分层模式下初中数学单元整体教学实践

随着教育理念的更新，个性化教学逐渐成为教育界的共识。在这一背景下，分层教学模式应运而生，旨在满足不同学生的学习需求和能力水平。基于此，以“二次函数的图象和性质”这一单元为例，探讨在分层模式下如何实施单元整体教学，以期提高教学效果，促进学生数学素养的全面发展。本文通过对这一单元的教学内容进行深入研究和实践，旨在探索出更加科学、有效的分层教学模式，为初中数学教学改革提供有益借鉴。

一、教学目标

1.掌握二次函数的基本形式、定义域和值域；理解二次函数的图象特征，包括开口方向、对称轴和顶点等性质。

2.引导学生通过观察、分析和归纳二次函数的图象和性质，培养学生的观察能力和逻辑思维能力；通过分层教学，引导学生根据自身情况选择适合自己的学习方法和节奏，培养学生的自主学习能力。

3.激发学生对数学学习的兴趣和热情，增强学生学习数学的自信心；培养学生的数学应用意识，使学生认识到数学在日常生活和科技发展中的重要作用。

二、教学准备

（一）教学内容分层

1.基础层

涵盖二次函数的基本定义、一般形式（y=ax2+bx +c）、定义域和值域；简单的二次函数图象绘制，如y=x2的图象，以及基本的图象性质，如开口方向、顶点等；基础性质的应用，如求函数的最值、与坐标轴的交点等。

2.提高层

深入讲解二次函数的图象变换；复杂二次函数图象的绘制，如y=ax2+bx+c（a≠0）的图象绘制和性质分析；利用二次函数的性质解决一些稍复杂的实际问题，如利润最大化、路径选择等。

3.拓展层

探讨二次函数与其他数学知识点的联系，如一元二次方程、一元二次不等式等；引入二次函数的实际应用案例，如物理中的抛体运动、经济中的成本收益分析等；鼓励学生进行探究式学习，自主提出问题、寻找答案。

（二）教学材料准备

教学课件、教学工具、应用案例。

三、教学过程

▲第一阶段：引入与分层内容设计

在教学开始，为了迅速吸引学生的注意力，我通过一系列实际生活中的例子来引入二次函数的概念。我展示了一个模拟的抛物运动动画，让学生观察物体在空中形成的抛物线轨迹，并引导他们思考这一轨迹背后的数学原理。随后，我又通过展示拱桥的图片，让学生认识到拱桥的形状其实也可以用二次函数来描述。这些生动的例子不仅激发了学生的学习兴趣和好奇心，也为后续的学习打下了坚实的基础。

在学生对二次函数有了初步的认识后，我进一步介绍了二次函数在数学领域和现实生活中的应用。我列举了诸如物理中的抛体运动、经济学中的成本分析、建筑设计中的拱桥设计等实例，让学生意识到二次函数不仅仅是一个抽象的数学概念，它在实际生活中有着广泛的应用。这样的介绍不仅加深了学生对二次函数重要性的理解，也激发了他们学习这一单元的动力。

接下来，进入了分层内容设计的环节，我对“二次函数的图象和性质”这一单元的内容按照难易程度进行了详细的分层设计。首先，我确定了基础层的内容，这是每个学生都必须掌握的知识点，包括二次函数的定义、一般形式、基本性质以及简单的图象绘制。为了让学生更好地理解和掌握这些基础知识，我准备了详细的教材、课件和习题集，供学生在课堂上和课后学习使用。

在基础层的基础上，我设计了提高层的内容。这一层次的内容在难度上有所提升，主要包括图象的变换、对称性和顶点坐标的求解等知识。为了帮助学生更好地理解和掌握这些性质，我准备了更多的教学资源和练习题，以供学生选择和挑战。

最后，我设计了拓展层的内容。这一层次的内容主要针对那些对数学有浓厚兴趣、希望深入学习二次函数的学生。拓展层的内容涉及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系，以及复杂图象的分析和应用等知识点。为了满足这些学生的学习需求，我准备了更深入的教学资源和挑战性更强的练习题。

通过这样的分层设计，我确保每个学生都能根据自己的学习需求和兴趣选择合适的学习内容。这样的教学方式不仅提高了学生的学习效率，还促进了他们的个性化发展。

▲第二阶段：基础知识学习与探究

进入第二阶段时，我更加注重学生自主学习和探究能力的培养。这一阶段的教学旨在帮助学生系统地掌握二次函数的基础知识，并通过小组合作的方式，深化对知识的理解和应用。

为了提高学生的学习积极性和参与度，我鼓励学生组成学习小组，共同学习和探究二次函数的图象和性质。在小组内，学生可以分享自己的学习心得和解题技巧，互相帮助解决学习中遇到的问题。这种合作学习的方式不仅能够促进学生之间的交流和互动，还能够培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

在学生学习和探究的过程中，我会密切关注学生的学习进展，及时发现并解答学生在学习中遇到的共性问题。针对这些共性问题，我会进行集中讲解和答疑，确保每个学生都能够理解和掌握相关的知识点。同时，我会组织学生进行课堂讨论，鼓励学生提出自己的见解和疑问，通过讨论和交流，促进对知识的深入理解和应用。在课堂讨论中，我不仅鼓励学生积极参与，勇于发表自己的观点，还鼓励学生提出自己的疑问，并通过与老师和同学的交流寻找解决问题的方法。这种开放式的课堂讨论不仅能够激发学生的学习兴趣和求知欲，还能够培养学生的思维能力和创新能力。

