农村中学生数学运算能力的现存问题及培养策略

【摘要】数学运算能力是数学核心素养之一，是数学学习的奠基石，也是学生日常生活的必备技能.农村中学学生的数学运算基本功较为薄弱，主要表现出运算顺序不正确、算理领悟不透彻、基本概念不牢固、运算细节不注意等问题.为培养学生的运算基本功，应对上述问题，文章提出“激发运算兴趣，端正学生的运算态度”“革新运算教学，提升学生的运算认知”“丰富运算练习，发展学生的运算思维”“规范运算行为，培养学生的运算习惯”等培养策略.

【关键词】初中数学；数学运算；农村中学；培养策略

1数学运算概述

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）明确指出，运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力[1]8.除此之外，《课标（2022年版）》对学生的运算能力提出要求：能够明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系；能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题；能够通过运算促进数学推理能力的发展[1]8.

运算能力是数学核心素养之一.义务教育阶段是为学生学习和生活奠定基础的阶段，义务教育阶段的数学课程则立足于学生核心素养的形成和发展.《课标（2022年版）》强调，初中阶段的核心素养主要表现在9个方面，运算能力是其中之一.教师在教学中应注重发展学生的运算能力，使学生形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度[1]8.

运算能力是数学学习的基石.著名数学家华罗庚先生说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学.”数学的应用遍布社会的各个方面，直接为社会创造价值，推动生产力的发展.对于初中生而言，数学运算变得越来越复杂，如数域不断扩充，加入了负数、无理数；算法越来越多，逐渐加入许多新的运算公式；运算对象从具体的数字过渡到抽象的字母、代数式；运算形式也变得多种多样.每一个新知识点的学习都是建立在运算基础上的.

运算能力是学生日常生活的必备技能.在学生的实际生活中，数学运算无处不在，从每月的收支结余计算、购买物品之间的利润比较，到投资理财、实验数据处理、人工智能、大数据等各个方面，均与运算强关联.由此可见，培养学生的运算能力是至关重要的.

2农村中学生数学运算能力的现存问题

随着城市化进程的迅猛发展，农村中学的生源流失成为不可逆转的趋势，农村中学教师的素质也亟需与时俱进.现如今，为提升学生成绩，农村中学教师过于注重学生理论知识的掌握和解题结果的正确性，而忽略解题过程中学生运算能力的培养.教师一味地讲解运算步骤，导致学生只是对运算步骤进行了掌握，但是没有进行实践操作[2]74.一堂数学课上完，在数学运算方面，学生获得的数学活动经验微乎其微.而教师对运算能力的忽视，不仅会导致学生做题错误的频繁出现，还会导致教学效果的良莠不齐，最根本的是打击学生对计算和完成习题的热情[3].不少学生对于运算能力的认知存在偏差与误区，认为运算能力并不需要刻意地去进行训练，只要掌握了日常教学内容，运算能力自然而然就会随之提升[4].这一典型的误区，导致学生的运算能力并未得到及时的、专门的训练与提升，最终，学生掌握了理论知识，但解题时因运算能力差，出现耗费时间过长、正确率和得分率不如预期的结果.如表1所示，笔者曾在七、八、九三个年级分别进行了运算错误原因调查，让学生找出自己运算错误的主要原因.

对收集的数据进行分析，农村中学生数学运算能力的现存问题主要表现在以下四个方面.

2.1运算顺序不正确

运算顺序是正确运算的前提.进行混合运算时，先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果存在同级运算，则按照从左到右的顺序进行；如果有括号，则先计算括号里面的.这些是运算的基本逻辑.学生往往死记硬背，没有真正理解其内涵，面对复杂的数学运算，常常手忙脚乱.比如3-2×（-3）=1×（-3）=-3，学生先算减法，再算乘法.又如3a-2（a+1）=3a-2a-1，学生在去括号时没有先进行乘法运算.这两个例子均出现运算顺序错误.

运算顺序出现错误，在七年级上学期出现的较多.刚升入初中，学生就接触到有理数、绝对值、相反数、乘方等新的概念，运算对象由正数扩展到负数，难免出现不适应的情况，计算时经常搞错答案的正负号.部分学生的四则混合运算基础本就不扎实，再加上正负号、绝对值、乘方等知识的考查，增加了运算的难度，因此顾此失彼，出错较多.

