青蛙交换游戏中的数学

【摘要】游戏能激发学生学习数学的兴趣，青蛙交换游戏规则简单，但蕴含的数学思维丰厚.通过青蛙交换游戏及其拓展，在玩中学，在学中思，发展学生从特殊到一般、化归等数学思想，提升学生的抽象与模型观念等素养.

【关键词】青蛙跳游戏；玩中学；学中思

数学家马丁·加德纳曾经说过：“唤醒学生的最好的办法是向他们提供有吸引力的数学游戏.”为此，在七年级（上）开设了一堂研究性的学习课“青蛙交换游戏中的数学”.

1青蛙交换游戏及其规则

如图1，水面上有7块石头，除了中间的1块石头外，左边有3只绿青蛙（），只能朝右方向跳；右边也有3只赤青蛙（），只能朝左方向跳.跳动的规则：必须按照规定的方向跳到与其相邻的空石头上，或者越过1只相邻青蛙跳到空石头上，直到左边青蛙与右边青蛙整体交换为止.

教师出示青蛙跳石头的游戏，由于游戏情景拟真，学生很是喜欢，教师讲解青蛙跳动的规则，并同时给出青蛙跳动的操作，在学生掌握规则后，四人一小组进行实验操作，如图2，教师给每组学生六颗棋子，其中3颗绿色（），3颗赤色（）（分别代表两种不同的青蛙颜色）进行模拟游戏.

2交换青蛙游戏实践

通过学生实践操作后，大部分小组都声称自己能玩这个游戏，教师在了解各小组的实验操作后，选择有代表性的几个小组进行分享.

小组1：我们小组在实践的过程中，遭遇了许多次碰壁，在跳的过程中，我们发现青蛙跳动是有规律的.如图3，第1步：绿青蛙向空石头跳一格；第二步：若中间的绿青蛙向邻近的空石头再跟上跳1格；那么右边5个青蛙再也无法跳动.

因此，如图4，第1步绿青蛙跳动后，第2步应该是赤青蛙越过绿青蛙向前跳.图3

那么接下来第3步如何跳动呢？我们也进行上面的分析，如图5得到完整的青蛙跳动过程.

小组1汇报结束后，教师补充道，刚才第1小组用两种颜色的圆形替代青蛙跳，但在实际操作过程中，发现画图与涂色操作比较麻烦，不用这种方式表示可以吗？

此时，有学生说用文字替代有颜色的图形；也有学生说用几何图形如“△”替代绿青蛙，用“○”替代赤青蛙；有学生说用字母替代上述的青蛙.

教师向大家问道，上述哪一种方法表示简洁又容易操作呢？

最后大家都认同用字母表示简洁，操作方便.

接下来，各小组用字母表示的方法继续分享他们的想法.

第2小组：我们小组在操作三只青蛙时，不利于总结规律，其中有同学提议，从简单的1只青蛙开始.记左边第一只绿色青蛙为A1，右边第一只赤色青蛙为B1，其它左右青蛙依次类推，空石头为O.

1只青蛙：开始（A1OB1）→（OA1B1）→（B1A1O）→（B1OA1）.

2只青蛙：开始（A1A2OB2B1）→（A1OA2B2B1）→（A1B2A2OB1）→（A1B2A2B1O）→（A1B2OB1A2）→（OB2A1B1A2）→（B2OA1B1A2）→（B2B1A1OA2）→（B2B1OA1A2）.

这样就能发现左右各三只青蛙是怎样跳的，过程与图5类似（过程略）.

第3小组：我们小组研究发现

3只青蛙：开始（A1A2A3OB3B2B1）→（A1A2OA3B3B2B1）→（A1A2B3A3OB2B1）→（A1A2B3OA3B2B1）→（A1OB3A2A3B2B1）.

发现在跳动过程中出现A2A3B2B1，或更一般地AABB或BBAA都是不能继续走下去.正确的跳动格式是ABAB或BABA，也就是说与A相邻的是字母B，与B相邻的字母是A.根据这一特点，实现青蛙整体交换.

第4小组：我们小组一方面是从结果出发，逆向思考，同时也结合开始状态顺向思考.开始状态：（A1A2A3OB3B2B1），若要较快实现从左边移到右边，那么每只青蛙跳动的总步数尽可能相同.