▲第三阶段：图象与性质的深入探究

接下来，我着重引导学生对二次函数的图象和性质进行深入探究。

首先，我引导学生利用函数图象绘制软件或手工绘制二次函数的图象。学生可以选择自己喜欢的绘图方式，通过绘制不同参数下的二次函数图象，观察和分析其特点。在这一过程中，我鼓励学生记录自己的发现，如开口方向、对称轴、顶点坐标等，并尝试用数学语言进行描述。

教师：同学们，接下来我将要绘制二次函数的图象。你们可以选择使用函数图象绘制软件或者手动绘制。无论哪种方式，都要注意观察图象的特点。

学生：老师，我发现当二次项系数为正时，图象开口向上；当二次项系数为负时，图象开口向下。

教师：很好，你已经发现了开口方向与二次项系数之间的关系。那么，还有其他什么特点吗？

学生：老师，我还发现图象都有一个对称轴，这个对称轴是由一次项系数和二次项系数共同决定的。

为了加深学生对二次函数性质的理解，我组织学生进行图象对比活动。学生需要选择几个具有代表性的二次函数，如开口向上和向下的函数、对称轴不同的函数等，绘制它们的图象并进行对比。通过对比不同函数图象的异同点，学生可以更直观地理解二次函数的性质，如开口方向由二次项系数决定、对称轴由一次项系数和二次项系数共同决定等。

然后我结合实际问题，引导学生运用二次函数的性质进行求解。例如，我可以给出一些与抛物运动、拱桥设计等相关的实际问题，让学生尝试用二次函数的性质进行建模和求解。通过解决实际问题，学生可以加深对性质应用的理解和掌握，也能感受到数学在现实生活中的应用价值。

▲第四阶段：综合应用与项目实践

当教学逐渐步入尾声时，进入第四阶段——综合应用与项目实践。这一阶段不仅是对学生所学知识的全面检验，更是对他们解题能力和创新思维的一次提升。

在这一阶段开始之初，我精心设计了一系列综合应用题。题目从简单到复杂，从基础到拓展，层层递进，旨在考查学生对二次函数图象和性质的综合应用能力。

首先，我出示一些基础题目，如：“绘制并描述y=2x2和y=-3x2的图象，比较两者的异同。”这样的题目旨在帮助学生回顾基础知识，巩固对二次函数图象的基本认识。

接着，我增加了一些难度，如：“已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，3）、（2，0）和（-1，0），求抛物线的解析式。”这样的题目需要学生运用二次函数的性质进行求解，提高了他们的解题能力。

最后，我设计了一些拓展题目，如：“一座抛物线形的拱桥，当水面距桥顶5米时，水面宽8米。求水面下降1米后，水面的宽度。”这样的题目不仅考查学生对二次函数图象和性质的理解，还考查他们的数学建模能力和实际应用能力。

在解答拓展题目时，学生遇到了不小的挑战。我注意到一位平时成绩较好的学生小李也面露难色，于是我走到他身边，轻声问道：“这道题有什么地方不懂吗？”小李犹豫了一下，说：“老师，我知道要用二次函数的性质来求解，但是我不知道怎么建立这个数学模型。”我微笑着说：“没关系，我们一起来看看。你看，这个拱桥的形状就像一个抛物线，而水面下降的高度和宽度的变化就是这个抛物线的两个关键点。我可以设抛物线的解析式为y=ax2，然后根据题目给出的条件来求解a的值。”

在我的引导下，小李逐渐找到了解题思路，并成功地解出了这道题。

在解答完综合应用题后，我引导学生根据所学知识自主设计项目实践方案。他们分组进行讨论和交流，最终确定了各自的项目内容。

有的小组选择了“投篮轨迹模拟”作为项目主题，通过测量和数据分析建立了投篮轨迹的数学模型，并尝试用二次函数的性质进行解释和优化；有的小组则选择了“桥梁设计”作为项目主题，运用二次函数的性质设计了不同形状和结构的桥梁模型，并进行了承载能力的测试和分析。

在项目完成后，我组织了一次项目成果展示和交流活动。学生通过PPT、海报、视频等多种形式展示自己的项目成果，并与其他同学进行了深入的交流和讨论。通过这次活动，学生不仅锻炼了自己的表达能力和沟通能力，还从其他同学身上学到了许多新的知识和经验。

四、教学反思

回顾“二次函数的图象和性质”这一单元的教学，我深感分层教学模式的优越性和挑战性。通过分层教学，我能够针对不同层次的学生制订不同的教学目标和教学内容，使每个学生都能取得进步。这不仅提高了教学效率，也促进了学生的个性化发展。同时，我意识到在教学过程中需要不断关注学生的学习情况和反馈情况，及时调整教学策略，以确保每个学生都能得到充分的关注和指导。此外，我也意识到教学资源的优化对提高教学效果具有重要意义。在未来的教学中，我将继续探索和开发更加丰富、优质的教学资源，以满足不同层次学生的需求。

五、拓展延伸

在此次教学案例中，我成功地引导学生深入理解了二次函数的图象和性质，并通过一系列综合应用题和项目实践活动，提高了他们的解题能力和数学应用能力。然而，教学不应该止步于此，拓展延伸是深化学生理解、拓宽知识视野的重要环节。

在完成了基础知识和应用技能的传授后，我可以进一步拓展学生的知识领域，引导他们探索二次函数与其他数学概念的关联。例如，我可以引导学生将二次函数与一元二次方程相联系，探究它们的解与函数图象之间的关系。通过这一拓展，学生可以更深入地理解二次函数的根与图象的交点之间的联系，从而更全面地掌握这两个概念。

（作者单位：厦门五缘第二实验学校）

编辑：张俐丽