实数a的相反数为-a．教师进一步举例其它无理数也可在数轴上表示，体会实数与数轴上的点是一一对应的重要结论．

设计意图著名数学家华罗庚说过：数缺形时少直观，形少数时难入微．通过让学生亲身经历画出面积为2的正方形，求出正方形边长为2，然后借助数轴找到无理数2和-2的位置的过程，学生感受无理数也可以用数轴上的点来表示，进而得到数轴上的点与实数一一对应关系，并在教师的追问中得到实数相关性质．本环节以数轴为载体，将数与形融为一体，帮助学生更好的理解无理数及实数概念，体会数轴是学习代数知识必不可少的工具之一，数形结合思想在代数知识学习中起着举足轻重的作用，培养了学生几何直观、抽象能力、应用意识，发展学生的批判性思维和创造性思维．

问题解决2：以2点为圆心，以2为半径向左画弧，交数轴与点M，设M点表示的数为m，如图4，则m= ．

（1）请比较m与-1的大小；

（2）求m+1+m－1的值．

借助数轴知识能够直接表示出m=2-2，第1题比较2-2与-1的大小，具体方法有两种（1）通过观察数轴看出m点在-1的右边，从而得到2-2>-1．（2）可通过估算方法，首先确定2在哪两个整数之间，进一步确定2-2范围，得出2-2>-1．第2题是实数范围内绝对值的化简问题，具体方法有三种：（1）通过观察数轴得到m+1为正实数，正实数的绝对值为本身；m-1为负实数，负实数的绝对值为其相反数，即1-m，化简结果为2;（2）亦可把2-2代入后进行计算并化简;（3）利用绝对值的意义进行化简，m+1+m－1表示m到-1与m到1的距离之和，通过观察数轴得到它们的和为2．

设计意图本环节看似只有两个简单的问题，却承载着多个新旧知识点，其中问题背景中通过尺规作图找到2-2位置，学生再次体会到无理数也能在数轴上表示，同时点M也可从运动观点看作是由2向左移动2个单位到2-2位置，为下一个环节作铺垫．第1题比较大小中方法1目的是让学生体会实数范围内数的大小比较也可借助数轴进行比较，实数大小的比较与有理数大小比较方法是相通的;方法2对于无理数大小的比较可通过估算的方法确定．第2题方法1通过数形结合方式进行绝对值化简；方法2通过代入运算确定绝对值内数的正负，然后进行化简；方法3根据绝对值的意义进行化简，体会到实数范围内绝对值的化简方法与有理数范围内是一致的．每个问题虽有不同方法，但将数与形结合使代数知识变得更加立体，更加形象直观，易于理解，多种方法的加持使学生思维得以发展．

问题解决3：在问题解决2的基础上，通过线动成面，面动成体分别得到长方形和长方体（图5）．

（1）求长方形AMBC的面积；

（2）求长方体的表面积．

由上一题可知AM的长为2，又知宽为2，则长方形面积为2×2=22．教师追问，若已知A表示2，M表示2-2，如何求AM长？AM=2-（2-2）=2，进一步体会实数范围内数轴上两点之间线段长仍可用大数减小数求得．第2题长方体的表面积为22×2+22×2+（2）2×2=42+42+4=82+4．追问：（2）2为什么等于2？42+42=82依据是什么？与我们学习的整式运算有什么相似地方？学生进一步深化对算术平方根概念的理解，体会加法和乘法运算律在实数范围内仍然成立．

设计意图承接上一环节从运动的角度得到长方形和长方体，借助两个几何图形，对实数的运算进行复习．其中问题1主要体现实数的乘法运算，问题2是乘方、乘法以及加法混合运算，借助教师的追问学生进一步体会到在实数范围内数的运算顺序以及运算律仍成立．通过42+42=82，说明数的合并与整式中合并同类项是一致的，体现了数式通性，为二次根式的学习埋下伏笔，发展学生推理能力和运算能力．

问题3：如图6，数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且2c+6与d－4互为相反数，求2c+3d的平方根和立方根．

因2c+6与d－4互为相反数，可得2c+6+d－4=0，若学生不能够求出c和d时，教师追问：一个数的绝对值是什么数？d－4表示的意义是什么？从而帮助学生求出c和d的值．

设计意图再次借助数轴对实数范围内绝对值的非负性及a的双重非负性等知识进行复习，让学生深刻理解算术平方根的概念，为二次根式相关性质学习奠定基础．

环节三融会贯通，数往知来

问题4：已知（x－1）2=4，求x的值．

变式：请仿照以上题目编一道能用直接开立方求解的方程，并解方程．

问题5：若an=b（a>0且a≠0，b>0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n），如25=32，则5叫做以2为底的32对数，记为log232（即log232=5），根据以上运算规则，log381= ．

对问题4，学生根据平方根的定义，可知x－1=±4，x－1=±2，从而得到x=3或x=－1．变式训练中学生仿照问题3能够编出如（x－1）3=1形式的方程，并利用立方根相关知识快速求解．对问题5，学生通过阅读能够理解log381，也就是已知底数为3，幂为81时，求指数.答案为4．