从逆向思考：目标状态（B3B2B1OA1A2A3）→（B3B2B1A1OA2A3）或（B3B2OB1A1A2A3）→（B3B2OA1B1A2A3）或（B3B2A1B1OA2A3）→…

另一方面，从开始状态（B3B2B1OA1A2A3）→（B3B2OB1A1A2A3）→（B3B2A1B1OA2A3）→…

结合两方面，就能实现左边青蛙与右边青蛙整体交换.

在四个小组汇报后，教师组织同学对他们的汇报进行评价，并对他们的方法进行总结与提炼.师生总结第1小组是边实践，边总结与反思错误，称第1小组为“摸着石头过河”，这样的做法也是大部分同学的想法与思路；第2小组遇到复杂问题，退一步，从简单的问题开始，然后再总结规律，称第2小组为“化复杂为简单”法，遇到复杂问题可以退到简单的问题中去思考，这一种方法是值得学习与推广的方法；第3小组在实验青蛙跳跃过程中，总结了判定法则，形如“AABB或BBAA”为不可能跳跃法的位置，形如“ABAB或BABA”为可能跳跃法的位置，称第3小组为“特征判定”法，他们的方法是善于提炼与抽象，进行特征识别，这一点更值得大家学习.第4小组既从结论出发逆向思考，又从条件出发正向思考，称这一方法为“综合与分析”法，是解决问题的常用方法.

总结与交流后，接着教师问大家，你们还有什么问题吗？或还会提出什么问题吗？

此时，一学生提出：左边2只青蛙，右边3只青蛙可以实现整体交换吗？或者更一般的，两边青蛙数量不等，他们能实现整体交换吗？

教师追问这一学生，你是如何想到这样的问题呢？

学生回答刚才青蛙交换游戏是两边相等，数量是对称的，不对称可以吗？这个游戏还能不能把左边青蛙交换到右边去，右边交换到左边去呢？我很好奇，于是就提出这样的问题.

教师表扬了这位同学善于从两边青蛙数量相等拓展到两边青蛙数量不等，这样的问题是一个好问题，然后把这个问题写在黑板上.然后再询问，大家还能提出不同的问题吗？

又一学生提出两边青蛙各3只时，一共跳了多少步才能实现左右青蛙互换呢？

提出问题后，马上有同学补充了这位同学的问题“两边各3只青蛙，至少需要多少步才能实现左右互换？”

教师追问这两位同学，你们是如何想到这样的问题呢？两位同学都谈到上述在做游戏时就已经思考了这个问题，需要多少步才能左右交换.教师表扬了这些提出问题的同学，在实践游戏时，不停的产生问题意识与问题，并且善于提炼这些问题，把游戏进行推广，使游戏变得更有挑战性.同时，教师总结了这些同学是如何提出问题的，提出问题的共性是基于已知游戏中的数量与数量关系，一个是从条件中的数量相等拓展到不等，另一些同学是基于操作结果的数量与数量关系，共有几步等，可见这些同学都拥有数学的眼光，善于从情景中提炼数与数量关系.

3青蛙交换游戏的拓展

教师先让孩子们猜想：两边数量不等的青蛙能左右互换吗？

大部分学生认为左右可以交换，小部分学生认为不能左右交换，教师追问这一些学生，你能否具体的说出，具有怎样数量关系的青蛙是左右不能交换的，这部分学生认为一边青蛙数量是奇数，另一边是偶数的，他们是不可能交换的，例如：左边青蛙3只，右边青蛙4只，是不能左右交换的.

教师一方面追问这部分学生，真的左右不能交换吗？请这一部分同学自己再验证，到底能不能左右交换，用实验验证自己的猜想.

另一方面，与他们观点相反的同学，请这些同学用实际的行动给出解释，很快一些同学给出了具体互换的做法（具体操作略）.

从中，青蛙互换游戏从左右两边数量相等拓展到左右两边数量不等，教师问学生，接下来我们还要解决哪些问题呢？

学生大部分提到，上述青蛙游戏在交换时，至少需要几步？

教师提出上述青蛙交换游戏有左右两边数量相等，也有左右两边数量不相等，你们认为先要研究哪个问题？

学生提出先探索左右两边数量相等的青蛙交换游戏.

教师追问学生为什么先研究左右两边数量相等的青蛙交换游戏呢？

学生们认为先特殊后一般，在特殊中找出规律，从中形成方法与解决问题的策略，教师非常赞成同学们这一想法.

教师再追问学生，那么如何研究呢？然后让同学们进行独立探索，而后再交流.