2.2算理领悟不透彻

算理是运算的核心.在注重掌握算法、忽略理解算理的现状下，学生很容易遗忘或混淆算理知识，且学生头脑内的知识都是毫无关联的点，无法形成系统的数学体系，也就无法根据实际问题选择正确简便的运算方法，影响运算的效率.

初中数学的运算形式，不仅有数值运算，而且增加了代数、方程、几何、函数等的运算，运算法则和算理更为复杂.有不少学生记忆不清楚、理解不透彻，在运算中问题频出.比如12-183=123-18，学生在化简时，第二项缺少分母，这是对乘法分配律的错误运用.又如解方程3x+12-x-16=1，有的学生在去分母后将方程写成3（3x+1）-x-1=1，这是因为学生对于去分母的相关算理理解不透彻.去分母时不能漏项，第二项的分子x-1应该作为一个整体加上小括号，右边的1也应该乘以6.整式的乘除运算中，有关幂的运算出错较多，例如a2a3=a6，（a2）3=a5，这是将同底数幂相乘和幂的乘方两种运算混为一谈.这两个运算公式都是根据幂的意义推导出来的，学生若能真正理解其算理，类似的错误就能避免.

2.3基本概念不牢固

初中数学课程涉及诸多知识点，学生需要掌握的公式、定理和概念较多，在学习时学生极易出现知识性方面的错误，混淆运用或不能正确理解数学公式、定理和概念，这些均会造成学生运算出错[2]73.比如-22×3×12=4×3×12=6，学生把-22算成4，这是对幂的底数分辨不清，将-22与（-2）2混淆，出现张冠李戴的情况.有的学生对具体数字的运算无法迁移到字母上，例如学生会计算2×2=2，但面对（a）2就束手无策了，归根结底是没有理解“算术平方根”的概念.

几何中概念很多，但有一些容易混淆.例如“两点之间的距离”和“点到直线的距离”这两个概念，前者指两点之间线段的长度，后者指点到直线的垂线段的长度；又如“到三角形三个顶点的距离”和“到三角形三条边的距离”这两个概念，前者指三条角平分线的交点，后者指三条垂直平分线的交点；再如三角形的内心和外心等等.总有学生在做题时因混淆概念而出错，这都是对概念掌握不牢固所致.

基本概念掌握不牢固将直接影响学生数学思维的深度发展.数学思维是人脑和数学对象互相作用，并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动.在学生并未掌握基本概念的情况下，即学生的头脑对数学对象并不熟悉，学生也无法发现问题中的隐含条件，无法根据问题选择合适的方法进而简化运算，学生的数学思维发展自然受到限制.因此数学运算能力从不是一个单独的板块，它直接反映了学生数学思维的发展水平.

2.4运算细节不注意

数学是最严谨的学科，若想获得正确的结果，还有许多细节需要注意，粗心大意往往会“失之毫厘，谬以千里”.例如化简x2-1x2+x=（x+1）（x-1）x（x+1）=x-1x=1-1x，正确结果应为x-1x，因为分式化简的结果只能是整式或分式，而学生画蛇添足，最后的1-1x既不是整式也不是分式.再如y=（m-1）xm2-2是反比例函数，求m的值.有的学生运算m2-2=-1，得出m=±1，直接把答案写成m=±1，却忘记了还有一个隐含的条件是系数k≠0（即m-1≠0），正确答案只能是m=-1.同时，这也反映了学生缺乏良好的学习习惯，审题不细、做题马虎、不爱检查、不习惯使用草稿纸、偏爱口头计算等.运算时，若能思考周密、关注细节，留意显性条件或隐含条件，就可减少无谓的失分.

3农村中学生数学运算能力的培养策略

“万丈高楼平地起.”教师和学生应该重视数学运算能力的锻炼，培养扎实的运算基本功.当然，对农村中学生数学运算能力的培养不是一蹴而就的，需要时间和精力的大量投入，同时也要讲究培养策略.

3.1激发运算兴趣，端正学生的运算态度

对于大多数学生来说，数学运算是繁琐复杂又枯燥无味的，常出现畏难情绪或对数学运算产生厌倦.作为教师，应该激发学生的运算兴趣，充分调动学生的学习积极性，激发学生的思维创造性，端正学生对待数学运算的态度，带领学生逐渐地重视运算、不畏运算、热爱运算.

