改进综合实践活动培养数学关键能力

【摘要】综合与实践是教学改革中教师要直面的新课题，教学过程中出现表层化困境.用好教材中的素材，对教材的内容进行教学改进，更深入开展综合与实践活动，遵循学生的认知规律，能促进学生思维螺旋式上升，培养学生关键能力.

【关键词】综合与实践;硬币滚动;数学实验;关键能力

1问题的提出

义务教育阶段，数学课程内容包括四大领域，即数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践.这四大领域中，综合与实践的开展出现表层化困境.出现这一困境，究其原因在于学科课程至上倾向、普适性目标取向、课程统整意识欠缺、忽视课程评价的作用[1].综合与实践的教学应适当采用项目式学习的方式，设计情境真实、较为复杂的问题，引导学生综合运用数学学科知识和跨学科的知识与方法解决问题[2]16.

数学综合与实践是教学改革中教师要直面的新课题，要关注情境的真实性、要关注素材的学科性、要关注问题解决过程的合理性，从而突显立德树人的价值.本研究通过“硬币滚动中的数学”项目式学习的教学改进，阐述培养学生数学关键能力的实践与思考.

2“硬币滚动中的数学”教学改进

数学教科书“综合与实践”活动的3个关键特征为综合性、实践性、开放性[3].这表明综合与实践活动知识要有层次性、内容要有别于教材、活动要跳出课堂.在设计上要有基于知识又超越知识的目标追求、基于教材又超越教材的活动内容、基于课堂又超越课堂的活动过程[4].

案例素材华师大版九年级下册综合与实践.

如图1，如果将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一个，而另一个沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了多少圈呢？似乎也是一圈？你不妨动手实验一下.你可能会发现此时实际上滚动了两圈.嗨！怎么不一样了？

这是什么原因呢？仔细想想，就清楚了.原来那个滚动的硬币的

圆心移动的距离是4πr，而沿着直线滚动时圆心移动的距离还是2πr.图1现在请你与你的同伴一起，重复以上实验，并尝试做一些新的实验，看看这里隐含着什么样的数学规律.

2.1教学改进之一：硬币在直线上运动

2.1.1创设情境，引发认知冲突.

教师拿出两枚硬币并提出问题：将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一个，另一个沿着其边缘滑动一周，这时滚动的硬币滚动了多少圈呢？

受制于教材编写的需要，“案例素材”把学生必需经历的“关键”探索过程直白告知学生，使学生的认知冲突变淡了，加上知识的跳跃性比较大，这就考验教师处理教材的能力，即如何引导学生“用数学的眼光观察世界”.

学生在课堂发生了争论，有的学生说是一圈，有的学生说是两圈.

2.1.2实验操作，验证猜想结论.

师：既然大家意见不统一，请大家把准备好的两枚硬币拿出来，动手演示，看看结果如何.

全班气氛马上活跃起来，学生动手操作，得出了比较一致的结论.

生：两圈.

师：明明是在圆周上滚动一圈，为什么转动的圈数是两圈呢？

教师引导学生提出问题：硬币在圆周上滚动，转过的圈数由什么决定？

2.1.3过程剖析，得到关键结论.

如何计算硬币滚动的距离具有重要的教学价值.

引导学生观察：滚动的硬币圆心起什么作用？

师：如图2，将一枚半径为r的硬币沿直线滚动一圈，硬币滚动的距离是多少？

生：等于圆的周长2 πr.

师：为什么？

生：圆周上任意一点滚动一周的距离，等于圆的周长.

师：大家观察一下，圆心在这个运动过程中，运动的路径是什么？运动距离等于多少？

生：圆心运动的路径是线段，因为四边形ABO′O是矩形，所以AB=OO′，即硬币滚动时，圆心经过的路径长等于硬币滚动的距离.

找到解决问题的关键：硬币在直线上滚动，硬币滚动的距离等于圆心经过的路径长.

师：反过来，当一枚半径为r的硬币，在长为a的线段AB上从A点滚动到点B时，需滚动多少圈？

生：a2πr圈.

现实背景中，要计算“硬币滚动的距离”比较困难，帮助学生在实际情境中发现和提出有意义的数学问题，转化为“圆心移动的路径长”进行数学探究，就找到问题的关键，为解决上述问题找到“钥匙”.

2.2教学改进之二：硬币在折线上运动

2.2.1直折结合，进行简单抽象.

引导学生循序渐进，运用从特殊到一般的思想，用数学的思维思考世界.

师：如图3，若线段AB长为a，点C为线段AB上任意一点，在C处将线段AB折成直角，这时这枚半径为r的硬币从点A滚动到点B需多少圈？

学生解决硬币在直线上滚动的问题后，继续引导学生发现问题、提出问题：如果硬币不是在直线上滚动，而是在折线上滚动，硬币滚动了多少圈？滚动的路径长又如何计算？

2.2.2辨析问题，从特殊到一般.

留下足够的时间，引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，利用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析等方法分析问题和解决问题，从而培养学生的数学关键能力.

生1：a2πr圈.

