对一道平面向量最值问题的解法的探究

平面向量兼有代数和几何双重身份，因而解答平面向量最值问题可以从“数”与“形”两个角度入手来寻找不同的解题思路.下面以一道题为例，谈一谈求解平面向量最值问题的四种方法.

|a-b|的最小值为 ，最大值为 .

题目中给出的条件较少，要求得向量 |a+b|+|a-b|的最值，需灵活运用向量的模的公式、向量的数量积、三角函数的有界性、基本不等式等来解题.解答本题主要有以下四种方法.

一、利用向量三角不等式

向量三角不等式： .对于||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|

有关两个向量的模的加减运算问题，我们通常可以根据向量三角不等式来求两个向量的模之和、差的取值范围.在运用向量三角不等式解题时，要关注等号成立的条件.

|a+b|+|a-b|的最小值.可见，运用向量三角不等式解题，可以有效地降低题目的难度，简化运算，达到化难为易的目的.

二、数形结合法

在求解平面向量最值问题时，我们可以根据向量的模的几何意义、向量数量积的几何意义，以及向量加法的几何意义，如三角形法则、平行四边形法则，来画出平面几何图形，将问题转化为几何图形之间的位置关系问题.再结合图形找到目标式取得最值的情形，据此建立代数关系式，即可解题.

由于a、b的方向无法确定，所以根据向量的模的几何意义构造出圆，讨论A、B、C三者之间的位置关系，根据余弦定理建立关系式，即可根据三角函数的性质求得问题的答案.

三、利用三角函数的有界性

在求解向量最值问题时，我们往往可以设出向量之间的夹角及其取值范围，根据向量的数量积公式来建立夹角之间的关系式，通过向量运算将目标式转化为关于夹角的三角函数式.再通过三角恒等变换将三角函数式变形、化简，以根据正弦、余弦、正切函数的

所以 ，4≤|a+b|+|a-b|≤2 5

所以|a+b|+|a-b|的最小值为4，最大值为2 5 .

向量 的模长是已知的，于是设出 的夹角a，b a、b

θ，根据向量数量积公式用θ表示出|a+b|和|a+b|，

再根据余弦函数的有界性以及0≤cos2θ≤1，就可以顺利求得|a+b|+|a-b|的最值.

四、利用向量的坐标运算

在求解平面向量最值问题时，我们可以某个向量为坐标轴的正方向，其起点为原点来建立平面直角坐标系.再求得各个向量的坐标，通过向量的坐标运算求得目标式；最后将目标式视为函数式，根据函数的性质，运用基本不等式法、导数法等求得函数的最值.

算法则将问题转化为求|a+b|+|a-b|=|CB|+|BA|的最值.然后根据椭圆的定义求得点B的轨迹方程，通过联立圆与椭圆的方程，求得椭圆长半轴长的取值范围，进而求得|a+b|+|a-b|的最值.

我们既可以从代数角度入手，利用向量三角不等式、向量的坐标运算、三角函数的有界性，又可以从几何角度切入，通过数形结合找到解答平面向量最值问题的不同思路.同学们在解题时，要善于将向量知识融入其他知识模块中，将问题与代数、几何图形关联起来，灵活运用向量的几何意义与运算法则来解题，这样有利于提升解题的效率.