巧用复数的几何意义解复数题

我们一般用直角坐标系来表示复平面，在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数的几何意义：复数z=a＋bi与复平面内的点Z（a，b）一一对

应，且与平面向量OZ=（a，b）一一对应.由复数的几何意义可知复数与复平面内的点是一一对应的，即一个复数唯一确定一个复平面内的点，一个复平面的点可用唯一的复数表示.

仔细研究复数的几何意义，可以发现复数z=a+bi（a，b∈R）在复平面内对应的点为Z（a，b），而原点O与

那么 |Z Z|2 1= （a-c）2+（b-d）2，它表示复平面内Z、1 Z2两点之间的距离.

根据复数的几何意义，可以建立复数、点、向量之间的一一对应关系，因此可以把复数、向量与解析几何联系在一起，根据复数的几何意义将复数问题转化为向量问题、解析几何问题来求解.下面结合实例来加以说明.

例1.已知 z为复数，在复平面内，判断以下方程对应的轨迹.

①|z-1|+|z+1|=2；

（1，0），（-1，0） 定值2，而（1，0）与（-1，0）之间的距离之和为

的距离为2，所以Z的轨迹为一条线段，其端点为（1，0），（-1，0）；

②中，|z-2|-|z+2|表示复平面内的一点Z到（2，0）与（-2，0）的距离之差为定值2，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的左半支；

对于③，根据复数运算法则可知 zz=|z|2=1，即|z|=1，所以z的轨迹为单位圆.

在解题时，我们需将复平面内的点的轨迹与方程建立关系.z是复数，在复平面内，轨迹Γ与某个方程f（z）=0建立如下的对应关系：轨迹上的每个点对应的

复数均满足这个方程；同时，满足方程的复数所对应的点都在这个轨迹上.那么我们可以根据这个方程来求得点的轨迹方程.

例2.已知复数z满足方程|z-3i|+|z+2|= 13，求|z-1|的最小值.

这样就将问题转化为平面解析几何问题；然后根据复数的几何意义将点的轨迹视为单位圆；接着根据圆的参数方程设出点Z（cosθ，sinθ）；再根据两点间的距离

问题的答案.

运用复数的几何意义解题，只需将复数看作平面内的点、向量，即可将问题快速转化为向量问题或平面几何问题，就能直接运用向量知识、平面几何知识来求得问题的答案.这样能大大降低解题的难度，提升解题的效率.