3.1.1问题激趣，引起学生注意

例如，在引入乘方的运算时，可以抛出一个问题：请从3，4，5中任选2个数字进行运算，最大值是多少？当学生回答4×5=20时，告诉他们还有另外的算法，可以得到更大的数值.学生此时兴趣正浓，教师顺势引入幂的概念及简单运算.课堂小结时再回到这个问题上，学生知道可以利用乘方进行运算，最后运用所学比较计算54与45，得出最大数值是45，等于1024.

3.1.2体验成功，让学生爱上运算

“知之者不如好之者，好之者不如乐之者.”持久的动力来自于真正的爱好.教师可以组织一些具体的实践活动，与学生的日常生活关联，围绕教学内容创设各种情境，在情境的帮助下强化学生对算理的认知和理解，有效提高学生运算能力.比如计算衣服的折扣价格、估算水果产量、测量房屋高度、进行研学预算等，让学生在解决实际问题中体验成功的乐趣，认识到运算与实际生活密切相关，从而真正爱上运算.在今后的生活中，学生也将下意识地运用运算解决实际问题，强化成功的经验和运算应用意识，积累丰富的数学活动经验.

3.2革新运算教学，提升学生的运算认知

运算时用到的概念、公式、定理、法则等基础知识，对于十二三岁的中学生来讲，并不是一听就会、一点就透的，教师需要革新运算教学，注重运算原理讲解，采取多种方法帮助学生理解，提升学生的运算认知.

3.2.1从生活中引入，强化认知理解

学习“点到直线的距离”时，可让学生回忆运动会中的跳远成绩的测量方法：测量从落地点（点）到起跳板的距离并且要使软尺垂直于起跳板（直线），而不是测量从落地点（点）到起跳位置（点）的距离.这样就把“点到直线的距离”和“两点之间的距离”区分开了.此方法来源于学生生活，学生很容易理解.

3.2.2在操作中理解，促进认知深刻

几何上的一些概念，可以让学生动手做一做，试一试.例如在角的平分线与三角形的平分线一课时，让学生准备一个三角形，然后将一个内角的两条边重合，留下的折痕就是这个内角的平分线.分别折出三个内角的平分线，学生会发现这三条折痕交于一点，这个交点就是三角形的内心.讲解勾股定理时，让学生画几个直角三角形，然后分别测量三条边，观察三条边的数值之间有什么关系，或者用几何画板演示.这些活动使抽象的知识变得直观形象，更容易给学生留下深刻印象.

3.2.3在方法上指导，提升认知方法

有些公式或定理等基础知识，不需要让学生死记硬背，记忆方法有各种妙招，教师可以分享给学生.例如：平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，可以记为“两数和乘以这两数的差，等于这两数平方差.平方差，就两项；同号平方减去异号平方”.又如完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，可以记为“完全平方有三项，首平方，尾平方，首尾二倍放中央.符号跟着前面跑，同号取正异号负”.这样用文字语言代替符号语言，学生更易记住.

3.2.4从网络上借力，丰富认知途径

丰富多彩的网络资源也可以为我所用，起到事半功倍的效果.现在有不少自媒体账号以更直观的方式演示数学公式定理的推导过程，让数学知识生动起来.教师可以在课堂上播放这些资源，让枯燥的推理过程变得有趣，帮助学生理解.除此之外，网络上还有很多质量很高的数学资源都可供教师借鉴.

3.3丰富运算练习，发展学生的运算思维

“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行.”练就扎实的运算基本功，必须进行大量的练习，方能形成运算技能.只懂得算理和算法，而不进行练习，无异于纸上谈兵.只有对学生进行适当的有针对性训练，多练、巧练、反复练，才能提高学生的解题效率和质量.丰富的运算练习也是发展学生运算思维的捷径，从不同角度出发探究问题的解答思路，可增强学生思维的灵活性.

3.2.1由易到难，循序渐进

学生运算练习要遵循学习规律，先分别进行单一的运算训练，夯实基础，而后提高难度，进行混合运算，学生就能慢慢适应.所谓“小步子快反馈”的教学优势正在于此.尤其是面对农村的初中学生，更要慢下步子，脚踏实地，稳步推进.此外，教师应精心设置习题，多一些一题多解型的问题，从不同角度出发探究问题的解答思路，有助于学生直观地比较运算方法之间的区别，发散运算思维，增强思维的灵活性.