同学们在独立探索后，发现许多同学都知道游戏中交换的最小步骤.教师组织学生分享.

生1：假设左右两边青蛙各a只，想要使左边的青蛙交换到右边，最少需a（a+2）步

师：你是怎样得到这个答案的？

生1：上述实验操作青蛙跳的游戏过程中，当a=1时，最小需要3步；当a=2时，最小需要8步；当a=3时，最小需要15步.那么我就发现了跳动的规律是a（a+2）.当a=4时，验证的最小步数与这个代数式是一致的.

师：这位同学从特殊的1只青蛙，2只青蛙开始，然后发现规律，并用特殊值进行验证，这里渗透的思想是特殊到一般的思想，还有不同的想法吗？

生2：发现在青蛙交换游戏过程中，有一种是青蛙跳跃，另一种青蛙移动，跳跃每次是2格，移动是每次1格.通过对几个简单具体数进行统计，见表1.归纳推理可以发现共需要（2a+a2）步.

教师表扬了这位同学，在青蛙交换游戏过程中，关注青蛙运动的2种方式，根据移动的步数，把它分成两种跳动方式，这一想法很有独到性.

同时教师提出还有不同的解释吗？

教师再启发学生，刚才生2把青蛙交换游戏过程分成两种，一种是越过一只青蛙跳动，另一种是向相邻的空石头跳动，而跳动是每次跳2格，移动每次为1格，我们上述都是从数的角度去思考，数学中除数与数量关系视角外，还有其它的视角吗？

在教师的启发下，学生想到用形的方法进行解释，如图6.

开始状态时青蛙为（A1A2A3OB3B2B1），交换后的状态是（B3B2B1OA1A2A3）

从中可以发现每1只青蛙移动的格子数为4，那么共有6只青蛙，总移动的格数=4×6.

更一般地，如图7，左右若有a个青蛙，那么每只青蛙共移动（a+1）格，那么2a

只青蛙共移动的格数为2a（a+1）格，即移动总格数=2a2+2a.从另一个方面说明了青蛙跳动了a2次，移动了2a次.

教师再与学生一起从数与形两个方面对青蛙变化的步数是如何得到的，进行回顾，然后再进行总结其中的方法，从中让学生体会其中的数学思想方法.

在回顾上述的同时，教师又提出：“对于左右两边青蛙数量不等，若交换青蛙的位置，青蛙变化的步数最小又是多少呢？”

上述左右两边青蛙数量相等时，已经形成了解决问题的策略，同学们不知不觉的把这一种方法迁移到数量不等中去，见表2.

同时，也有学生从形的方法进行验证，发现上述规律的正确性.

小结：略.

4游戏教学实践思考

4.1游戏教学要从玩游戏中走向玩“数学”

在游戏教学中，一些教师存在一些误区，认为任一游戏都蕴含了数学教育价值.其实不然，现在各类商家为了赚钱，开发的游戏种类繁多，有些游戏纯属搞笑、娱乐，有的含有暴力、色情等不健康的游戏，因此游戏融入数学课堂教学，要对游戏进行筛选，游戏素材，如动画等画面形式要求朴素、自然、大方，游戏规则简单，游戏情景中蕴含丰富的数量与数量关系、图形与图形关系，便于学生能从游戏情景中提炼数学模型，发展孩子们的模型观念.例如，青蛙交换游戏， 两种颜色的卡通青蛙，操作中附上自然的青蛙声音，符合七年级学生的心理特征.同时游戏规则，就是青蛙跳，怎么跳呢？一种是青蛙跳到相邻的空石头上，另一种是越过相邻青蛙，跳到空石头.整个游戏的要求，左边三只绿青蛙与右边的三只赤青蛙进行整体交换.情节简单，但要成功的实行整体交换，却有一定的难度.特别在游戏情景中左右两边三只青蛙，因此在游戏的拓展中，青蛙的数量可以拓展到4只青蛙，5只青蛙，直到a只青蛙，当然也可以从左右青蛙数量相等拓展到数量不等.青蛙交换游戏中也可以从情景中抽象出数量关系，例如左右两边3只青蛙，最小跳动的步数是多少，寻求游戏中青蛙数量与跳动最小步数的数量关系，当然游戏中也可以从图形与图形关系进行抽象，把左右青蛙的位置抽象成数轴，每一个青蛙所在的位置都对应一个数.这样从数与形两方面思考跳动的步数.从中发现虽是简单的游戏，但却蕴含了丰富的数量与数量关系、图形与图形关系.

