由一道四边形最值题引发的思考

函数、平面几何、函数、向量、解析几何等知识相结合.四边形最值问题一般主要考查正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角函数的定义、三角形的面积公式等.下面以一道题为例，探讨一下四边形最值问题的解法.

题目：如图1，在平面凸四边形ABCD中，AB=1，AC= 5，BD⊥BC，BD=2BC，则AD的最小值为 .

本题看似比较简单，实际上较为复杂.AD是∆ADC和∆ABD的一条边，而我们只知道AB=1、AC= 5，要求AD的最小值，需建立关于另外两条边的关系式，然后将该式视为函数式，根据函数的单调性，运用导数法、基本不等式法等来求最值.解答本题主要有以下四种方法.

一、利用正余弦定理

四边形通常可以被分割成几个三角形，这样便可以在三角形中，根据正余弦定理建立三角形的边角关系式，从而求得所求的边、角以及目标式.再将所求得的式子视为关于某条边、某个角的函数式，利用函数的单调性和有界性来求最值.

解：如图1，在△ABC中，AB=1，AC= 5 .

我们先根据正余弦定理求得BC、BD以及AD的表达式；然后设∠BAC=θ，将其视为变量，将AD的表达式视为关于θ的三角函数式；再根据辅助角公式将其化为正弦函数式，就能直接根据正弦函数的有界性求得最值.

二、利用平面几何知识

解答四边形最值问题，我们往往要先画出几何图形，以明确点、线段之间的位置关系；然后添加合适的辅助线，根据三角形、平行四边形的性质，旋转图形、对称图形的性质等建立边、角之间的等量关系；再根据“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”等公理来求最值.

解：如图2，过B作BO⊥BA，且BO=2，连接OA，OD.

当且仅当O，A，D三点共线时，AD有最小值 5 .

我们先添加辅助线，构造出相似三角形△OBD∽△ABC，即可根据相似三角形的性质建立三角形三边之间的关系，进而求得OD的长；然后在三角形OAD中，根据“三角形两边之和大于第三边”来求得AD的最小值.

三、采用建系法

在运用建系法求解平面四边形最值问题时，我们往往要先找出或作出两条互相垂直的直线，并将其视为坐标轴来建立平面直角坐标系；然后设出各点的坐标，求得各条线段的方向向量，即可通过向量的坐标运算求得目标式；最后根据三角函数的性质、基本不等式等求得最值.

解：如图3，以A为坐标原点、AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，

则A（0，0），B（1，0），设∠CAB=θ，D（x，y）.

由AC= 5，得C（ 5cosθ， 5sinθ），

AD有最小值为

首先，我们以A为坐标原点、AB所在的直线为x轴、垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系；然后设∠CAB=θ，求得各点的坐标，并根据两点之间的距离公式求得AD的表达式，即可将问题转化为三角函数最值问题；最后根据正弦函数的有界性求得最值.

四、利用托勒密不等式

托勒密不等式：在任意凸四边形ABCD（如图4）中，必有AC∙BD≤AB∙CD+AD∙BC，当且仅当A、B、C、D四点共圆时取等号.托勒密不等式是平面几何中的一个重要不等式，通常用于求四边形的对角线长度以及圆周上两点之间的距离.运用托勒密不等式，可以将四边形的两条对角线的乘积转化为两组对边的乘积之和.这样，就将问题转化为简单的边长问题，从而达到化难为易的目的.

解：如图1，在RtΔBCD中，BD=2BC，BD⊥BC，所以CD= BD2+BC2= 4BC2+BC2= 5BC.

因为AB=1，AC= 5，BD=2BC.

所以在凸四边形ABCD中，由托勒密不等式得：AC∙BD≤AB∙CD+AD∙BC，

即 5×2BC≤1× 5BC+AD×BC.

即 5BC≤AD∙BC，可得AD≥ 5，当且仅当四边形ABCD是圆的内接四边形时，|AD|有最小值为 5 .

= 2，

所以当BC= 2时，AD取最小值为 5 .

我们根据托勒密不等式建立四边形ABCD的对角线与四条边之间的关系，进而求得AD的最小值.值得注意的是，在运用托勒密不等式解题时，要注意取等号的条件：A、B、C、D四点共圆.

可见，求解四边形最值问题，不仅要将问题与解三角形、平面几何、向量、复数等知识关联起来，从其他知识切入来寻找到解题的思路，还要善于运用数形结合思想，将问题进行合理的转化，这样才能拓宽解题的思路，找到更多的解题方法，提高解题的效率.

（作者单位：湖北省襄阳市襄城区襄阳四中）