3.3.2重点突出，贵在坚持

对于运算中的易错点，教师应该了然于心，并时常予以强化训练.比如，学完平方差公式与完全平方公式后，有的学生会出现类似错误：（-x+y）（x+y）=x2-y2；（x-y）2=x2-y2.教师除在新授课时强调如何把握公式的结构外，还可以设置相应的习题：①（3x+5）（3x-5）;②（-5+3x）（-5-3x）;③（3x+5）2;④（3x-5）2;⑤（-5-3x）2，让学生在运算中进行比较、区分.

此外，学生还应坚持天天训练，每天拿出3分钟，进行口算比赛、板演算题、小组接龙或者运算小测验等.学生在比赛中体会竞胜的快乐，在小组合作中感受共同进步，在老师的肯定鼓励中增强信心，自然会对数学运算燃起信心.

3.3.3与时俱进，创新形式

现代多媒体技术的应用，增强了练习趣味性，提高了课堂效率.因此教师也要与时俱进、不断学习，创新练习的形式.例如利用希沃白板组织课堂活动，软件里提供了许多课堂活动的模板，如判断对错、趣味选择、知识配对、超级分类、分组竞争等.面对这些新的练习形式，学生都表现出浓厚的练习兴趣，教师使用起来也非常方便.

例如学完单项式后，教师可以设计一组习题，帮助学生辨别系数和次数，可以进行“分组竞争”：每组各派出一个代表进行PK，在相同时间答题，得分高者胜利；也可以设计“判断对错”活动，让学生抢答，指出错误并改正.

附：单项式系数与次数巩固练习题：

①-x2y3与x3没有系数;

②-ab3c2的次数是0+3+2=5;

③2πR2h的系数是2;

④-32x2y3的次数是7;

⑤-a3的系数是-1.

3.3.4及时反馈，以评促学

教师应根据练习的形式，选择恰当的、多样的评价方式，及时给学生以正面的鼓励，如口头表扬、小组加分、呈现分数、向家长报喜等，提高学生的学习积极性.每到月末进行总结，给予优胜者和进步者适当的奖励.奖品的具体内容不限，可以向学生征集奖品内容，提高学生的参与热情.通过及时而有趣的评价活动，充分调动学生参与学习的主动性与积极性.给学生以中肯的评价，有助于学生对自身的学习行为有正确的判断，从而能够调节自己的学习行为.

3.4规范运算行为，培养学生的运算习惯

培养学生认真审题、规范解答、严谨检查、及ea8e7081afe11b8017be0c77d7b35494时反思的良好习惯，有利于学生提升运算能力，养成良好的运算习惯.

首先，要认真审题，弄清题目要求.看清数字符号，明确运算顺序.看看有无显性条件或隐含条件，杜绝思维漏洞.其次，要规范解答，保持卷面整洁.规范运算过程，不随意省略运算步骤.指导学生分区使用草稿纸，不乱写乱画.第三，要严谨检查，养成验算的习惯.这样能杜绝因粗心导致的错误，有助于养成一丝不苟、严谨求实的科学态度.第四，要及时反思，养成良好的改错习惯.学生建立错题记录本，集中纠正错题，并标明错因.长期积累，保留珍贵的复习资料，发挥错题的最大作用和价值.学生可以时时翻看，不断反思，坚持练习，及时改错，运算错误会越来越少.

教师应根据学生的实情，“因材施教”“因人而宜”，选择适合的方法.根据农村中学的现状，教师在教学时抓住基础、稳扎稳打，让学生认识运算对象、掌握运算形式、理解运算规则，最终算得准、算得快，练就扎实的运算基本功，并能够在具体情境中运用所学知识主动解决复杂的问题，发展数学思维，构建系统的运算体系.

运算能力的培养不是一蹴而就的.新时代教师不能固步自封、不思进取，也不能好高骛远、舍本逐末.教师要发扬传统精华，借鉴现代技术，帮助学生打牢运算基础、发展运算能力、培养适应终身发展需要的核心素养.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022年版[M].北京：北京师范大学出版社，2022：8.

[2]黄碧桂.初中数学教学中学生运算能力的培养策略分析[J].考试周刊，2023（10）：73-76.

[3]郑周明.核心素养视角下初中数学教学中学生运算能力的培养策略分析[J].考试周刊，2020（45）：97-98.

[4]徐旭鹏.核心素养视角下学生运算能力的培养策略分析[J].数理化解题研究，2024（02）：59-61.

作者简介

于杰民（1976—），男，山东平度人，教育硕士，中学一级教师;主要从事初中数学教学研究.