4.2游戏教学要从好玩走向会玩

受应试教育的影响，部分家长和教师认为玩游戏是“不务正业”，导致一些孩子有一种偏向，认为玩游戏是荒废学业，应该集中精力把成绩提高上去，其实这也是一种误导，游戏玩耍的背后是思维的博弈和智慧的较量，游戏的博弈和适度的紧张能很好培养抗挫折能力，提升孩子们的逆商，玩游戏本质上是玩思维和情商的多向训练.因此，教师首先要改变玩游戏是“不务正业”这样一种观念.其次，七、八年级的学生对游戏自然有一种吸引力，还保持激情与挑战的心理，然而现实的初中生们对游戏教学还是缺乏激情，究其原因，主要是游戏缺乏吸引力和挑战性.因此教师在选择游戏时，要考虑到游戏与孩子们的心理年龄是否相符，会不会吸引孩子们的眼球，有没有挑战性.

好的游戏自然就能激发孩子们的参与性，在玩中让孩子们体会心理的愉悦，体会到成功的乐趣，以及对失败的挑战和不服输的意志品质.在玩中学会玩，那是一种“真会玩”，会玩它不是鲁莽也不是胆怯，会玩它表现在思维上，表现在严谨的计算与理性的分析，表现在计算后勇敢的放弃.因此在游戏融入教学中好玩是一种心理体验，会玩是一种技能与能力，如何从好玩走向会玩呢？

首先，教师在玩中帮助孩子们提炼玩的基本经验.例如，在青蛙交换游戏中，不同的小组给出了不同交换方法，第1小组的方法“摸着石头过河”，第2小组学会从简单的游戏开始，思维上体现了“化一般为特殊”，第3小组的方法“特征判定法”，第4小组的方法既逆向思考，又顺向思考的“综合与分析”法.教师总结各小组的方法，清晰各小组的动作要领，让孩子们在玩中积累玩的经验，在玩中优化玩的方法.

其次，教师适当进行游戏升级与拓展.例如，在青蛙交换游戏中，从左右两边数量相等拓展到数量不等，从整体交换到最小步数的拓展.因此，教师在玩中帮助孩子们

学会经验的迁移，在游戏的升级中走向好玩.

4.3游戏教学要从会玩走向会思

玩游戏不是目的，通过游戏的玩耍，让孩子们学会一种应对的策略，通过游戏学会思考.

因此游戏教学，在玩中学会如何博弈与对策，在玩中学会理性的分析，在玩中学会一种做事的能力.

会玩，那是一种学习状态，会思是一种思维的状态.在玩中积累玩的经验与对策，是一种会玩的表现；然而在玩中不断地提出问题，优化游戏操作，简化游戏问题，那是一种思维.例如，在青蛙交换游戏中，有同学用几何图形表示青蛙交换游戏过程，有的孩子们却简化这一几何图形表示方法，用字母代替几何图形，同时为后继从数走向形，用数轴表示青蛙交换的最小步骤作好了铺垫.又如，当左右两边各3只青蛙时，孩子们已经会玩了，此时孩子们提出左右两边青蛙数量不等还能交换位置吗，从而自然进行游戏的迭代与升级.

因此，在玩游戏教学中，要对游戏失败后的片断进行反思，对每一个关键性的步骤进行思考，为什么是这样而不能那样.例如上述游戏中，有同学提出青蛙不可能跳动的位置形如“AABB”或“BBAA”，并解析为什么这样位置排列是不行的；其次，对每一个游戏即将完成后，教师要有意识的停顿与留白，反思游戏背后的博弈，进行理性的分析与思考.在失败中学会思考，在成功中学会总结.数学游戏不能单纯使学生停留在“好玩”上，教师必须引导学生在游戏中通过亲身参与和独立探索，建构自己的数学知识，获得对数学的理解，拓宽解题思路，使数学真正起到思维磨刀石的作用[1].

参考文献

[1]童文波.新课程让数学游戏走进初中一年级课堂[J].数学教学，2005（05）：24-25.

作者简介 张安军（1975—），中学正高级教师，浙江省特级教师，现任余杭区初中数学教研员;主要从事数学教育与初中数学命题研究，发表论文60余篇，其中人大复印报刊资料《初中数学教与学》全文转载6篇.