设计意图问题4使学生体会从有理数扩充到实数不单是生产生活的需要，同时也是数学知识内部生长的需要，为一元二次方程和一元三次方程的解法——直接开平方、开立方法解方程提供依据．问题5对数问题体现了与高中知识的衔接，乘方是已知底数和指数求幂，方根是已知指数和幂求底数，而对数是已知底数和幂求指数，通过此问题进一步明确了三个量底数、指数、幂之间的内在关系，是对逆运算的完善，为相关知识研究提供思路，引导学生用发展的眼光学数学．两个问题通过迁移学生已有知识经验和技能，在举一反三、类比推理中逐步建构新知，完善数系结构，并通过回顾反思进一步强化迁移学习的基本经验，提高学生高阶学习能力[2]．

环节四：盘点收获，数不胜数

引导学生从以下几个方面进行总结：

（1）你掌握了哪些知识（基础知识）？

（2）你学会了哪些解题方法（基本技能）？

（3）你运用了哪些数学思想（基本思想）？

（4）你总结了哪些复习经验（基本活动经验）？

（5）还有什么感悟和思考？

设计意图新课标指出，核心素养导向的教学目标是对“四基”“四能”教学目标的继承和发展，“四基”“四能”是发展学生核心素养的有效载体．基于此本节课归纳总结最终落脚在四基上，其中问题1和2主要对应本节课的目标1，问题3和4主要对应目标2，问题5是引导学生进行拓展延伸，五个问题体现了教学评的一体化，可有效促进学生核心素养的发展．

环节五：知识建构，数向未来

（1）随着教学推进，形成本章的知识结构图，如图7．

（2）播放数系扩充历程小视频（略）．

设计意图大单元整体观下的章单元复习，不仅要关注不同知识点之间的纵横关联，更要强调知识的整体性、思想方法的一致性．基于此，本环节用整体结构图统摄，全景展示初中阶段实数知识结构脉络，并通过实数的扩充以及实数研究路径把整个章节贯通起来，形成前衔后含的单元，让学生既见木又见林，便于后续知识的有序开展．为帮助学生进一步完善数系知识的整体建构，了解数系的生长扩充过程，为高中知识的学习埋下伏笔，在本节课最后通过播放小视频方式让学生了解数系扩充到实数之后，随着生产生活的需要再次扩充，产生虚数，数系从实数扩充到复数域，实现小初高知识贯通整合，引领学生用数学的思维思考现实世界．

4勤反思，促成长

4.1数形互助，化难为易

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”数形结合思想的运用可以使某些抽象问题变得直观化、形象化，能够将抽象思维化为形象思维，有助于学生把握数学问题的本质．本章主要是相关概念学习，而数与代数部分的概念无疑是抽象的、难以理解的，本节小结课首先以正方体为载体，纵横串起实数一章的相关概念，建构起了整个实数知识体系，这种以“数”辅“形”形式，将抽象的“数”形象化、立体化，深化学生对概念的理解．其次以数轴为媒介，对实数的性质、运算以及应用进行复习，通过以“形”助“数”形式，进一步使“数”的知识直观化，激发学生学习数系知识的兴趣．本节课通过数形结合思想将抽象的实数知识具象化，让知识有了落脚点，数与形的融合将数系知识化难为易，提高了学生复习数与代数知识的学习力，培养了学生的抽象能力、运算能力以及几何直观，实现了学生思维由低阶到高阶的转变．

4.2题组搭台，运算唱戏

小结课是对整章内容进行再次整体认知，加固并重构已有知识结构，多角度形成对本章“终端”认知的过程．本节课第一大环节通过以实际问题为背景的题组（追问形式呈现）为载体，围绕学生学过的正方体的表面积、体积，深化本章相关概念，体会乘方与开方互逆关系，感受数系扩充的必要性．第二大环节以数轴为载体设置题组练习，类比有理数研究路径对实数定义、相关性质、运算、应用四个方面进行复习．在复习过程中始终遵循以生为本，顺生而学，抓住知识的生成与生长，最终形成实数知识框架，建立起六种运算认知结构的“承重墙”，在知识线整体生长的结构化过程中，整体地学、联系地学，进而形成知法明理的运算大概念．

4.3明暗相合，拔节生长

本节课学习主要抓住两条线．其一是运算发展明线：本节课的学习下接起小学学习的加法、减法、乘法、除法运算，平转承初中学习的乘方和开方运算，上通达高中将要学习的“对数”运算，这条运算主线分散于三个学段不同的章节中，使得学生学习数与代数部分的知识呈现碎片状，本节课作为中程章节发挥了前承后衔的作用，将运算贯通起来．其二是思想发展暗线：本节课始终抓住数形结合思想，通过正方体和数轴两个载体将本章知识进行串联，融通了整个知识结构，使得抽象的概念学习立体化、形象化．基于大单元整体教学的思考，作为小结课需要让这明暗两条线交互融汇，相辅相成，让学生通过问题链的引思以感受知识的生成、生长和发展，融通了知识脉络与方法架构，让知识整体化、结构化，有效降低了学生的认知负荷，不仅便于更长久保存信息，还能促使学生深度理解概念，提振信心，提质增效，进而促进学习能力的提升．

参考文献

[1]郭玉峰.关注数学的整体性和关联性[J].数学通报，2024，63（03）：1-5.

[2]顾晓东. 基于高阶思维的数学学习活动设计策略[J].教学与管理，2019（14）：46-48.

作者简介

王伟燕（1984—），女，山东阳信人，中学高级教师，滨州市名师，滨州市教学能手，滨州市优质课一等奖得主;主要研究方向是课堂教学及其研究．

邢成云（1968—），男，山东无棣人，中学正高级教师（二级教授），国家“万人计划”教学名师，齐鲁名师，山东省特级教师;主要研究方向是课堂教学及其理论研究．