生2：不对，a2πr+14圈.

师：为什么？

生2：因为∠ECF=90°，所以圆心滚动的路径比直线段增加了90360·2πr=12πr的弧长，所以滚动了a+12πr2πr=a2πr+14圈.

师：如图4，若线段AB长为a，点C为线段AB上任一点，在C处将线段AB折成∠ACB=α，这时这枚半径为r的硬币从点A滚动到点B需多少圈？

生：因为∠ECF=（180－α）°，所以圆心滚动的路径比直线增加了180－α360·2πr=1－α180πr，所以滚动了a+1－α180πr2πr=a2πr+180－α360圈.

圆在折线上滚动，把圆心运动的路径，分解成圆在线段上和圆绕折角顶点滚动的路径，这就是“会用数学思维思考世界”的体现.

2.3教学改进之三：硬币在多边形外侧滚动

师：以上的研究都是硬币在线段和折线上运动，本案例中硬币在封闭的图形中滚动，怎么把折线变成封闭图形？

生：如果折线经过多次弯折，就可能使图形封闭成三角形、四边形或n边形.

师：如图5，若一个三角形的周长为a，这枚硬币沿三角形的外侧滚动一周需转多少圈？

师：如图6，若一个四边形的周长为a，这枚硬币沿四边形的外侧滚动一周需转多少圈？

师：如图7，若一个n边形的周长为a，这枚硬币沿n边形的外侧滚动一周需转多少圈？

生：不管是三角形、四边形、还是n边形，多边形外角增加的圆弧的圆心角为180n－180（n－2）=360°，即增加的圆弧长为2πr，所以转的圈数为a+2πr2πr=a2πr+1圈.

当圆在多边形外侧边缘滚动时，把圆心经过的路径进行分解，从而回归简化模型.这种思维是自然而然、合乎逻辑发生的，不是教师强加给学生，而是学生在教师的启发下“会用数学思维思考世界”.

2.4教学改进之四：硬币在圆周外侧滚动

通过前面的探究，基本可以达成以下三点共识：

第一，硬币在直线、折线和多边形外侧滚动，滚动的距离等于圆心经过的路径长.

第二，圆在多边形上滚动，可以分解成圆在线段上滚动和绕顶点滚动，每一个折线处的轨迹是圆弧，每一个折角处的度数之和等于360°.

第三，把多边形的边数无限增加，多边形就会无限接近于一个圆.

师：前面所提出的两个硬币转多少圈的问题能否解决？可以尝试利用极限思想.

生：如图8，移动的硬币圆心的路径是以点O为圆心，半径等于原来半径的两倍的圆周上，此时，圆心经过的路径长是硬币周长的两倍，所以移动的硬币转了两圈.

至此，问题得到解决.通过综合与实践，学生在教师的启发和引导下，探究出事物运动的一般规律，培养了学生“用数学的语言表达现实世界”.

2.5教学改进之五：硬币在多个圆周外侧滚动

创设相同或相似的问题，让学生通过知识迁移解决问题.

如图9，将一枚半径为r的硬币沿着另一枚半径为2r的硬币的边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动多少圈？

如图10，将4枚相同硬币摆放在桌上，固定1，2，3枚，让第4枚沿它们的边缘从圆O滚动到圆O′的位置，这枚硬币滚动多少圈？

“综合与实践”的教学，不要过于急“赶”进度，而是要引导学生经历解决问题的活动过程，这样所能起到的效果，一定也不亚于教师的讲解[5]．在“硬币滚动中的数学”的教学中，学生经历了完整的解决问题的活动过程（图11）.

本案例高度契合《新课标》中新增的“学业质量”内涵的描述.以结构化数学知识主题为载体，让学生形成抽象能力、推理能力、运算能力、几何直观和空间观念等.；第二，从符合学生认知发展规律的、熟悉的数学情境中，形成模型观念、数据观念、应用意识和创新意识等；第三，学生经历数学的学习运用、实践探索活动的经验积累，初步养成独立思考、探究质疑、合作交流等学习习惯，初步形成自我反思的意识[2].

3改进综合与实践、培养关键能力的几点思考

寻找综合与实践方面的素材不易，不要轻易舍弃教材中的素材，而是要挖掘课本习题中有价值素材并加以改进，这是培养学生数学关键能力的重要抓手，处理得当，事半功倍.培养学生的数学关键能力，势必要关注到综合与实践活动的综合性、实践性和开放性的特征，据此开展实践活动才能取得良好的效果.

3.1综合性要求教师要关注“问题”

教什么永远比怎么教更重要，因为教什么体现了教育背后的价值意义[6].“问题”的选择方面，要避免课程内容与学科的割裂，忌浅层体验、忌知识堆砌、忌个人主义.通过探究动机、解构、创生、生长的发生机理，期待深度学习在综合实践活动中的回归[7].教师有必要对活动问题进行校本建构，充分考虑学生的认知水平、思维方式、性别差异等，在主题活动过程中生成活动主题[8].

“问题”开发方面，要通过借鉴、整合、超越现实素材，形成项目式学习问题，开发具有数学学科本质的综合与实践课程，由点到面，由单项活动拓展到多项活动.问题的开发要遵循量力而行的原则，要注意体现学科本质，要注意跨学科素材的积累；要能引发学生的学习动机，诱发认知冲突；要解构素材，有探究的价值与意义；要有利于“创生”，进行内容与形式的“再创造”；要有利于“生长”，让学生从小课堂走向大社会.

3.2实践性要求教师要关注“过程”

课程目标中“四基”“四能”的提出，都指向学生数学关键能力的培养要重视学生的学习过程.从小学阶段的主题式学习到初中阶段的项目式，均要求教师要以合作者的身份参与活动过程，成为综合与实践活动的共同体.

关注综合实践活动的“过程性”，要求教师首先要探明学生的认知基础，并据此采取不同的对策：如果学生缺乏实践经验，教师要做好活动规划，再进行必要示范.对于较复杂的活动，教师要分解活动的过程，找出学生开展活动的难点，做好活动前的充分准备，再根据学生的实际，进行必要的活动示范与说明，增加学生活动体验与参与过程.

如果学生具备一定的基础，教师要为学生提供必要工具与技术支撑.常见的支架包括：（1）获取和收集信息的渠道；（2）可视化的数据分析工具；（3）交互和分享信息的平台；（4）模型设计和验证的技术；（5）展示作品和观点的途径[9]．提供支架本质就是关注学生的活动“过程”，让学生活动得以顺利、高效地开展.

3.3开放性要求教师要关注“评价”

“综合与实践”活动的开放性是指：在活动的条件、问题、过程、结果等环节上具有的多种可能[3]．这决定了教师要对活动的条件、问题、过程等进行全方位的评价，评价指向学生的学习能力发展.参考学业质量标准，评价的主体要多元化，评价的方式要多样化，评价要有利于学生自我监控活动的过程和结果.

评价活动的“问题”，要考虑是否融合“四基”的内容，问题是否具有现实意义，是否有利于学生体验数学活动来源于生活又服务于生活，让学生通过“问题”用数学的眼光观察世界；评价活动的“过程”，要考虑是否融合“四能”的过程，是否充分激发学生的学习兴趣，培养学习的信心，是否充分经历猜想、操作、验证过程，在探究过程中面对挑战性的任务，能勇于探索，乐于实践，让学生在实践“过程”中用数学的思维思考世界；评价活动的“结果”，要考虑学生是否能感悟数学思想，积累数学基本活动经验，能否感悟尊重事实、讲明道理的科学精神，体会数学表达的简洁与统一，让学生用数学的语言表达世界，将立德树人落到实处.

4结束语

设计主题明确的综合与实践活动，围绕该主题进行充分的建模、解模、应用，遵循认知螺旋式上升的规律，让学生在学法上经历“陌生—熟悉—贯通”的过程，经历“简单模仿—熟练掌握—创新方法”的过程，这是培养学生的数学关键能力的有效途径[10].曹一鸣教授提出的数学学科能力框架，将学生关键能力表现分为三个阶段 ，即“学习理解—实践应用—创新迁移”，综合实践课包括着现实世界问题解决的全过程，属于创新迁移阶段的表现.建立在“真实情境”上的实践改进活动，能为激发学生探究热情提供源源不竭的动力，让学生在问题解决的过程中不断提升数学关键能力.

参考文献

[1]高霞，陈莉，唐汉卫.中小学综合实践活动：困境、成因与出路[J].课程·教材·教法，2020（03）：76-80.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：人民教育出版社，2022：4.

[3]李海东，李健.新课标理念下的数学教科书“综合与实践”活动：“关键特征”“基本类型”与“呈现要点”[J].数学教育学报，2022（10）：14-18.

[4]张伟俊.数学“综合与实践”活动的有效设计研究[J].上海教育科研，2018（10）：82-86.

[5]吴立宝，刘颖超.比较视域下的“综合与实践”学习领域解析[J].数学教育学报，2022（10）：19-23.

[6]孙学东.如何设计和实施数学跨学科实践项目[J].人民教育，2022（15/16）：102-103.

[7]沈小碚，罗章.论深度学习在综合实践活动中的发生机理[J].教育科学研究，2021（10）：77-81.

[8]李臣之，阮沁汐，邓智虎.中学综合实践活动主题适应性调查研究[J].课程·教材·教法，2020（06）：22-28.

[9]郭衎，曹一鸣.综合与实践：从主题活动到项目学习[J].数学教育学报，2022（10）：9-13.

[10]潘竹树，李祎.借助数学模型 培养关键能力：以“最短路径问题”为例[J].数学通报，2022，61（10）：39-43.

作者简介 潘竹树（1976—），男，中学高级教师，福建省中学数学学科带头人；初中数学关键能力培养研究获福建省教育学会评选的基础教育教学成果类三等奖，论文类二等奖;主要从事初中数学教育教学研究，发表文章10余篇，其中1篇被中国人民大学复印报刊资料中心《初中数学教与学》全文转载.